Neposredna trikotna prizma. Formule za prostornino in površino. Rešitev geometrijskega problema

2024 Avtor: Angel Austin | [email protected]. Nazadnje spremenjeno: 2024-01-02 17:55

V srednji šoli po preučevanju lastnosti figur na ravnini preidejo na obravnavanje prostorskih geometrijskih predmetov, kot so prizme, krogle, piramide, valji in stožci. V tem članku bomo podali najbolj popoln opis ravne trikotne prizme.

Kaj je trikotna prizma?

Začnimo članek z definicijo figure, o kateri bomo še razpravljali. Prizma z vidika geometrije je lik v prostoru, ki ga tvorita dva enaka n-kotnika, ki se nahajata v vzporednih ravninah, katerih enaka kota sta povezana z ravnimi odseki. Ti segmenti se imenujejo stranska rebra. Skupaj s stranicami osnove tvorita stransko ploskev, ki je na splošno predstavljena z paralelogrami.

Dva n-kotnika sta osnova figure. Če so stranski robovi pravokotni nanje, potem govorijo o ravni prizmi. V skladu s tem, če je število stranic n mnogokotnika pri osnovah tri, se takšna figura imenuje trikotna prizma.

Trikotna ravna prizma je prikazana zgoraj na sliki. Ta številka se imenuje tudi pravilna, saj so njene osnove enakostranični trikotniki. Dolžina stranskega roba figure, označena s črko h na sliki, se imenuje njena višina.

Slika prikazuje, da prizmo s trikotno osnovo tvori pet ploskov, od katerih sta dve enakostranični trikotniki, trije pa enaki pravokotniki. Poleg ploskve ima prizma šest oglišč na osnovah in devet robov. Število obravnavanih elementov je med seboj povezano z Eulerjevim izrekom:

število robov=število vozlišč + število stranic - 2.

Površina prave trikotne prizme

Zgoraj smo ugotovili, da obravnavano figuro tvori pet obrazov dveh vrst (dva trikotnika, trije pravokotniki). Vse te ploskve tvorijo celotno površino prizme. Njihova skupna površina je površina figure. Spodaj je razplet trikotne prizme, ki ga lahko dobimo tako, da najprej odrežeš dve bazi od figure, nato pa razrežemo vzdolž enega roba in odpremo stransko površino.

Dajmo formule za določanje površine tega pometanja. Začnimo z osnovami prave trikotne prizme. Ker predstavljajo trikotnike, lahko površino S_{3 vsakega od njih najdemo na naslednji način:}

S₃=1/2ah_a.

Tukaj je a stranica trikotnika, h_{a je višina, spuščena od vrha trikotnika na to stran.}

Če je trikotnik enakostranični (pravilen), je formula za S_{3 odvisna samo od enega parametra a. Izgleda tako:}

S₃=√3/4a^2.

Ta izraz je mogoče dobiti z upoštevanjem pravokotnega trikotnika, ki ga tvorijo segmenti a, a/2, h_a.

Površina osnov S_o za običajno številko je dvakrat večja od vrednosti S_3:

S_o=2S₃=√3/2a^2.

Kar zadeva stransko površino S_{b, je ni težko izračunati. Če želite to narediti, je dovolj, da pomnožite s tri površino enega pravokotnika, ki ga tvorita stranica a in h. Ustrezna formula je:}

S_b=3ah.

Tako se površina običajne prizme s trikotno osnovo najde z naslednjo formulo:

S=S_o+ S_b=√3/2a^{2+ 3 ah.}

Če je prizma ravna, vendar nepravilna, morate za izračun njene površine ločeno dodati površine pravokotnikov, ki niso enaki drug drugemu.

Določanje prostornine figure

Prostornina prizme se razume kot prostor, omejen z njenimi stranicami (obrazi). Izračunavanje prostornine prave trikotne prizme je veliko lažje kot izračunavanje njene površine. Če želite to narediti, je dovolj, da poznate površino osnove in višino figure. Ker je višina h ravne figure dolžina njenega stranskega roba, in kako izračunati osnovno površino, smo podali v prejšnjemtočko, potem ostane ti dve vrednosti pomnožiti med seboj, da dobimo želeni volumen. Formula za to postane:

V=S_3h.

Upoštevajte, da bo zmnožek površine ene osnove in višine dal prostornino ne le ravne prizme, ampak tudi poševne figure in celo valja.

reševanje težav

Steklene trikotne prizme se v optiki uporabljajo za preučevanje spektra elektromagnetnega sevanja zaradi pojava disperzije. Znano je, da ima običajna steklena prizma dolžino osnovne stranice 10 cm in dolžino roba 15 cm. Kakšna je površina njenih steklenih ploskov in kakšen volumen vsebuje?

Za določitev površine bomo uporabili formulo, napisano v članku. Imamo:

S=√3/2a²+ 3ah=√3/210² + 3 1015=536,6 cm^2.

Za določitev prostornine V uporabljamo tudi zgornjo formulo:

V=S₃h=√3/4a²h=√3/410 2^{15=649,5 cm}3^.

Kljub temu, da sta robova prizme dolga 10 cm in 15 cm, je prostornina figure le 0,65 litra (kocka s stranico 10 cm ima prostornino 1 liter).