Tudi v šoli se vsi učenci seznanijo s konceptom "evklidske geometrije", katerega glavne določbe se osredotočajo na več aksiomov, ki temeljijo na geometrijskih elementih, kot so točka, ravnina, črta, gibanje. Vsi skupaj tvorijo tisto, kar je že dolgo poznano pod izrazom "evklidski prostor".
Evklidski prostor, katerega definicija temelji na konceptu skalarnega množenja vektorjev, je poseben primer linearnega (afinega) prostora, ki izpolnjuje številne zahteve. Prvič, skalarni produkt vektorjev je absolutno simetričen, to pomeni, da je vektor s koordinatami (x;y) kvantitativno enak vektorju s koordinatami (y;x), vendar v nasprotni smeri.
Drugič, če se izvede skalarni produkt vektorja sam s seboj, bo rezultat tega dejanja pozitiven. Edina izjema bo v primeru, ko so začetne in končne koordinate tega vektorja enake nič: v tem primeru bo tudi njegov produkt sam s seboj enak nič.
Tretjič, skalarni produkt je distributiven, to pomeni, da je mogoče eno od njegovih koordinat razstaviti na vsoto dveh vrednosti, kar ne bo povzročilo nobenih sprememb v končnem rezultatu skalarnega množenja vektorjev. Končno, četrtič, ko se vektorji pomnožijo z istim realnim številom, se bo tudi njihov skalarni produkt povečal za isti faktor.
Če so izpolnjeni vsi ti štirje pogoji, lahko z zaupanjem trdimo, da imamo evklidski prostor.
Evklidski prostor s praktičnega vidika je mogoče označiti z naslednjimi specifičnimi primeri:
- Najenostavnejši primer je prisotnost nabora vektorjev s skalarnim produktom, definiranim v skladu z osnovnimi zakoni geometrije.
- Evklidski prostor dobimo tudi, če z vektorji mislimo na določeno končno množico realnih števil z dano formulo, ki opisuje njihovo skalarno vsoto ali produkt.
- Poseben primer evklidskega prostora je tako imenovani ničelni prostor, ki ga dobimo, če je skalarna dolžina obeh vektorjev enaka nič.
Evklidski prostor ima številne posebne lastnosti. Prvič, skalarni faktor je mogoče vzeti iz oklepajev tako iz prvega kot drugega faktorja skalarnega produkta, rezultat tega se nikakor ne bo spremenil. Drugič, skupaj z distributivnostjo prvega elementa skalarjaprodukta, deluje tudi distributivnost drugega elementa. Poleg tega poleg skalarne vsote vektorjev pride do distribucije tudi v primeru odštevanja vektorjev. Končno, tretjič, ko se vektor skalarno pomnoži z nič, bo rezultat tudi nič.
Tako je evklidski prostor najpomembnejši geometrijski koncept, ki se uporablja pri reševanju problemov z medsebojno razporeditvijo vektorjev drug glede na drugega, za katerega je značilen koncept, kot je skalarni produkt.
