Trikotnik je mnogokotnik s tremi stranicami (tremi vogali). Najpogosteje so stranice označene z majhnimi črkami, ki ustrezajo velikim črkam, ki označujejo nasprotna oglišča. V tem članku se bomo seznanili z vrstami teh geometrijskih oblik, izrek, ki določa, kakšna je vsota kotov trikotnika.
Pogledi po kotih
Ločimo naslednje vrste mnogokotnikov s tremi oglišči:
- ostri kot, pri katerem so vsi vogali ostri;
- pravokotnik, ki ima en pravi kot, medtem ko se stranice, ki ga tvorijo, imenujejo kraki, stran, ki je postavljena nasproti pravega kota, pa se imenuje hipotenuza;
- tupo, ko je en vogal tup;
- enakokraki, pri katerem sta dve strani enaki in se imenujejo stranski, tretja pa je osnova trikotnika;
- enakostranski, ki ima vse tri enake stranice.
Lastnosti
Izpostavljajo glavne lastnosti, ki so značilne za vsako vrsto trikotnika:
- nasproti večje strani je vedno večji kot in obratno;
- nasprotni strani enake velikosti sta enaki koti in obratno;
- vsak trikotnik ima dva ostra kota;
- zunanji vogal je večji od katerega koli notranjega kota, ki mu ne meji;
- vsota poljubnih dveh kotov je vedno manjša od 180 stopinj;
- zunanji kot je enak vsoti drugih dveh vogalov, ki se z njim ne sekata.
Izrek o vsoti trikotnikov
Izrek pravi, da če seštejete vse kote določene geometrijske figure, ki se nahaja na evklidski ravnini, bo njihova vsota 180 stopinj. Poskusimo dokazati ta izrek.
Imemo poljuben trikotnik z oglišči KMN.
Preko oglišča M potegnite ravno črto, vzporedno s premo črto KN (to črto imenujemo tudi evklidska premica). Na njej označimo točko A tako, da se točki K in A nahajata na različnih straneh premice MN. Dobimo enaka kota AMN in KNM, ki tako kot notranja ležita navzkrižno in ju tvori sekansa MN skupaj z ravnima KN in MA, ki sta vzporedni. Iz tega sledi, da je vsota kotov trikotnika, ki se nahaja na ogliščih M in H, enaka velikosti kota KMA. Vsi trije koti sestavljajo vsoto, ki je enaka vsoti kotov KMA in MKN. Ker so ti koti notranji enostranski glede navzporedni ravnici KN in MA s sekantom KM, njihova vsota je 180 stopinj. Izrek dokazan.
posledica
Iz zgoraj dokazanega izreka sledi naslednja posledica: vsak trikotnik ima dva ostra kota. Da bi to dokazali, predpostavimo, da ima dana geometrijska figura samo en oster kot. Prav tako lahko domnevamo, da noben od kotov ni oster. V tem primeru morata obstajati vsaj dva kota, ki sta enaka ali večja od 90 stopinj. Toda potem bo vsota kotov večja od 180 stopinj. Toda to ne more biti, saj je po izreku vsota kotov trikotnika 180 ° - nič več in nič manj. To je bilo treba dokazati.
Lastnost zunanjega kota
Kolikšna je vsota zunanjih kotov trikotnika? Na to vprašanje je mogoče odgovoriti na enega od dveh načinov. Prvi je, da je treba poiskati vsoto kotov, ki jih vzamemo po en na vsakem točku, torej tri kote. Drugi pomeni, da morate najti vsoto vseh šestih kotov na ogliščih. Najprej se ukvarjajmo s prvo možnostjo. Torej trikotnik vsebuje šest zunanjih vogalov - dva na vsakem točku.
Vsak par ima enake kote, ker sta navpična:
∟1=∟4, ∟2=∟5, ∟3=∟6.
Poleg tega je znano, da je zunanji kot trikotnika enak vsoti dveh notranjih kotov, ki se z njim ne sekata. Zato
∟1=∟A + ∟C, ∟2=∟A + ∟B, ∟3=∟B + ∟C.
Iz tega se izkaže, da je vsota zunanjihvogali, ki se vzamejo po en na vsakem točku, bodo enaki:
∟1 + ∟2 + ∟3=∟A + ∟C + ∟A + ∟B + ∟B + ∟C=2 x (∟A + ∟B + ∟C).
Glede na to, da je vsota kotov 180 stopinj, lahko trdimo, da je ∟A + ∟B + ∟C=180°. In to pomeni, da je ∟1 + ∟2 + ∟3=2 x 180°=360°. Če se uporabi druga možnost, bo vsota šestih kotov dvakrat večja. To pomeni, da bo vsota zunanjih kotov trikotnika:
∟1 + ∟2 + ∟3 + ∟4 + ∟5 + ∟6=2 x (∟1 + ∟2 + ∟2)=720°.
Pravokotni trikotnik
Kolikšna je vsota ostrih kotov pravokotnega trikotnika? Odgovor na to vprašanje spet izhaja iz izreka, ki pravi, da so koti v trikotniku 180 stopinj. In naša izjava (lastnost) zveni takole: v pravokotnem trikotniku se ostri koti seštejejo do 90 stopinj. Dokažimo njegovo resničnost.
Najmo damo trikotnik KMN, v katerem je ∟Н=90°. Treba je dokazati, da je ∟K + ∟M=90°.
Torej, glede na izrek o vsoti kotov ∟К + ∟М + ∟Н=180°. Naš pogoj pravi, da je ∟Н=90°. Tako se izkaže, ∟K + ∟M + 90°=180°. To pomeni, ∟K + ∟M=180° - 90°=90°. To smo morali dokazati.
Poleg zgornjih lastnosti pravokotnega trikotnika lahko dodate še naslednje:
- koti, ki ležijo proti nogam, so ostri;
- hipotenuza je trikotna bolj kot kateri koli krak;
- vsota katet je večja od hipotenuze;
- nogatrikotnik, ki leži nasproti kota 30 stopinj, je polovica hipotenuze, torej enak njeni polovici.
Kot drugo lastnost te geometrijske figure je mogoče razlikovati Pitagorejev izrek. Navaja, da je v trikotniku s kotom 90 stopinj (pravokotnik) vsota kvadratov krakov enaka kvadratu hipotenuze.
Vsota kotov enakokrakega trikotnika
Prej smo rekli, da je enakokraki mnogokotnik s tremi oglišči, ki vsebuje dve enaki strani. Ta lastnost dane geometrijske figure je znana: koti na njeni podlagi so enaki. Dokažimo.
Vzemite trikotnik KMN, ki je enakokraki, KN je njegova osnova.
Moramo dokazati, da je ∟К=∟Н. Recimo, da je MA simetrala našega trikotnika KMN. Trikotnik MCA je ob upoštevanju prvega znaka enakosti enak trikotniku MCA. Pod pogojem je namreč podano, da je KM=NM, MA je skupna stranica, ∟1=∟2, saj je MA simetrala. Glede na dejstvo, da sta ta trikotnika enaka, lahko trdimo, da je ∟K=∟Н. Torej je izrek dokazan.
Zanima pa nas, kolikšna je vsota kotov trikotnika (enakokrakega). Ker v tem pogledu nima svojih posebnosti, bomo izhajali iz prej obravnavanega izreka. To pomeni, da lahko rečemo, da je ∟K + ∟M + ∟H=180° ali 2 x ∟K + ∟M=180° (ker je ∟K=∟H). Te lastnosti ne bomo dokazovali, saj je bil sam izrek o vsoti trikotnika dokazan prej.
Razen kot je razpravljanolastnosti o kotih trikotnika, obstajajo tudi tako pomembne izjave:
- v enakokrakem trikotniku je višina, ki je bila spuščena na osnovo, tako mediana, simetrala kota, ki je med enakimi stranicami, kot tudi os simetrije njegove osnove;
- mediane (simetrale, višine), ki so narisane na straneh takšne geometrijske figure, so enake.
enakostranični trikotnik
Imenuje se tudi desni, je trikotnik z enakimi stranicami. Zato so tudi koti enaki. Vsak ima 60 stopinj. Dokažimo to lastnost.
Predpostavimo, da imamo trikotnik KMN. Vemo, da je KM=NM=KN. In to pomeni, da je glede na lastnost kotov, ki se nahajajo na dnu v enakokrakem trikotniku, ∟К=∟М=∟Н. Ker je po izreku vsota kotov trikotnika ∟К + ∟М + ∟Н=180°, potem je 3 x ∟К=180° ali ∟К=60°, ∟М=60°, ∟ Н=60°. Tako je trditev dokazana.
Kot lahko vidite iz zgornjega dokaza, ki temelji na izreku, je vsota kotov enakostraničnega trikotnika, tako kot vsota kotov katerega koli drugega trikotnika, 180 stopinj. Tega izreka ni treba znova dokazovati.
Obstajajo tudi takšne lastnosti, ki so značilne za enakostranični trikotnik:
- mediana, simetrala, višina v takšni geometrijski figuri so enaki, njihova dolžina pa se izračuna kot (a x √3): 2;
- če opišete krog okoli danega mnogokotnika, bo njegov polmer enakenako (a x √3): 3;
- če vpišete krog v enakostranični trikotnik, bo njegov polmer (a x √3): 6;
- območje te geometrijske figure se izračuna po formuli: (a2 x √3): 4.
Obt-kotni trikotnik
Po definiciji tupokotnega trikotnika je eden od njegovih kotov med 90 in 180 stopinjami. Toda glede na to, da sta druga dva kota te geometrijske figure ostra, lahko sklepamo, da ne presegata 90 stopinj. Zato izrek o vsoti trikotnikov kotov deluje pri izračunu vsote kotov v tupom trikotniku. Izkazalo se je, da lahko na podlagi prej omenjenega izreka varno rečemo, da je vsota kotov topega trikotnika 180 stopinj. Še enkrat, tega izreka ni treba znova dokazovati.
