Proučevanje lastnosti prostorskih figur igra pomembno vlogo pri reševanju praktičnih problemov. Znanost, ki se ukvarja s figurami v vesolju, se imenuje stereometrija. V tem članku bomo z vidika trdne geometrije obravnavali stožec in pokazali, kako najti površino stožca.
Stožec z okroglo osnovo
V splošnem primeru je stožec površina, zgrajena na neki ravni krivulji, katere vse točke so povezane s segmenti z eno točko v prostoru. Slednji se imenuje vrh stožca.
Iz zgornje definicije je jasno, da ima krivulja lahko poljubno obliko, kot so parabolična, hiperbolična, eliptična itd. Kljub temu se v praksi in pri geometrijskih težavah pogosto srečujemo z okroglim stožcem. To je prikazano na spodnji sliki.
Tukaj simbol r označuje polmer kroga, ki se nahaja na dnu figure, h je pravokotnica na ravnino kroga, ki je narisana z vrha slike. Imenuje se višina. Vrednost s je generatrika stožca ali njegova generatrika.
Vidimo, da so odseki r, h in stvorijo pravokoten trikotnik. Če ga zavrtimo okoli kraka h, potem hipotenuza s opisuje stožčasto površino, krak r pa tvori okroglo osnovo figure. Zaradi tega se stožec šteje za figuro revolucije. Trije imenovani linearni parametri so med seboj povezani z enakostjo:
s2=r2+ h2
Upoštevajte, da podana enakost velja samo za okrogel ravni stožec. Ravna figura je le, če njena višina pade točno v središče osnovnega kroga. Če ta pogoj ni izpolnjen, se številka imenuje poševna. Razlika med ravnimi in poševnimi stožci je prikazana na spodnji sliki.
Razvoj oblike
Preučevanje površine stožca je priročno za izvedbo, če upoštevamo, da je na ravnini. Ta način predstavljanja površine figur v prostoru imenujemo njihov razvoj. Za stožec je ta razvoj mogoče dobiti na naslednji način: vzeti morate figuro, na primer iz papirja. Nato s škarjami odrežite okroglo podlago po obodu. Po tem vzdolž generatrike naredite rez stožčaste površine in jo obrnite v ravnino. Rezultat teh preprostih operacij bo razvoj stožca, prikazanega na spodnji sliki.
Kot vidite, je površino stožca res mogoče predstaviti na ravnini. Sestavljen je iz naslednjih dveh delov:
- krog s polmerom r, ki predstavlja osnovo figure;
- krožni sektor s polmerom g, ki je stožčasta površina.
Formula za površino stožca vključuje iskanje površin obeh razgrnjenih površin.
Izračunaj površino figure
Nalogo razdelimo na dve stopnji. Najprej najdemo površino dna stožca, nato površino stožčaste površine.
Prvi del težave je enostavno rešiti. Ker je podan polmer r, je dovolj, da se spomnimo ustreznega izraza za površino kroga, da izračunamo površino osnove. Zapišimo:
So=pi × r2
Če polmer ni znan, ga najprej poiščite s formulo razmerja med njim, višino in generatorjem.
Drugi del problema iskanja površine stožca je nekoliko bolj zapleten. Upoštevajte, da je krožni sektor zgrajen na polmeru g generatrike in je omejen z lokom, katerega dolžina je enaka obodu kroga. To dejstvo vam omogoča, da zapišete delež in poiščete kot obravnavanega sektorja. Označimo ga z grško črko φ. Ta kot bo enak:
2 × pi=>2 × pi × g;
φ=> 2 × pi × r;
φ=2 × pi × r / g
Če poznate osrednji kot φ krožnega sektorja, lahko uporabite ustrezen delež, da poiščete njegovo površino. Označimo ga s simbolom Sb. To bo enako:
2 × pi=>pi × g2;
φ=> Sb;
Sb=pi × g2 × φ / (2 × pi)=pi × r × g
To pomeni, da površina stožčaste površine ustreza zmnožku generatrike g, polmera osnove r in števila Pi.
Vedeti, kakšna so področja obehobravnavane površine, lahko zapišemo končno formulo za površino stožca:
S=So+ Sb=pi × r2+ pi × r × g=pi × r × (r + g)
Pisani izraz predpostavlja poznavanje dveh linearnih parametrov stožca za izračun S. Če je g ali r neznan, ju lahko najdemo po višini h.
Problem izračunavanja površine stožca
Vemo, da je višina okroglega ravnega stožca enaka njegovemu premeru. Potrebno je izračunati površino figure, vedoč, da je površina njene osnove 50 cm2.
Če poznate površino kroga, lahko najdete polmer figure. Imamo:
So=pi × r2=>
r=√(So /pi)
Sedaj poiščimo generator g glede na h in r. Glede na pogoj je višina h figure enaka dvema polmeroma r, potem je:
h=2 × r;
g2=(2 × r)2+ r2=>
g=√5 × r=√(5 × So / pi)
Najdeni formuli za g in r je treba nadomestiti z izrazom za celotno površino stožca. Dobimo:
S=So+ pi × √(So / pi) × √(5 × S o /pi)=So × (1 + √5)
V dobljeni izraz nadomestimo površino osnove So in zapišemo odgovor: S ≈ 161,8 cm2.
