Geometrijske figure v prostoru so predmet študija stereometrije, katerega tečaj opravijo šolarji v srednji šoli. Ta članek je posvečen tako popolnemu poliedru, kot je prizma. Podrobneje razmislimo o lastnostih prizme in podamo formule, ki jih kvantitativno opisujejo.
Kaj je prizma?
Vsakdo si predstavlja, kako izgleda škatla ali kocka. Obe figuri sta prizmi. Vendar je razred prizem veliko bolj raznolik. V geometriji je ta slika dobila naslednjo definicijo: prizma je vsak polieder v prostoru, ki ga tvorita dve vzporedni in enaki mnogokotni strani in več paralelogramov. Enake vzporedne ploskve figure imenujemo njene osnove (zgornja in spodnja). Paralelogrami so stranske ploskve figure, ki povezujejo stranice osnove med seboj.
Če je osnova predstavljena z n-kotnikom, kjer je n celo število, bo figura sestavljena iz 2+n obrazov, 2n oglišč in 3n robov. Obrazi in robovi se nanašajo naena od dveh vrst: bodisi pripadajo stranski površini ali bazam. Kar zadeva oglišča, so vsa enaka in pripadajo osnovam prizme.
Vrste številk preučevanega razreda
Pri preučevanju lastnosti prizme bi morali našteti možne vrste te figure:
- konveksno in konkavno. Razlika med njima je v obliki poligonalne osnove. Če je konkavna, bo tudi tridimenzionalna figura in obratno.
- Ravno in poševno. Za ravno prizmo so stranske ploskve pravokotniki ali kvadrati. V poševni sliki so stranske ploskve paralelogrami splošnega tipa ali rombi.
- Narobe in prav. Da bi bila slika pravilna, mora biti ravna in imeti pravilno osnovo. Primer slednjega so ravne figure, kot sta enakostranični trikotnik ali kvadrat.
Ime prizme je oblikovano ob upoštevanju navedene klasifikacije. Na primer, zgoraj omenjeni pravokotni paralelepiped ali kocka se imenuje pravilna štirikotna prizma. Pravilne prizme so zaradi svoje visoke simetrije primerne za preučevanje. Njihove lastnosti so izražene v obliki posebnih matematičnih formul.
območje prizme
Ko upoštevamo takšno lastnost prizme kot njena površina, pomenijo skupno površino vseh njenih ploskov. To vrednost si je najlažje predstavljati, če lik razprete, torej razširite vse obraze v eno ravnino. Spodaj naprejSlika prikazuje primer zamaha dveh prizm.
Za poljubno prizmo lahko formulo za površino njenega zamaha v splošni obliki zapišemo takole:
S=2So+ bPsr.
Pojasnimo zapis. Vrednost So je površina ene osnove, b je dolžina stranskega roba, Psr je obod reza, ki je pravokotna na stranski paralelogram slike.
Napisana formula se pogosto uporablja za določanje območij nagnjenih prizm. V primeru pravilne prizme bo izraz za S dobil določeno obliko:
S=n/2a2ctg(pi/n) + nba.
Prvi člen v izrazu predstavlja površino dveh osnov pravilne prizme, drugi člen je površino stranskih pravokotnikov. Tukaj je a dolžina stranice pravilnega n-kotnika. Upoštevajte, da je dolžina stranskega roba b za pravilno prizmo tudi njena višina h, zato je v formuli b mogoče nadomestiti s h.
Kako izračunati prostornino figure?
Prizma je razmeroma preprost polieder z visoko simetrijo. Zato za določitev njegove prostornine obstaja zelo preprosta formula. Izgleda takole:
V=Soh.
Izračunavanje osnovne površine in višine je lahko težavno, če pogledamo poševno nepravilno obliko. Ta problem je rešen z zaporedno geometrijsko analizo, ki vključuje informacije o kotih diedra med stranskima paralelogramoma in osnovo.
Če je prizma pravilna, potemformula za V postane precej konkretna:
V=n/4a2ctg(pi/n)h.
Kot vidite, sta površina S in prostornina V za običajno prizmo enolično določena, če sta znana dva njena linearna parametra.
Trikotna pravilna prizma
Zaključimo članek z upoštevanjem lastnosti običajne trikotne prizme. Sestavlja ga pet ploskov, od katerih so tri pravokotniki (kvadrati), dva pa enakostranična trikotnika. Prizma ima šest vrhov in devet robov. Za to prizmo so formule prostornine in površine zapisane spodaj:
S3=√3/2a2+ 3ha
V3=√3/4a2h.
Poleg teh lastnosti je koristno podati tudi formulo za apotem osnove figure, ki je višina ha enakostraničnega trikotnika:
ha=√3/2a.
Stranice prizme so enaki pravokotniki. Dolžine njihovih diagonal d so:
d=√(a2+ h2).
Poznavanje geometrijskih lastnosti trikotne prizme ni le teoretičnega, temveč tudi praktičnega pomena. Dejstvo je, da se ta figura, narejena iz optičnega stekla, uporablja za preučevanje spektra sevanja teles.
Ko prehaja skozi stekleno prizmo, se svetloba zaradi pojava disperzije razgradi na več komponentnih barv, kar ustvarja pogoje za preučevanje spektralne sestave elektromagnetnega toka.
