Odvod kosinusa najdemo po analogiji z izpeljanko sinusa, osnova dokaza je definicija meje funkcije. Uporabite lahko drugo metodo, pri čemer uporabite trigonometrične redukcijske formule za kosinus in sinus kotov. Izrazite eno funkcijo v smislu druge – kosinus v smislu sinusa in ločite sinus s kompleksnim argumentom.
Razmislite o prvem primeru izpeljave formule (Cos(x))'
Argumentu x funkcije y=Cos(x) dajte zanemarljivo majhen prirast Δx. Z novo vrednostjo argumenta х+Δх dobimo novo vrednost funkcije Cos(х+Δх). Potem bo prirast funkcije Δy enak Cos(х+Δx)-Cos(x).
Razmerje med prirastkom funkcije in Δх bo: (Cos(х+Δx)-Cos(x)) /Δх. Izvedemo enake transformacije v števcu nastalega ulomka. Spomnimo se formule za razliko v kosinusih kotov, rezultat bo produkt -2Sin (Δx / 2) krat Sin (x + Δx / 2). Najdemo mejo količnika lim tega produkta na Δx, ko Δx teži k nič. Znano je, da je prvi(imenuje se čudovito) meja lim(Sin(Δx/2)/(Δx/2)) je enaka 1, meja -Sin(x+Δx/2) pa je enaka -Sin(x) kot Δx teži k nič. Zapiši rezultat: izpeljanka (Cos(x))' je enaka - Sin(x).
Nekateri imajo raje drugi način izpeljave iste formule
Iz tečaja trigonometrije je znano: Cos(x) je enak Sin(0, 5 ∏-x), podobno je Sin(x) enak Cos(0, 5 ∏-x). Nato diferenciramo kompleksno funkcijo - sinus dodatnega kota (namesto kosinusa x).
Dobimo produkt Cos(0, 5 ∏-x) (0, 5 ∏-x)', ker odvod sinusa x je enak kosinsu X. Obrnemo se na drugo formulo Sin(x)=Cos(0,5 ∏-x) zamenjave kosinusa s sinusom, pri čemer upoštevamo, da je (0,5 ∏-x)'=-1. Zdaj dobimo -Sin(x). Torej najdemo izpeljanko kosinusa, y'=-Sin(x) za funkcijo y=Cos(x).
Kvadratni kosinusni izvod
Pogosto uporabljen primer, kjer se uporablja kosinusni derivat. Funkcija y=Cos2(x) je težka. Najprej poiščemo diferencial potenčne funkcije z eksponentom 2, bo 2·Cos(x), nato ga pomnožimo z izvodom (Cos(x))', ki je enak -Sin(x). Dobimo y'=-2 Cos(x) Sin(x). Ko uporabimo formulo Sin(2x), sinus dvojnega kota, dobimo končno poenostavljenoodgovor y'=-Sin(2x)
Hiperbolične funkcije
Uporabljajo se pri študiju številnih tehničnih disciplin: v matematiki na primer olajšajo izračun integralov, reševanje diferencialnih enačb. Izražene so v obliki trigonometričnih funkcij z imaginarnimargument, torej hiperbolični kosinus ch(x)=Cos(i x), kjer je i imaginarna enota, hiperbolični sinus sh(x)=Sin(i x).
Izvod hiperboličnega kosinusa se izračuna precej preprosto.
Upoštevajte funkcijo y=(ex+e-x) /2, to in je hiperbolični kosinus ch(x). Uporabljamo pravilo za iskanje izvoda vsote dveh izrazov, pravilo za odvzem konstantnega faktorja (Const) iz predznaka izvoda. Drugi člen 0,5 e-x je kompleksna funkcija (njena izpeljanka je -0,5 e-x), 0,5 eх ― prvi mandat. (ch(x)) '=((ex+e-x)/2)' na drug način: (0, 5 ex+0, 5 e-x)'=0, 5 e x-0, 5 e-x, ker izpeljanka (e - x)' je enako -1-krat e-x. Rezultat je razlika in to je hiperbolični sinus sh(x).Izhod: (ch(x))'=sh(x).
Oglejmo si primer, kako izračunaj izpeljavo funkcije y=ch(x
3+1).V skladu s pravilom hiperboličnega kosinusa s kompleksnim argumentom y'=sh(x
3+1) (x 3+1)', kjer je (x3+1)'=3 x 2+0. Odgovor: izpeljanka te funkcije je 3 x
2sh(x3+1).
Tabelarne izpeljanke obravnavanih funkcij y=ch(x) in y=Cos(x)
Pri reševanju primerov jih ni treba vsakič razlikovati po predlagani shemi, dovolj je, da uporabimo sklepanje.
Primer. Diferenciramo funkcijo y=Cos(x)+Cos2(-x)-Ch(5 x). Preprosto izračunati (uporabite tabelarne podatke), y'=-Sin(x) +Sin(2 x)-5 Sh(5 x).
