Ena od vej matematike, s katero se šolarji spopadajo z največjimi težavami, je trigonometrija. Nič čudnega: za svobodno obvladovanje tega področja znanja potrebujete prostorsko razmišljanje, sposobnost iskanja sinusov, kosinusov, tangent, kotangens s pomočjo formul, poenostavitve izrazov in uporabe števila pi v izračunih. Poleg tega morate biti sposobni uporabiti trigonometrijo pri dokazovanju izrekov, kar zahteva bodisi razvit matematični spomin ali sposobnost sklepanja zapletenih logičnih verig.
Izvor trigonometrije
Uvod v to znanost bi se moral začeti z definicijo sinusa, kosinusa in tangenta kota, vendar morate najprej ugotoviti, kaj trigonometrija počne na splošno.
V preteklosti so bili pravokotni trikotniki glavni predmet raziskav v tem delu matematične znanosti. Prisotnost kota 90 stopinj omogoča izvajanje različnih operacij, ki omogočajo dvestrani in en vogal ali dva vogala in ena stran za določitev vrednosti vseh parametrov zadevne figure. V preteklosti so ljudje opazili ta vzorec in ga začeli aktivno uporabljati pri gradnji zgradb, navigaciji, astronomiji in celo umetnosti.
Začetek
Sprva so ljudje govorili o razmerju kotov in stranic izključno na primeru pravokotnih trikotnikov. Nato so bile odkrite posebne formule, ki so omogočile razširitev meja uporabe tega oddelka matematike v vsakdanjem življenju.
Študij trigonometrije v šoli se danes začne s pravokotnimi trikotniki, nato pa pridobljeno znanje uporabljajo študenti pri fiziki in reševanju abstraktnih trigonometričnih enačb, delo s katerimi se začne v srednji šoli.
Sferična trigonometrija
Pozneje, ko je znanost dosegla naslednjo stopnjo razvoja, so se formule s sinusom, kosinusom, tangentom, kotangensom začele uporabljati v sferični geometriji, kjer veljajo druga pravila, vsota kotov v trikotniku pa je vedno več kot 180 stopinj. Ta odsek se v šoli ne preučuje, vendar je treba vedeti o njegovem obstoju, vsaj zato, ker je zemeljska površina in površina katerega koli drugega planeta konveksna, kar pomeni, da bo vsaka oznaka površja "v obliki loka " v tridimenzionalnem prostoru.
Vzemite globus in nit. Nit pritrdite na kateri koli dve točki na globusu, tako da je napeta. Bodite pozorni - pridobil je obliko loka. Ukvarja se s takšnimi oblikamisferična geometrija, ki se uporablja v geodeziji, astronomiji in drugih teoretičnih in uporabnih področjih.
Pravokotni trikotnik
Ko smo se malo naučili o načinih uporabe trigonometrije, se vrnimo k osnovni trigonometriji, da bomo podrobneje razumeli, kaj so sinus, kosinus, tangenta, katere izračune je mogoče izvesti z njihovo pomočjo in katere formule uporabiti.
Najprej morate razumeti koncepte, povezane s pravokotnim trikotnikom. Prvič, hipotenuza je stran nasproti kotu 90 stopinj. Ona je najdaljša. Spomnimo se, da je po Pitagorejskem izreku njegova številčna vrednost enaka korenu vsote kvadratov drugih dveh stranic.
Na primer, če sta dve strani 3 oziroma 4 centimetre, bo dolžina hipotenuze 5 centimetrov. Mimogrede, stari Egipčani so za to vedeli pred približno štirimi tisoč leti in pol.
Dve preostali strani, ki tvorita pravi kot, se imenujeta kraki. Poleg tega se moramo spomniti, da je vsota kotov v trikotniku v pravokotnem koordinatnem sistemu 180 stopinj.
Definicija
Ko dobro razumemo geometrijsko osnovo, se lahko obrnemo na definicijo sinusa, kosinusa in tangenta kota.
Sinus kota je razmerje med nasprotnim krakom (to je stranico nasproti želenega kota) in hipotenuzo. Kosinus kota je razmerje med sosednjim krakom in hipotenuzo.
Ne pozabite, da niti sinus niti kosinus ne moreta biti večja od ena! zakaj?Ker je hipotenuza privzeto najdaljša stranica pravokotnega trikotnika. Ne glede na to, kako dolga je noga, bo krajša od hipotenuze, kar pomeni, da bo njihovo razmerje vedno manjše od ena. Če torej v odgovoru na težavo dobite sinus ali kosinus z vrednostjo, večjo od 1, poiščite napako v izračunih ali sklepanju. Ta odgovor je očitno napačen.
Nazadnje je tangenta kota razmerje med nasprotno stranjo in sosednjo stranjo. Isti rezultat bo dal delitev sinusa s kosinusom. Poglejte: po formuli dolžino stranice delimo s hipotenuzo, nato pa delimo z dolžino druge stranice in pomnožimo s hipotenuzo. Tako dobimo enako razmerje kot pri definiciji tangente.
Kotangens je razmerje med stranjo, ki meji na kot, in nasprotno stranjo. Enak rezultat dobimo tako, da enoto delimo s tangento.
Torej, razmislili smo o definicijah, kaj je sinus, kosinus, tangent in kotangens, in lahko se ukvarjamo s formulami.
Preproste formule
V trigonometriji ne gre brez formul - kako najti sinus, kosinus, tangento, kotangens brez njih? Toda ravno to je potrebno pri reševanju problemov.
Prva formula, ki jo morate vedeti, ko začnete študirati trigonometrijo, pravi, da je vsota kvadratov sinusa in kosinusa kota enaka ena. Ta formula je neposredna posledica Pitagorovega izreka, vendar prihrani čas, če morate ugotoviti vrednost kota in ne stranice.
Mnogi študenti se ne spomnijo druge formule, tudi zelopriljubljena pri reševanju šolskih problemov: vsota ena in kvadrat tangente kota je enaka eni, deljeno s kvadratom kosinusa kota. Poglejte si natančneje: navsezadnje je to ista izjava kot v prvi formuli, le da sta obe strani identitete deljeni s kvadratom kosinusa. Izkazalo se je, da preprosta matematična operacija naredi trigonometrično formulo popolnoma neprepoznavno. Ne pozabite: če veste, kaj je sinus, kosinus, tangent in kotangens, pravila pretvorbe in nekaj osnovnih formul, lahko kadar koli neodvisno izpeljete zahtevane kompleksnejše formule na kos papirja.
Formule dvojnega kota in dodajanje argumentov
Še dve formuli, ki se ju je treba naučiti, sta povezani z vrednostmi sinusa in kosinusa za vsoto in razliko kotov. Prikazani so na spodnji sliki. Upoštevajte, da se v prvem primeru sinus in kosinus obakrat pomnožita, v drugem primeru pa se doda parni produkt sinusa in kosinusa.
Obstajajo tudi formule, povezane z argumenti dvojnega kota. Popolnoma so izpeljane iz prejšnjih - kot praksa, jih poskusite dobiti sami, pri čemer je kot alfa enak kotu beta.
Nazadnje, upoštevajte, da je formule dvojnega kota mogoče pretvoriti, da zmanjšate stopnjo sinusa, kosinusa, tangenta alfa.
teoreme
Dva glavna izreka v osnovni trigonometriji sta sinusni izrek in kosinusni izrek. S pomočjo teh izrekov lahko zlahka razumete, kako najti sinus, kosinus in tangento ter s tem površino figure in velikostvsaka stran itd.
Izrek sinusov pravi, da kot rezultat delitve dolžine vsake od stranic trikotnika z vrednostjo nasprotnega kota dobimo enako število. Poleg tega bo to število enako dvema polmeroma opisanega kroga, to je kroga, ki vsebuje vse točke danega trikotnika.
Kosinusni izrek posplošuje Pitagorejev izrek in ga projicira na poljubne trikotnike. Izkazalo se je, da od vsote kvadratov obeh stranic odštejemo njihov produkt, pomnožen z dvojnim kosinusom kota, ki meji nanje - dobljena vrednost bo enaka kvadratu tretje strani. Tako se izkaže, da je Pitagorejev izrek poseben primer kosinusnega izreka.
Napake zaradi nepazljivosti
Tudi če vemo, kaj so sinus, kosinus in tangenta, se zlahka zmotimo zaradi odsotnosti ali napake pri najpreprostejših izračunih. Da bi se izognili takšnim napakam, si oglejmo najbolj priljubljene.
Najprej, ne pretvarjajte navadnih ulomkov v decimalke, preden dobite končni rezultat - odgovor lahko pustite kot navadni ulomek, razen če je v pogoju navedeno drugače. Takšne preobrazbe ne moremo imenovati napake, vendar je treba spomniti, da se lahko na vsaki stopnji naloge pojavijo nove korenine, ki jih je treba po avtorjevi zamisli zmanjšati. V tem primeru boste izgubljali čas za nepotrebne matematične operacije. To še posebej velja za vrednosti, kot je koren treh ali dveh, ker se pojavljajo v nalogah na vsakem koraku. Enako velja za zaokroževanje."Grde" številke.
Upoštevajte, da kosinusni izrek velja za kateri koli trikotnik, ne pa za Pitagorejev izrek! Če pomotoma pozabite dvakrat odšteti produkt strani, pomnožen s kosinusom kota med njima, ne boste dobili le popolnoma napačnega rezultata, ampak tudi pokazali popolno nerazumevanje predmeta. To je hujše kot neprevidna napaka.
Tretjič, ne zamenjujte vrednosti za kote 30 in 60 stopinj za sinuse, kosinuse, tangente, kotangense. Zapomnite si te vrednosti, ker je sinus 30 stopinj enak kosinsu 60 in obratno. Preprosto jih je pomešati in neizogibno boste dobili napačen rezultat.
Prijava
Mnogim študentom se ne mudi s študijem trigonometrije, ker ne razumejo njenega uporabnega pomena. Kaj je sinus, kosinus, tangenta za inženirja ali astronoma? To so koncepti, s katerimi lahko izračunate razdaljo do oddaljenih zvezd, napovedujete padec meteorita, pošljete raziskovalno sondo na drug planet. Brez njih je nemogoče zgraditi zgradbo, oblikovati avtomobil, izračunati obremenitev površine ali poti predmeta. In to so le najbolj očitni primeri! Konec koncev se trigonometrija v takšni ali drugačni obliki uporablja povsod, od glasbe do medicine.
Za zaključek
Torej, veste, kaj so sinus, kosinus, tangent. Lahko jih uporabite pri izračunih in uspešno rešite šolske probleme.
Vse bistvotrigonometrija se zmanjša na dejstvo, da je treba glede na znane parametre trikotnika izračunati neznanke. Skupno je šest parametrov: dolžine treh stranic in velikosti treh kotov. Celotna razlika v nalogah je v tem, da so podani različni vhodni podatki.
Kako najti sinus, kosinus, tangento na podlagi znanih dolžin krakov ali hipotenuze, zdaj veste. Ker ti izrazi ne pomenijo nič drugega kot razmerje, razmerje pa je ulomek, je glavni cilj trigonometričnega problema najti korenine navadne enačbe ali sistema enačb. In tukaj vam bo pomagala običajna šolska matematika.
