Sekunde, tangente - vse to je bilo slišati na stotinekrat pri pouku geometrije. A mature je konec, leta minevajo in vse to znanje je pozabljeno. Kaj si je treba zapomniti?
Essence
Izraz "tangenta na krog" je verjetno vsem znan. Vendar je malo verjetno, da bo vsak lahko hitro oblikoval svojo definicijo. Medtem je tangenta taka ravna črta, ki leži v isti ravnini s krogom, ki jo seka samo v eni točki. Morda jih je ogromno, vendar imajo vsi enake lastnosti, o katerih bomo razpravljali v nadaljevanju. Kot morda ugibate, je stična točka mesto, kjer se križata krog in črta. V vsakem primeru je ena, če pa jih je več, bo sekanta.
Zgodovina odkritij in študij
Koncept tangente se je pojavil v antiki. Konstrukcija teh ravnih črt, najprej do kroga, nato pa do elips, parabol in hiperbol s pomočjo ravnila in kompasa, je bila izvedena že v začetnih fazah razvoja geometrije. Seveda zgodovina ni ohranila imena odkritelja, vendaročitno je, da so se ljudje že takrat dobro zavedali lastnosti tangente na krog.
V sodobnem času se je zanimanje za ta pojav znova razplamtelo – začel se je nov krog preučevanja tega koncepta, združen z odkrivanjem novih krivulj. Tako je Galileo uvedel koncept cikloide, Fermat in Descartes pa sta zgradila tangento nanjo. Kar se tiče krogov, se zdi, da za starodavne na tem področju ni več skrivnosti.
Lastnosti
Polmer, narisan do presečišča, bo pravokoten na črto. To je
glavna, a ne edina lastnost, ki jo ima tangenta na krog. Druga pomembna značilnost vključuje že dve ravni črti. Torej, skozi eno točko, ki leži zunaj kroga, je mogoče narisati dve tangenti, medtem ko bosta njuna segmenta enaka. Na to temo obstaja še en izrek, ki pa je redko zajet v okviru standardnega šolskega tečaja, čeprav je izjemno priročen za reševanje nekaterih problemov. Sliši se takole. Iz ene točke, ki se nahaja zunaj kroga, se nanjo potegneta tangenta in sekansa. Oblikujejo se segmenti AB, AC in AD. A je presečišče premic, B je stična točka, C in D sta presečišča. V tem primeru bo veljala naslednja enakost: dolžina tangente na krog, na kvadrat, bo enaka zmnožku odsekov AC in AD.
Iz zgornjega izhaja pomembna posledica. Za vsako točko kroga lahko zgradite tangento, vendar samo eno. Dokaz za to je precej preprost: če teoretično spustimo navpičnico iz polmera nanjo, ugotovimo, da je nastalatrikotnik ne more obstajati. In to pomeni, da je tangenta edina.
zgradba
Med drugimi problemi v geometriji je posebna kategorija, praviloma ne
obožujejo učenci in študenti. Za reševanje nalog iz te kategorije potrebujete le kompas in ravnilo. To so gradbene naloge. Obstajajo tudi metode za sestavljanje tangente.
Torej, glede na krog in točko, ki ležita zunaj njenih meja. In skozi njih je treba potegniti tangento. Kako narediti? Najprej morate narisati segment med središčem kroga O in dano točko. Nato ga s kompasom razdelite na polovico. Če želite to narediti, morate nastaviti polmer - nekaj več kot polovico razdalje med središčem prvotnega kroga in dano točko. Po tem morate zgraditi dva sekajoča se loka. Poleg tega polmera kompasa ni treba spreminjati, središče vsakega dela kroga pa bo začetna točka oziroma O. Sečišča lokov morajo biti povezana, kar bo segment razdelilo na polovico. Nastavite polmer na kompasu, ki je enak tej razdalji. Nato s središčem na presečišču narišite še en krog. Na njej bosta ležala tako začetna točka kot O. V tem primeru bosta s krogom, podanim v problemu, še dve presečišči. To bodo stične točke za prvotno dano točko.
Zanimivo
Konstrukcija tangent na krog je vodila do rojstva
diferencialni račun. Prvo delo na to temo je biloizdal slavni nemški matematik Leibniz. Zagotovil je možnost iskanja maksimumov, minimumov in tangent, ne glede na frakcijske in iracionalne vrednosti. No, zdaj se uporablja tudi za številne druge izračune.
Poleg tega je tangenta na krog povezana z geometrijskim pomenom tangente. Od tod izvira njegovo ime. V prevodu iz latinščine tangens pomeni "tangenta". Tako ta koncept ni povezan samo z geometrijo in diferencialnim računom, ampak tudi s trigonometrijo.
Dva kroga
Tangenta ne vpliva vedno samo na eno obliko. Če je v en krog mogoče narisati ogromno število ravnih črt, zakaj ne bi obratno? Lahko. Toda naloga je v tem primeru resno zapletena, saj tangenta na dva kroga morda ne gre skozi nobeno točko, relativni položaj vseh teh številk pa je lahko zelo
drugačno.
Vrste in sorte
Ko gre za dva kroga in eno ali več črt, tudi če je znano, da so to tangente, ni takoj jasno, kako se vse te figure nahajajo med seboj. Na podlagi tega obstaja več sort. Torej imajo krogi lahko eno ali dve skupni točki ali pa jih sploh nimajo. V prvem primeru se bodo križali, v drugem pa se bodo dotikali. In tukaj sta dve sorti. Če je en krog tako rekoč vgrajen v drugega, se dotik imenuje notranji, če ne, pa zunanji. razumeti vzajemnolokacija figur je možna ne le na podlagi risbe, ampak tudi na podlagi podatkov o vsoti njihovih polmerov in razdalji med njihovimi središči. Če sta ti dve količini enaki, se kroga dotikata. Če je prva večja, se sekajo, če je manjša pa nimata skupnih točk.
Enako z ravnimi črtami. Za katera koli dva kroga, ki nimata skupnih točk, lahko
konstruiraj štiri tangente. Dva od njih se bosta križala med figurami, imenujemo se notranji. Nekaj drugih je zunanjih.
Če govorimo o krogih, ki imajo eno skupno točko, je naloga močno poenostavljena. Dejstvo je, da bodo za vsako medsebojno ureditev v tem primeru imeli samo eno tangento. In šel bo skozi točko njihovega križišča. Torej konstrukcija težav ne bo povzročila.
Če imata figuri dve presečniški točki, potem je mogoče zanje konstruirati ravno črto, ki se dotika kroga, tako eno kot drugo, vendar samo zunanjo. Rešitev tega problema je podobna tisti, ki bo obravnavana spodaj.
Reševanje težav
Notranje in zunanje tangente na dva kroga ni tako enostavno zgraditi, čeprav je ta problem mogoče rešiti. Dejstvo je, da se za to uporablja pomožna številka, zato si omislite to metodo sami
precej problematično. Torej, glede na dva kroga z različnimi polmeri in središčema O1 in O2. Zanje morate zgraditi dva para tangent.
Najprej blizu središča večjegakroge je treba zgraditi pomožne. V tem primeru je treba na kompasu določiti razliko med polmeri obeh začetnih številk. Tangente na pomožni krog so zgrajene iz središča manjšega kroga. Nato se iz O1 in O2 na te premice narišejo pravokotnici, dokler se ne sekajo s prvotnimi figurami. Kot izhaja iz glavne lastnosti tangente, najdemo želene točke na obeh krogih. Problem rešen, vsaj prvi del.
Če želite konstruirati notranje tangente, boste morali praktično rešiti
podobna naloga. Spet je potrebna pomožna številka, vendar bo tokrat njen polmer enak vsoti prvotnih. Tangente so zgrajene nanj iz središča enega od danih krogov. Nadaljnji potek rešitve je mogoče razumeti iz prejšnjega primera.
Tagenta na krog ali celo dva ali več ni tako težka naloga. Seveda matematiki že dolgo niso več ročno reševali takšne probleme in zaupajo izračune posebnim programom. Ampak ne mislite, da zdaj ni nujno, da bi to mogli narediti sami, saj morate za pravilno formuliranje naloge za računalnik veliko narediti in razumeti. Žal obstaja bojazen, da bodo po dokončnem prehodu na testno obliko kontrole znanja gradbene naloge študentom povzročale vedno več težav.
Kar zadeva iskanje skupnih tangent za več krogov, to ni vedno mogoče, tudi če ležijo v isti ravnini. Toda v nekaterih primerih lahko najdete tako ravno črto.
Življenjski primeri
Skupna tangenta na dva kroga se v praksi pogosto srečuje, čeprav ni vedno opazna. Transportni trakovi, blok sistemi, jermenice za prenos jermenic, napetost niti v šivalnem stroju in celo samo kolesarska veriga - vse to so primeri iz življenja. Zato ne mislite, da geometrijski problemi ostanejo le v teoriji: v inženirstvu, fiziki, gradbeništvu in mnogih drugih področjih najdejo praktične aplikacije.
