Inverzne trigonometrične funkcije tradicionalno povzročajo težave šolarjem. Sposobnost izračunavanja tangenta loka števila je morda potrebna pri nalogah USE v planimetriji in stereometriji. Če želite uspešno rešiti enačbo in problem s parametrom, morate razumeti lastnosti funkcije tangente loka.
Definicija
Ločna tangenta števila x je število y, katerega tangenta je x. To je matematična definicija.
Funkcija arktangente je zapisana kot y=arctg x.
Na splošno: y=Carctg (kx + a).
Izračun
Če želite razumeti, kako deluje inverzna trigonometrična funkcija arktangenta, se morate najprej spomniti, kako se določi vrednost tangenta števila. Poglejmo si podrobneje.
Tangens x je razmerje med sinusom x in kosinusom x. Če je vsaj ena od teh dveh količin znana, je modul druge mogoče dobiti iz osnovne trigonometrične identitete:
sin2 x + cos2 x=1.
Seveda bo za odklepanje modula potrebna ocena.
Čeznano je samo število in ne njegove trigonometrične značilnosti, potem je v večini primerov potrebno približno oceniti tangent števila s sklicevanjem na Bradisovo tabelo.
Izjeme so tako imenovane standardne vrednosti.
Predstavljeni so v naslednji tabeli:
Poleg zgornjega se lahko vse vrednosti, pridobljene iz podatkov z dodajanjem števila v obliki ½πк (к - poljubno celo število, π=3, 14), štejejo za standardne.
Povsem enako velja za ločno tangento: najpogosteje je približno vrednost razvidna iz tabele, vendar je zagotovo znanih le nekaj vrednosti:
V praksi je pri reševanju problemov šolske matematike običajno dati odgovor v obliki izraza, ki vsebuje tangento loka, in ne njegove približne ocene. Na primer, arctg 6, arctg (-¼).
Izris grafa
Ker je tangenta lahko poljubna, je domena arktangentne funkcije celotna številska premica. Pojasnimo podrobneje.
Ista tangenta ustreza neskončnemu številu argumentov. Na primer, ni samo tangent nič enak nič, ampak tudi tangent poljubnega števila v obliki π k, kjer je k celo število. Zato so se matematiki strinjali, da bodo izbrali vrednosti za tangent loka iz intervala od -½ π do ½ π. To je treba razumeti na ta način. Obseg funkcije arktangenta je interval (-½ π; ½ π). Konci vrzeli niso vključeni, saj tangenta -½p in ½p ne obstajata.
V določenem intervalu je tangenta neprekinjenapoveča. To pomeni, da se tudi inverzna funkcija tangente loka na celotni številski premici nenehno povečuje, vendar omejena od zgoraj in spodaj. Posledično ima dve horizontalni asimptoti: y=-½ π in y=½ π.
V tem primeru je tg 0=0, drugih presečišč z abscisno osjo, razen (0;0), graf ne more imeti zaradi povečanja.
Kot izhaja iz paritete tangentne funkcije, ima arktangent podobno lastnost.
Če želite zgraditi graf, vzemite več točk med standardnimi vrednostmi:
Odvod funkcije y=arctg x na kateri koli točki se izračuna po formuli:
Upoštevajte, da je njegova izpeljanka povsod pozitivna. To je skladno s prejšnjim zaključkom o nenehnem povečevanju funkcije.
Drugi izvod arktangenta izgine v točki 0, je negativen za pozitivne vrednosti argumenta in obratno.
To pomeni, da ima graf tangentne funkcije loka pregibno točko na nič in je konveksen navzdol na intervalu (-∞; 0] in navzgor konveksen na intervalu [0; +∞).
