Na vprašanje, kaj je kvadrat, je lahko veliko odgovorov. Vse je odvisno od tega, komu postavljate to vprašanje. Glasbenik bo rekel, da je kvadrat 4, 8, 16, 32 taktov ali jazz improvizacija. Otrok - kaj je igra z žogo ali otroška revija. Tiskalnik vas bo poslal k preučevanju velikosti tipov, tehnik pa vam bo poslal sorte kovinsko valjanih profilov.
Obstaja veliko drugih pomenov te besede, danes pa bomo matematiku postavili vprašanje. Torej…
To številko bomo obravnavali postopoma, od preprostega do zapletenega, in začeli z zgodovino kvadrata. Kako se je pojavil, kako so ga dojemali ljudje, znanstveniki iz različnih držav in civilizacij?
Zgodovina študije kvadrata
Starodavni svet je kvadrat dojemal predvsem kot štiri kardinalne točke. Na splošno, kljub številnim štirikotnikom, je kvadrat, ki ima glavno številko - štiri. za Asirce inPerujski trg - ves svet, torej predstavlja štiri glavne smeri, kardinalne točke.
Tudi vesolje je bilo predstavljeno kot kvadrat, prav tako razdeljen na štiri dele - to je vizija prebivalcev Severne Amerike. Za Kelte je vesolje kar trije kvadrati, ki so ugnezdeni drug v drugega, iz središča pa tečejo štiri (!) Reke. In Egipčani so na splošno pobožali to številko!
Grki so prvič opisali kvadrat z uporabo matematičnih formul. Toda zanje je imel ta poligon le negativne lastnosti. Pitagora sploh ni maral sodnih številk, saj je v njih videl šibkost in ženskost.
Tudi religije imajo kvadrat. V islamu Kaaba - popek Zemlje - nima neke sferične, ampak kubične oblike.
V Indiji je bil glavni grafem, ki prikazuje Zemljo ali simbol zemlje, prekrižani kvadrat. In spet govorimo o štirih kardinalnih točkah, štirih predelih zemlje.
Na Kitajskem je trg mir, harmonija in red. Kaos je premagan z gradnjo kvadratne Vara. Kvadrat, vpisan v krog, je osnova vizije sveta, ki simbolizira enotnost in povezanost Kozmosa in Zemlje.
Poganska Rusija - Trg Svarog. Ta simbol se imenuje tudi Svarogova zvezda ali zvezda Rusije. Je precej zapletena, saj je sestavljena iz sekajočih se in zaprtih črt. Svarog je bog-kovač, najpomembnejši ustvarjalec, ustvarjalec in samo nebo v pogledu Rusov. V tem simbolu je romb, ki spet govori o Zemlji in njenih štirih smereh. In zvezda s štirimi žarki - 4 kardinalne točke, 4 obrazi Svaroga - njegova vsevednost. In presečišče žarkov je ognjišče.
Zanimivo o kvadratu
Najbolj priljubljena fraza, ki pride na misel o našem glavnem junaku, je "Črni kvadrat".
Malevičeva slika je še vedno zelo priljubljena. Samega avtorja je po nastanku dolgo mučilo vprašanje, kaj je in zakaj preprost črn kvadrat na belem ozadju tako pritegne pozornost nase.
Ampak če pogledate natančno, boste opazili, da ravnina kvadrata ni gladka, v razpokah črne barve pa je veliko večbarvnih odtenkov. Očitno je na začetku obstajala določena kompozicija, ki avtorju ni bila všeč, in jo je s to figuro zaprl pred našimi očmi. Črni kvadrat je kot nič - črna luknja, le čarobne kvadratne oblike. In znano je, da praznina privlači …
Zelo priljubljeni so tudi "čarobni kvadrati". Pravzaprav je to tabela, seveda kvadrat, napolnjen s številkami v vsakem stolpcu. Vsota teh številk je enaka v vseh vrsticah, stolpcih in diagonalah (posamezno). Če so diagonale izključene iz enakosti, je kvadrat polmagičen.
Albrecht Durer je leta 1514 ustvaril sliko "Melanholija I", ki je upodobila čarobni kvadrat 4x4. V njem je vsota številk vseh stolpcev, vrstic, diagonal in celo notranjih kvadratov štiriintrideset.
Na podlagi teh tabel so se pojavile zelo zanimive in priljubljene uganke - "Sudoku".
Egiptčani so bili prvi, ki so potegnili črte medsebojne povezanosti med številkami (datum rojstva) in lastnostmi značaja, sposobnosti in talentov osebe. Pitagora je to znanje vzel, ga nekoliko predelal inpostavljena v kvadrat. Rezultat je Pitagorejski kvadrat.
To je že ločena smer v numerologiji. Od datuma rojstva osebe se z seštevanjem izračunajo štiri glavne številke, ki so postavljene v psihomatriko (kvadrat). Tako na police razporedijo vse skrivne podatke o vaši energiji, zdravju, talentu, sreči, temperamentu in drugih stvareh. Glede na ankete je zanesljivost v povprečju 60% -80%.
Kaj je kvadrat?
Kvadrat je geometrijska figura. Oblika kvadrata je štirikotnik, ki ima enake stranice in kote. Še natančneje se ta štirikotnik imenuje pravilen.
Kvadrat ima svoje znake. To je:
- stranice enake dolžine;
- enaki koti - naravnost (90 stopinj).
Zaradi teh znakov in značilnosti lahko v kvadrat vpišemo krog in ga opišemo okoli njega. Opisani krog se bo dotaknil vseh svojih oglišč, vpisan krog se bo dotaknil središč vseh svojih stranic. Njihovo središče bo sovpadalo s središčem kvadrata in bo vse njegove diagonale razdelilo na polovico. Slednji so med seboj enaki in delijo vogale kvadrata na enake dele.
Ena diagonala razdeli kvadrat na dva enakokraka trikotnika, oba na štiri.
Tako, če je dolžina stranice kvadrata t, je dolžina polmera opisanega kroga R in vpisana kroga r, potem
površina osnove kvadrata ali površina kvadrata (S) bo enaka S=t2=2R 2=4r 2;
obseg kvadrata P je treba izračunati po formuli P=4t=4√2R=8r;
dolžina polmera opisanega kroga R=(√2/2)t;
vpisano - r=t/2
Površino osnove kvadrata lahko izračunamo tudi tako, da poznamo njegovo stran (a) ali dolžino njegove diagonale (c), potem bodo formule videti ustrezno: S=a 2 inS=1/2c2.
Kaj je kvadrat, smo ugotovili. Oglejmo si podrobneje podrobnosti, saj je kvadratna figura najbolj simetričen štirikotnik. Ima pet simetričnih osi, pri čemer ena (četrtega reda) poteka skozi središče in je pravokotna na ravnino samega kvadrata, ostale štiri pa so simetrične osi drugega reda, dve od njih sta vzporedni s kvadratom. strani in še dve gresta skozi diagonale kvadrata.
Metode za sestavljanje kvadrata
Na podlagi definicij se zdi, da ni nič lažjega kot zgraditi običajen kvadrat. To je res, vendar pod pogojem, da imate vsa merilna orodja. Kaj pa, če česa ni na zalogi?
Oglejmo si obstoječe načine, ki nam lahko pomagajo zgraditi to obliko.
Mersko ravnilo in kvadrat sta glavna orodja, s katerimi lahko najlažje narišete kvadrat.
Najprej označite točko, recimo A, iz nje bomo zgradili osnovo kvadrata.
S pomočjo ravnila nastavite razdaljo od njega v desno enako dolžini stranice, recimo 30 mm, in postavite točko B.
Sedaj iz obeh točk s kvadratom narišite pravokotnice vsake 30 mm. Na koncih navpičnic postavimo točki C in D, ki ju s pomočjo med seboj povežemoravnilo - to je to, kvadrat ABCD s stranico 30 mm je pripravljen!
Kvadrat je precej enostavno narediti tudi z ravnilom in kotomerjem. Začnite, kot v prejšnjem primeru, od točke, recimo H, od nje odložite vodoravni segment, na primer 50 mm. Točka O.
Sedaj povežite središče kotomera s točko H, postavite oznako na vrednost kota 900, skozi njo zgradite navpični segment 50 mm in točko H, na njen konec postavite točko P. Nato podobno zgradite tretji segment od točke O skozi kot 900, ki je enak 50 mm, naj se konča s točko P. Povežite točki P in P. Imate kvadrat NORP z dolžino stranice 50 mm.
Kvadrat lahko zgradite samo s kompasom in ravnilo. Če vam je velikost kvadrata pomembna in je dolžina stranice znana, boste potrebovali tudi kalkulator.
Torej, postavite prvo točko E - to bo iz oglišč kvadrata. Nato navedite mesto, kjer se bo nahajalo nasprotno oglišče W, to je diagonala HJ vaše figure. Če gradite kvadrat velikosti, potem z dolžino stranice izračunajte dolžino diagonale po formuli:
d=√2a, kjer je a dolžina stranice.
Ko poznate dolžino diagonale, sestavite odsek …Ž te vrednosti. Iz točke E s šestilom v smeri točke F narišite polkrog s polmerom EJ. In obratno, od točke F - polkrog proti točki E, s polmerom ISTI. Skozi presečišča teh polkrogov z ravnilom zgradite segment ZI. Ježek in ZI se sekata pravokotno in sta diagonali prihodnjega kvadrata. S povezovanjem točk EI, IZH, ZHZ in ZEz ravnilom boste dobili vpisan kvadrat EIHZ.
Še vedno je mogoče zgraditi kvadrat z enim ravnilom. Kaj je kvadrat? To je odsek ravnine, omejen s sekajočimi se segmenti (premice, žarki). Zato lahko iz koordinat njegovih oglišč sestavimo kvadrat. Najprej narišite koordinatne osi. Stranice kvadrata lahko ležijo na njih ali pa bo središče presečišča diagonal sovpadalo z izhodiščno točko - odvisno je od vaše želje ali pogojev problema. Morda bo vaša figura nekoliko oddaljena od osi. V vsakem primeru najprej označite dve točki s številčnimi vrednostmi (poljubno ali pogojno), potem boste vedeli dolžino stranice kvadrata. Zdaj lahko izračunate koordinate preostalih dveh vozlišč, pri čemer ne pozabite, da sta strani kvadrata enaki in sta parno vzporedni drug z drugim. Zadnji korak je, da z ravnilom povežete vse pike zaporedno med seboj.
Kaj so kvadratki?
Kvadrat je figura, ki je jasno opredeljena in strogo omejena s svojimi definicijami, zato se vrste kvadratov ne razlikujejo po raznolikosti.
V neevklidski geometriji je kvadrat zaznan širše – je štirikotnik z enakimi stranicami in koti, vendar stopnja kotov ni določena. To pomeni, da so vogali lahko 120 stopinj ("konveksni" kvadrat) in na primer 72 stopinj ("konkavni" kvadrat).
Če vprašate geometra ali računalničarja, kaj je kvadrat, vam bodo odgovorili, da je to popoln ali ravninski graf (grafi od K1 do K4). In topopolnoma pošteno. Graf ima oglišča in robove. Ko tvorijo urejen par, se oblikuje graf. Število vozlišč je vrstni red grafa, število robov pa njegova velikost. Tako je kvadrat ravninski graf s štirimi oglišči in šestimi robovi ali K4:6.
kvadratna stran
Eden od glavnih pogojev za obstoj kvadrata - prisotnost enakih stranic po dolžini - naredi stran zelo pomembno za različne izračune. Toda hkrati ponuja veliko načinov za izračun dolžine stranice kvadrata ob prisotnosti različnih vhodnih podatkov.
Kako torej najdete stran kvadrata?
- Če poznate samo dolžino diagonale kvadrata d, lahko stran izračunate po naslednji formuli: a=d/√2.
- Premer vpisanega kroga je enak stranici kvadrata in torej dvema polmeroma, to je: a=D=2R.
- Polmer opisanega kroga vam lahko pomaga tudi izračunati, kakšna je stranica kvadrata. Premer D lahko ugotovimo iz polmera R, ki je po drugi strani enak diagonali kvadrata d, in že poznamo formulo za stran kvadrata skozi diagonalo: a=D/√2=d/√2=2R/√2.
- Iz enakosti strani sledi, da lahko najdete stran kvadrata (a) z uporabo njegovega oboda P ali površine S: a=√S=P/4.
- Če poznamo dolžino premice, ki izhaja iz vogala kvadrata in prečka sredino njegove sosednje stranice C, bomo lahko ugotovili tudi, kakšna je dolžina stranice kvadrata kvadrat: a=2C/√5.
Obstaja toliko načinov, kako ugotoviti tako pomemben parameter, kot je dolžina stranice kvadrata.
Kvadratna prostornina
Sama fraza je absurdna. Kaj je kvadrat? To je ravna figura, ki ima samo dva parametra - dolžino in širino. In glasnost? To je kvantitativna značilnost prostora, ki ga predmet zaseda, to pomeni, da ga je mogoče izračunati samo za volumetrična telesa.
3D telo, katerega vse ploskve so kvadrati - kocka. Kljub ogromni in temeljni razliki šolarji pogosto poskušajo izračunati prostornino kvadrata. Če komu uspe, je Nobelova nagrada zagotovljena.
In da bi ugotovili prostornino kocke V, je dovolj, da pomnožite vse tri njene robove - a, b, c: V=abc. In ker sta po definiciji enaka, je formula lahko videti drugače: V=a3.
Količine, deli in specifikacije
Kvadrat, tako kot vsak mnogokotnik, ima oglišča - to so točke, kjer se njegove stranice sekajo. Ogljišča kvadrata ležijo na krogu, ki je opisan okoli njega. Diagonala poteka skozi oglišče v središče kvadrata, ki je tudi simetrala in polmer opisane kroge.
Ker je kvadrat ravna figura, je nemogoče secirati in sestaviti odsek kvadrata. Lahko pa je posledica preseka številnih tridimenzionalnih teles z ravnino. Na primer cilinder. Osni prerez cilindra je pravokotnik ali kvadrat. Tudi ko se telo seka z ravnino pod poljubnim kotom, se lahko izkaže kvadrat!
Toda kvadrat ima drug odnos do odseka, vendar ne do katerega koli, ampak do zlatega reza.
Vsi vemo, da je zlati rez razmerje, v katerem je ena vrednost povezana z drugo na enak način kotnjihovo vsoto na večjo vrednost. V splošnih odstotkih je videti takole: prvotna vrednost (znesek) je deljena z 62 in 38 odstotki.
Zlati rez je zelo priljubljen. Uporablja se v oblikovanju, arhitekturi, kjerkoli, tudi v gospodarstvu. Toda to še zdaleč ni edini delež, ki ga je izpeljal Pitagora. Obstaja na primer še en izraz "√2". Na njegovi podlagi so zgrajeni dinamični pravokotniki, ki so po drugi strani ustanovitelji formatov skupine A (A6, A5, A4 itd.). Zakaj govorimo o dinamičnih pravokotnikih? Ker se njihova konstrukcija začne s kvadratom.
Da, najprej morate zgraditi kvadrat. Njegova stranica bo enaka manjši strani prihodnjega pravokotnika. Nato je treba narisati diagonalo tega kvadrata in s kompasom odložiti dolžino te diagonale na nadaljevanje stranice kvadrata. Iz točke, ki jo dobimo na presečišču, zgradimo pravokotnik, za katerega ponovno zgradimo diagonalo in odstavimo njegovo dolžino na nadaljevanju stranice. Če boste nadaljevali z delom po tej shemi, boste dobili enake dinamične pravokotnike.
Razmerje med daljšo stranjo prvega pravokotnika in krajšo stranjo bo 0,7. V zlatem razmerju je skoraj 0,68.
kvadratni vogali
Pravzaprav je o kotih že težko povedati kaj svežega. Vse lastnosti, so znaki kvadrata, smo našteli. Kar zadeva kote, so štirje (kot v vsakem štirikotniku), vsak kot v kvadratu je pravi, torej ima velikost devetdeset stopinj. A-priorat,obstaja samo pravokoten kvadrat. Če so vogali večji ali manjši, je to druga oblika.
Diagonale kvadrata delijo njegove vogale na polovico, torej so simetrale.
kvadratna enačba
Če je treba izračunati vrednost različnih količin kvadrata (površine, oboda, dolžine stranic ali diagonal), uporabite različne enačbe, ki izhajajo iz lastnosti kvadrata, osnovnih zakonov in pravil geometrije.
1. Enačba kvadratne površine
Iz enačb za izračun površine štirikotnikov vemo, da je ta (površina) enaka zmnožku dolžine in širine. In ker so stranice kvadrata enake dolžine, bo njegova površina enaka dolžini katere koli strani, dvignjene na drugo potenco
S=a2.
S pomočjo Pitagorovega izreka lahko izračunamo površino kvadrata glede na dolžino njegove diagonale.
S=d2/2.
2. Enačba kvadratnega oboda
Obseg kvadrata, tako kot vseh štirikotnikov, je enak vsoti dolžin njegovih stranic, in ker so vse enake, lahko rečemo, da je obseg kvadrata enak dolžini kvadrata. stran, pomnožena s štirimi
P=a+a+a+a=4a.
Spet nam bo Pitagorejev izrek pomagal najti obod skozi diagonalo. Vrednost dolžine diagonale morate pomnožiti z dvema korenoma iz dveh
P=2√2d
3. Kvadratna diagonalna enačba
Diagonali kvadrata so enaki, sekajo se pod pravim kotom in prepolovijo točko presečišča.
Lahko jih najdete na podlagi zgornjih enačb za površino in obseg kvadrata
d=√2a, d=√2S,d=P/2√2
Obstajajo tudi drugi načini, kako ugotoviti, kakšna je dolžina diagonale kvadrata. Polmer kroga, vpisanega v kvadrat, je enak polovici njegove diagonale, torej
d=√2D=2√2R, kjer je D premer in R polmer vpisanega kroga.
Če poznamo polmer opisanega kroga, je diagonalo še lažje izračunati, ker gre za premer, torej d=D=2R.
Možno je izračunati tudi dolžino diagonale, če poznamo dolžino črte, ki sega od vogala do središča stranice kvadrata C: d=√8/5C.
Toda ne pozabite, da je kvadrat odsek ravnine, omejen s štirimi sekajočimi se črtami.
Obstaja dovolj enačb za premice (in figure, ki jih tvorijo), ki ne potrebujejo dodatnega opisa, vendar je črta neskončna. In poligoni so omejeni s presečiščem črt. Zanje lahko uporabite linearne enačbe, združene v sistem, ki definira ravne črte. Vendar je treba navesti dodatne parametre, pogoje.
Za definiranje poligonov je potrebno sestaviti enačbo, ki ne bi opisala črte, temveč ločen poljuben segment brez poseganja dodatnih pogojev in opisov.
[x/xi][xi/x]yi - tukaj je posebna enačba za mnogokotnike.
Oglati oklepaji v njem označujejo pogoj za izključitev ulomnega dela števila, to pomeni, da moramo pustiti samo celo število. yi - funkcija, ki se bo izvajala v območju parametrov od x do xi.
S to enačbo lahko izpeljemo novoenačbe za izračun segmentov in premic, sestavljenih iz več segmentov. Je osnovna, univerzalna za poligone.
Ne pozabite, da je kvadrat del ravnine, zato je njegov opis, kot je y=f(x), mogoče najpogosteje predstaviti le kot večvrednostno funkcijo, ki jo je mogoče izraziti v izraze enovrednostnih funkcij, če so predstavljene parametrično, t.j. odvisno od nekega parametra t:
x=f(t), y=f(t).
Torej, če uporabljate univerzalno enačbo in parametrično predstavitev skupaj, lahko dejansko izpeljete enačbo za izražanje mnogokotnikov:
x=((A2+A3)A5+A4P)Cos(L)
y=((A1+A4)A5+A3P)Sin(L), kje
A1=[1/[T/P][T/P]; A2=[2/[T/P][T/P]/2]; A3=[3/[T/P][T/P]/3]; A4=[4/[T/P][T/P]/4]; A5=T-P[T/P], kjer je P diagonala pravokotnika, L je kot naklona proti horizontali diagonale P, T je parameter v razponu od P do 5P.
Če je L=3, 14/4, bo enačba opisala kvadrate različnih velikosti, odvisno od velikosti diagonale P.
Uporaba kvadrata
V sodobnem svetu tehnologija omogoča, da različnim materialom damo kvadratno obliko, natančneje kvadratni prerez.
V mnogih pogledih je donosnejši, cenejši, trajnejši in varnejši. Tako zdaj izdelujejo kvadratne cevi, pilote, žice (žice) in celo kvadratne niti.
Glavne prednosti so očitne, izvirajo iz osnovne geometrije. Pri enaki velikosti je površina vpisanega kroga manjša od površine kvadrata, v katerega je vpisan, torejprepustnost kvadratne cevi ali energijska vsebnost kvadratne žice bo višja kot pri okroglih.
Potrošni material kvadratnega prereza je pogosto bolj estetski in priročen za uporabo, montažo, montažo.
Pri izbiri teh materialov je pomembno pravilno izračunati prerez kvadrata, tako da žica ali cev lahko prenese zahtevano obremenitev. V vsakem posameznem primeru bodo seveda potrebni parametri, kot sta trenutna moč ali tlak, vendar brez osnovnih geometrijskih pravil kvadrata ne gre. Čeprav se dimenzije kvadratnih odsekov ne izračunajo več toliko, ampak so izbrane glede na dane parametre iz tabel, ki jih določa GOST za različne panoge.
