Ena od figur, ki se pojavi pri reševanju geometrijskih problemov v prostoru, je stožec. Za razliko od poliedrov spada v razred rotacijskih figur. V članku razmislimo, kaj je to mišljeno v geometriji, in raziščemo značilnosti različnih odsekov stožca.
Stožec v geometriji
Predpostavimo, da je na ravnini neka krivulja. Lahko je parabola, krog, elipsa itd. Vzemite točko, ki ne pripada navedeni ravnini, in z njo povežite vse točke krivulje. Nastala površina se imenuje stožec ali preprosto stožec.
Če je prvotna krivulja zaprta, se lahko stožčasta površina napolni s snovjo. Tako pridobljena figura je tridimenzionalno telo. Imenuje se tudi stožec. Spodaj je prikazanih več papirnatih stožcev.
Stožčasto površino najdemo v vsakdanjem življenju. Takšno obliko ima na primer sladoledni kornet ali črtasti prometni kornet, ki je zasnovan tako, da pritegne pozornost voznikov inpešci.
Vrste stožcev
Kot morda ugibate, se obravnavane številke med seboj razlikujejo po vrsti krivulje, na kateri so oblikovane. Na primer, obstaja okrogel stožec ali eliptični. Ta krivulja se imenuje osnova figure. Vendar oblika osnove ni edina lastnost, ki omogoča razvrščanje stožcev.
Druga pomembna značilnost je položaj višine glede na podlago. Višina stožca je odsek ravne črte, ki je spuščen od vrha figure do ravnine osnove in je pravokoten na to ravnino. Če višina seka osnovo v geometrijskem središču (na primer v središču kroga), bo stožec raven, če pravokotni segment pade na katero koli drugo točko osnove ali preko nje, bo figura enaka poševno.
Nadaljnje v članku bomo obravnavali le okrogel ravni stožec kot svetel predstavnik obravnavanega razreda figur.
geometrijska imena stožčastih elementov
Zgoraj je bilo rečeno, da ima stožec podlago. Omejen je s krogom, ki se imenuje vodilo stožca. Segmenti, ki povezujejo vodilo s točko, ki ne leži v ravnini osnove, se imenujejo generatorji. Množica vseh točk generatorjev se imenuje stožčasta ali stranska površina figure. Za okrogli desni stožec imajo vsi generatorji enako dolžino.
Točka, kjer se sekajo generatorji, se imenuje vrh slike. Za razliko od poliedrov ima stožec eno samo točko in štrob.
Ravna črta, ki poteka skozi vrh figure in središče kroga, se imenuje os. Os vsebuje višino ravnega stožca, zato tvori pravi kot z ravnino osnove. Ta informacija je pomembna pri izračunu površine aksialnega prereza stožca.
Okrogel ravni stožec - rotacija
Obravnavani stožec je precej simetrična figura, ki jo lahko dobimo kot rezultat vrtenja trikotnika. Recimo, da imamo trikotnik s pravim kotom. Če želite dobiti stožec, je dovolj, da ta trikotnik zavrtite okoli enega od krakov, kot je prikazano na spodnji sliki.
Vidimo, da je os vrtenja os stožca. Ena od nog bo enaka višini figure, druga noga pa bo postala polmer osnove. Hipotenuza trikotnika kot posledica vrtenja bo opisala stožčasto površino. To bo generatriksa stožca.
Ta način pridobivanja okroglega ravnega stožca je primeren za preučevanje matematičnega razmerja med linearnimi parametri figure: višino h, polmerom okrogle osnove r in vodilom g. Ustrezna formula izhaja iz lastnosti pravokotnega trikotnika. Naveden je spodaj:
g2=h2+ r2.
Ker imamo eno enačbo in tri spremenljivke, to pomeni, da morate za enolično nastavitev parametrov okroglega stožca poznati kateri koli dve količini.
Odseki stožca z ravnino, ki ne vsebuje vrha figure
Vprašanje o izdelavi odsekov figure ninepomembno. Dejstvo je, da je oblika preseka stožca ob površini odvisna od relativne lege figure in sekansa.
Predpostavimo, da stožec sekamo z ravnino. Kaj bo rezultat te geometrijske operacije? Možnosti oblike prereza so prikazane na spodnji sliki.
Rožnati odsek je krog. Nastane kot posledica preseka figure z ravnino, ki je vzporedna z osnovo stožca. To so odseki, pravokotni na os slike. Slika, oblikovana nad rezalno ravnino, je stožec, podoben prvotnemu, vendar ima na dnu manjši krog.
Zeleni odsek je elipsa. Dobimo ga, če rezalna ravnina ni vzporedna z osnovo, ampak seka le stransko površino stožca. Lik, odrezan nad ravnino, se imenuje eliptični poševni stožec.
Modri in oranžni odseki so parabolični oziroma hiperbolični. Kot je razvidno iz slike, jih dobimo, če rezalna ravnina hkrati seka stransko površino in osnovo figure.
Za določitev območij obravnavanih odsekov stožca je potrebno uporabiti formule za ustrezno sliko na ravnini. Na primer, za krog je to število Pi, pomnoženo s kvadratom polmera, za elipso pa je to zmnožek Pi in dolžine male in glavne polose:
krog: S=pir2;
elipsa: S=piab.
Odseki, ki vsebujejo vrh stožca
Sedaj razmislite o možnostih za odseke, ki nastanejo, če je rezalna ravninagremo skozi vrh stožca. Možni so trije primeri:
- Odsek je ena točka. Na primer, ravnina, ki poteka skozi vrh in je vzporedna z osnovo, daje ravno takšen odsek.
- Odsek je ravna črta. Ta situacija se zgodi, ko je ravnina tangentna na stožčasto površino. Ravna črta preseka bo v tem primeru generatrika stožca.
- Aksialni prerez. Nastane, ko ravnina vsebuje ne samo vrh figure, temveč tudi celotno os. V tem primeru bo ravnina pravokotna na okroglo osnovo in bo razdelila stožec na dva enaka dela.
Očitno so površine prvih dveh vrst odsekov enake nič. Kar zadeva površino prečnega prereza stožca za 3. vrsto, je to vprašanje podrobneje obravnavano v naslednjem odstavku.
aksialni prerez
Zgoraj je bilo omenjeno, da je osni prerez stožca figura, ki nastane, ko stožec seka z ravnino, ki poteka skozi njegovo os. Preprosto je uganiti, da bo ta razdelek predstavljal sliko, prikazano na spodnji sliki.
To je enakokraki trikotnik. Vrh aksialnega preseka stožca je vrh tega trikotnika, ki ga tvori presečišče enakih stranic. Slednji so enaki dolžini generatrike stožca. Osnova trikotnika je premer osnove stožca.
Izračun površine aksialnega prereza stožca se zmanjša na iskanje površine nastalega trikotnika. Če sta sprva znana polmer osnove r in višina stožca h, bo površina S obravnavanega odseka:
S=hr.
Toizraz je posledica uporabe standardne formule za površino trikotnika (polovica produkta višine pomnožena z osnovo).
Upoštevajte, da če je generatrika stožca enaka premeru njegove okrogle osnove, je osni prerez stožca enakostranični trikotnik.
Trikotni prerez nastane, ko je rezalna ravnina pravokotna na osnovo stožca in poteka skozi njegovo os. Vsaka druga ravnina, vzporedna z imenovano, bo v preseku dala hiperbolo. Če pa ravnina vsebuje vrh stožca in seka njegovo osnovo ne skozi premer, bo dobljeni odsek tudi enakokraki trikotnik.
Problem določanja linearnih parametrov stožca
Pokažimo, kako uporabiti formulo, napisano za območje aksialnega preseka, da rešimo geometrijski problem.
Znano je, da je površina aksialnega prereza stožca 100 cm2. Nastali trikotnik je enakostranični. Kolikšna je višina stožca in polmer njegove osnove?
Ker je trikotnik enakostranični, je njegova višina h povezana z dolžino stranice a na naslednji način:
h=√3/2a.
Glede na to, da je stranica trikotnika dvakrat večja od polmera osnove stožca, in če ta izraz nadomestimo s formulo za površino prečnega prereza, dobimo:
S=hr=√3/22rr=>
r=√(S/√3).
Potem je višina stožca:
h=√3/22r=√3√(S/√3)=√(√3S).
Preostalo je, da nadomestimo vrednost površine iz pogoja problemain dobite odgovor:
r=√(100/√3) ≈ 7,60 cm;
h=√(√3100) ≈ 13, 16 cm.
Na katerih področjih je pomembno poznati parametre obravnavanih odsekov?
Preučevanje različnih vrst stožčastih odsekov ni le teoretično zanimivo, ampak ima tudi praktične aplikacije.
Najprej je treba omeniti področje aerodinamike, kjer je s pomočjo stožčastih prerezov mogoče ustvariti idealne gladke oblike trdnih teles.
Drugič, stožčasti odseki so trajektorije, po katerih se vesoljski objekti premikajo v gravitacijskih poljih. Kakšen poseben tip odseka predstavlja trajektorijo gibanja kozmičnih teles sistema, je določeno z razmerjem njihovih mas, absolutnih hitrosti in razdalj med njimi.
