V praksi se pogosto pojavljajo naloge, ki zahtevajo sposobnost sestavljanja odsekov geometrijskih oblik različnih oblik in iskanja območja odsekov. V tem članku si bomo ogledali, kako so zgrajeni pomembni odseki prizme, piramide, stožca in cilindra ter kako izračunati njihove površine.
3D figure
Iz stereometrije je znano, da je tridimenzionalna figura popolnoma katere koli vrste omejena s številnimi površinami. Na primer, za takšne poliedre, kot sta prizma in piramida, so te površine poligonalne stranice. Za cilinder in stožec govorimo o vrtilnih površinah valjastih in stožčastih figur.
Če vzamemo ravnino in poljubno presekamo površino tridimenzionalne figure, bomo dobili prerez. Njegova površina je enaka površini dela ravnine, ki bo znotraj volumna figure. Najmanjša vrednost tega območja je nič, kar se uresniči, ko se ravnina dotakne figure. Na primer, odsek, ki ga tvori ena sama točka, dobimo, če ravnina poteka skozi vrh piramide ali stožca. Največja vrednost prečnega prereza je odvisna odrelativni položaj figure in ravnine, pa tudi oblika in velikost figure.
Spodaj bomo razmislili, kako izračunati površino oblikovanih odsekov za dve figuri vrtljaja (valj in stožec) in dva poliedra (piramida in prizma).
valj
Krožni cilinder je figura vrtenja pravokotnika okoli katere koli njegove stranice. Za cilinder sta značilna dva linearna parametra: osnovni polmer r in višina h. Spodnji diagram prikazuje, kako izgleda krožni ravni cilinder.
Za to številko obstajajo tri pomembne vrste razdelkov:
- okrogla;
- pravokoten;
- eliptično.
Eliptični nastane kot posledica ravnine, ki seka stransko površino figure pod določenim kotom na njeno osnovo. Okrogla je rezultat presečišča rezalne ravnine stranske površine, vzporedne z osnovo valja. Končno dobimo pravokotno ravnino, če je rezalna ravnina vzporedna z osjo valja.
Krožna površina se izračuna po formuli:
S1=pir2
Območje aksialnega preseka, torej pravokotnega, ki poteka skozi os cilindra, je definirano na naslednji način:
S2=2rh
konusni odseki
Stožec je figura vrtenja pravokotnega trikotnika okoli enega od krakov. Stožec ima en vrh in okroglo podlago. Njegova parametra sta tudi polmer r in višina h. Primer papirnatega stožca je prikazan spodaj.
Obstaja več vrst stožčastih odsekov. Naštejmo jih:
- okrogla;
- eliptično;
- parabolični;
- hiperbolični;
- trikotno.
Zamenjajo drug drugega, če povečate kot naklona sekantne ravnine glede na okroglo podlago. Najlažji način je, da zapišete formule za površino prečnega prereza krožne in trikotne.
Krožni prerez nastane kot posledica preseka stožčaste površine z ravnino, ki je vzporedna z osnovo. Za njegovo območje velja naslednja formula:
S1=pir2z2/h 2
Tukaj je z razdalja od vrha figure do oblikovanega odseka. Vidimo lahko, da če je z=0, potem ravnina poteka samo skozi točko, tako da bo površina S1 enaka nič. Od z < h bo površina preučevanega odseka vedno manjša od njegove vrednosti za osnovo.
Trikotnik dobimo, ko ravnina seka lik vzdolž njegove vrtilne osi. Oblika nastalega odseka bo enakokraki trikotnik, katerega stranice so premer osnove in dva generatorja stožca. Kako najti površino prečnega prereza trikotnika? Odgovor na to vprašanje bo naslednja formula:
S2=rh
To enakost dobimo z uporabo formule za površino poljubnega trikotnika skozi dolžino njegove osnove in višine.
prizmeni odseki
Prizma je velik razred figur, za katere je značilna prisotnost dveh enakih mnogokotnih osnov, ki sta vzporedni drug z drugim,povezani z paralelogrami. Vsak odsek prizme je mnogokotnik. Glede na raznolikost obravnavanih figur (poševne, ravne, n-kotne, pravilne, konkavne prizme) je tudi raznolikost njihovih presekov velika. Spodaj obravnavamo le nekatere posebne primere.
Če je rezalna ravnina vzporedna z osnovo, bo površina prečnega prereza prizme enaka površini te osnove.
Če ravnina poteka skozi geometrijska središča obeh osnov, torej je vzporedna s stranskimi robovi figure, se v prerezu oblikuje paralelogram. V primeru ravnih in pravilnih prizm bo obravnavani prerez pravokotnik.
Piramida
Piramida je še en polieder, ki je sestavljen iz n-kotnika in n trikotnikov. Primer trikotne piramide je prikazan spodaj.
Če je odsek narisan z ravnino, vzporedno z n-kotno osnovo, bo njegova oblika popolnoma enaka obliki osnove. Površina takšnega odseka se izračuna po formuli:
S1=So(h-z)2/h 2
Kjer je z razdalja od osnove do presečne ravnine, je So površina osnove.
Če rezalna ravnina vsebuje vrh piramide in seka njeno osnovo, dobimo trikoten prerez. Za izračun njegove površine se morate obrniti na uporabo ustrezne formule za trikotnik.
