Geometrija je veja matematike, ki proučuje strukture v prostoru in razmerja med njimi. Po drugi strani pa je sestavljen tudi iz odsekov in eden od njih je stereometrija. Zagotavlja preučevanje lastnosti volumetričnih figur, ki se nahajajo v prostoru: kocke, piramide, krogle, stožca, valja itd.
Stožec je telo v evklidskem prostoru, ki omejuje stožčasto površino in ravnino, na kateri ležita konci njegovih generatorjev. Njegova tvorba se pojavi v procesu vrtenja pravokotnega trikotnika okoli katerega koli kraka, zato spada med telesa vrtenja.
konusne komponente
Ločimo naslednje vrste stožcev: poševne (ali poševne) in ravne. Poševna je tista, katere os seka s središčem njene osnove ne pod pravim kotom. Zaradi tega višina v takem stožcu ne sovpada z osjo, saj gre za segment, ki je spuščen z vrha telesa na njegovo ravninoosnova pri 90°.
Tisti stožec, katerega os je pravokotna na njegovo osnovo, se imenuje ravni stožec. Os in višina v takem geometrijskem telesu sovpadata zaradi dejstva, da se vrh v njem nahaja nad središčem premera osnove.
Stožec je sestavljen iz naslednjih elementov:
- Krog, ki je njegova osnova.
- bočno.
- Točka, ki ne leži v ravnini osnove, imenovana vrh stožca.
- Segmenti, ki povezujejo točke kroga osnove geometrijskega telesa in njegovega vrha.
Vsi ti segmenti so generatrike stožca. Nagnjeni so na osnovo geometrijskega telesa, v primeru pravega stožca pa so njune projekcije enake, saj je oglišče enako oddaljeno od točk osnovnega kroga. Tako lahko sklepamo, da sta v pravilnem (ravnem) stožcu generatorja enaka, to pomeni, da imata enako dolžino in tvorita enake kote z osjo (ali višino) in bazo.
Ker je v poševnem (ali nagnjenem) vrtilnem telesu oglišče premaknjeno glede na središče osnovne ravnine, imajo generatorji v takem telesu različne dolžine in projekcije, saj je vsak od njih na različni razdalji iz poljubnih dveh točk osnovnega kroga. Poleg tega bodo različni koti med njimi in višina stožca.
dolžina generatorjev v desnem stožcu
Kot je zapisano prej, je višina v ravnem geometrijskem telesu vrtenja pravokotna na ravnino osnove. Tako generatrika, višina in polmer osnove ustvarijo pravokoten trikotnik v stožcu.
Se pravi, če poznamo polmer osnove in višino, lahko s formulo iz Pitagorovega izreka izračunamo dolžino generatrike, ki bo enaka vsoti kvadratov polmera osnove in višina:
l2 =r2+ h2 ali l=√r 2 + h2
kjer je l generatriksa;
r – polmer;
h – višina.
generativno v poševnem stožcu
Glede na dejstvo, da v poševnem ali poševnem stožcu generatorji niso enake dolžine, jih brez dodatnih konstrukcij in izračunov ne bo mogoče izračunati.
Najprej morate poznati višino, dolžino osi in polmer osnove.
Ob teh podatkih lahko izračunate del polmera, ki leži med osjo in višino, z uporabo formule iz Pitagorovega izreka:
r1=√k2 - h2
kjer je r1 del polmera med osjo in višino;
k – dolžina osi;
h – višina.
Kot rezultat dodajanja polmera (r) in njegovega dela, ki leži med osjo in višino (r1), lahko ugotovite celotno stran desne trikotnik, ki ga tvori tvornica stožca, njegova višina in premer:
R=r + r1
kjer je R krak trikotnika, ki ga tvorijo višina, generatrika in del premera osnove;
r – osnovni polmer;
r1 – del polmera med osjo in višino.
Z uporabo iste formule iz Pitagorovega izreka lahko najdete dolžino generatrike stožca:
l=√h2+ R2
ali, ne da bi izračunali R ločeno, združite obe formuli v eno:
l=√h2 + (r + r1)2.
Ne glede na to, ali gre za ravni ali poševni stožec in kakšne vhodne podatke, se vse metode za iskanje dolžine generatrike vedno spustijo na en rezultat - uporabo Pitagorovega izreka.
konusni odsek
Aksialni prerez stožca je ravnina, ki poteka vzdolž njegove osi ali višine. V desnem stožcu je takšen odsek enakokraki trikotnik, v katerem je višina trikotnika višina telesa, njegove stranice so generatorji, osnova pa premer osnove. V enakostraničnem geometrijskem telesu je osni prerez enakostranični trikotnik, saj sta v tem stožcu premer osnove in generatorjev enaka.
Ravnina aksialnega prereza v ravnem stožcu je ravnina njegove simetrije. Razlog za to je, da je njegov vrh nad središčem njegove osnove, to pomeni, da ravnina aksialnega prereza deli stožec na dva enaka dela.
Ker se višina in os ne ujemata v nagnjenem telesu, ravnina aksialnega prereza morda ne vključuje višine. Če je v takem stožcu mogoče sestaviti niz aksialnih odsekov, saj je za to treba upoštevati le en pogoj - le-ta mora potekati samo skozi os, potem le en aksialni prerez ravnine, ki bo pripadal višini ta stožec je mogoče narisati, ker se število pogojev povečuje in, kot je znano, lahko dve vrstici (skupaj) pripadatasamo eno letalo.
območje odseka
Aksialni prerez stožca, omenjenega prej, je trikotnik. Na podlagi tega lahko njegovo površino izračunamo s formulo za površino trikotnika:
S=1/2dh ali S=1/22rh
kjer je S površina prečnega prereza;
d – premer osnove;
r – polmer;
h – višina.
V poševnem ali poševnem stožcu je prerez vzdolž osi tudi trikotnik, zato se površina prečnega prereza v njem izračuna podobno.
Zvezek
Ker je stožec tridimenzionalna figura v tridimenzionalnem prostoru, lahko izračunamo njegovo prostornino. Prostornina stožca je število, ki označuje to telo v prostorninski enoti, to je v m3. Izračun ni odvisen od tega, ali je ravna ali poševna (poševna), saj se formule za ti dve vrsti teles ne razlikujeta.
Kot že rečeno, do nastanka pravega stožca pride zaradi vrtenja pravokotnega trikotnika vzdolž enega od njegovih krakov. Nagnjen ali poševni stožec se oblikuje drugače, saj je njegova višina odmaknjena od središča osnovne ravnine telesa. Vendar takšne razlike v strukturi ne vplivajo na način izračuna njegove prostornine.
Izračun prostornine
Formula za prostornino katerega koli stožca izgleda takole:
V=1/3πhr2
kjer je V prostornina stožca;
h – višina;
r – polmer;
π - konstanta enaka 3, 14.
Za izračun prostornine stožca morate imeti podatke o višini in polmeru osnove telesa.
Za izračun višine telesa morate poznati polmer osnove in dolžino njene generatrike. Ker so polmer, višina in generatrika združeni v pravokoten trikotnik, lahko višino izračunamo s formulo iz Pitagorovega izreka (a2+ b2=c 2 ali v našem primeru h2+ r2=l2 , kjer je l - generatrika). V tem primeru se višina izračuna tako, da se izvleče kvadratni koren razlike med kvadrati hipotenuze in drugega kraka:
a=√c2- b2
To pomeni, da bo višina stožca enaka vrednosti, dobljeni po ekstrakciji kvadratnega korena iz razlike med kvadratom dolžine generatrike in kvadratom polmera osnove:
h=√l2 - r2
Če izračunamo višino s to metodo in poznamo polmer njene osnove, lahko izračunamo prostornino stožca. V tem primeru ima generatrika pomembno vlogo, saj služi kot pomožni element pri izračunih.
Podobno, če poznate višino telesa in dolžino njegove generatrike, lahko najdete polmer njegove osnove tako, da izvlečete kvadratni koren razlike med kvadratom generatrike in kvadratom višine:
r=√l2 - h2
Nato z uporabo iste formule kot zgoraj izračunajte prostornino stožca.
prostornina nagnjenega stožca
Ker je formula za prostornino stožca enaka za vse vrste vrtilnega telesa, je razlika v njenem izračunu iskanje višine.
Da bi ugotovili višino nagnjenega stožca, morajo vhodni podatki vključevati dolžino generatrike, polmer osnove in razdaljo med središčemosnove in presečišče višine telesa z ravnino njegove osnove. Če to veste, lahko enostavno izračunate tisti del premera osnove, ki bo osnova pravokotnega trikotnika (ki ga tvorijo višina, generatrika in ravnina osnove). Nato ponovno z uporabo Pitagorovega izreka izračunajte višino stožca in nato njegovo prostornino.
