Koncept prizme. Formule prostornine za prizme različnih vrst: pravilne, ravne in poševne. Rešitev problema

2024 Avtor: Angel Austin | [email protected]. Nazadnje spremenjeno: 2023-12-17 05:41

Volum je značilnost katere koli figure, ki ima v vseh treh dimenzijah prostora neničelne dimenzije. V tem članku bomo z vidika stereometrije (geometrije prostorskih figur) obravnavali prizmo in pokazali, kako najti prostornine prizm različnih vrst.

Kaj je prizma?

Stereometrija ima natančen odgovor na to vprašanje. Prizma v njej razumemo kot figuro, ki jo tvorita dva enaka mnogokotna ploskva in več paralelogramov. Spodnja slika prikazuje štiri različne prizme.

Vsakega od njih je mogoče dobiti na naslednji način: vzeti morate mnogokotnik (trikotnik, štirikotnik itd.) in segment določene dolžine. Nato je treba vsako oglišče mnogokotnika prenesti z uporabo vzporednih segmentov na drugo ravnino. V novi ravnini, ki bo vzporedna s prvotno, bo nastal nov poligon, podoben prvotno izbranemu.

Prizme so lahko različnih vrst. Torej so lahko ravne, poševne in pravilne. Če bočni rob prizme (segment,povezuje oglišča osnov) pravokotno na osnove figure, potem je slednja ravna črta. V skladu s tem, če ta pogoj ni izpolnjen, potem govorimo o nagnjeni prizmi. Pravilna figura je prava prizma z enakokotno in enakostranično osnovo.

Pozneje v članku bomo pokazali, kako izračunati prostornino vsake od teh vrst prizm.

Prostornina običajnih prizm

Začnimo z najpreprostejšim primerom. Podamo formulo za prostornino pravilne prizme z n-kotno osnovo. Formula prostornine V za katero koli številko obravnavanega razreda je naslednja:

V=S_oh.

To pomeni, da je za določitev prostornine dovolj izračunati površino ene od baz S_o in jo pomnožiti z višino h figure.

V primeru pravilne prizme označimo dolžino stranice njene osnove s črko a, višino, ki je enaka dolžini stranskega roba, pa s črko h. Če je osnova n-kotnika pravilna, je najlažji način za izračun njegove površine z uporabo naslednje univerzalne formule:

S=n/4a²ctg(pi/n).

Če vrednost števila stranic n in dolžine ene strani a zamenjate z enakostjo, lahko izračunate površino n-kotne osnove. Upoštevajte, da je kotangensna funkcija tukaj izračunana za kot pi/n, ki je izražen v radianih.

Glede na enakost, napisano za S, dobimo končno formulo za prostornino običajne prizme:

V=n/4a²hctg(pi/n).

Za vsak poseben primer lahko napišete ustrezne formule za V, vendar vseedinstveno izhajajo iz zapisanega splošnega izraza. Na primer, za običajno štirikotno prizmo, ki je v splošnem primeru pravokotni paralelepiped, dobimo:

V₄=4/4a²hctg(pi/4)=a² h.

Če v tem izrazu vzamemo h=a, dobimo formulo za prostornino kocke.

Prostornina direktnih prizm

Takoj ugotavljamo, da za ravne figure ni splošne formule za izračun prostornine, ki je bila podana zgoraj za redne prizme. Pri iskanju zadevne vrednosti je treba uporabiti izvirni izraz:

V=S_oh.

Tukaj je h dolžina stranskega roba, kot v prejšnjem primeru. Kar zadeva osnovno površino S_o, lahko prevzame različne vrednosti. Naloga izračuna ravne prizme prostornine je zmanjšana na iskanje površine njene osnove.

Izračun vrednosti S_o je treba izvesti na podlagi značilnosti same osnove. Na primer, če je trikotnik, lahko površino izračunamo takole:

S_o3=1/2ah_a.

Tukaj je h_a apotem trikotnika, to je njegova višina, spuščena na osnovo a.

Če je osnova štirikotnik, je lahko trapez, paralelogram, pravokotnik ali popolnoma poljuben tip. Za vse te primere bi morali uporabiti ustrezno formulo planimetrije za določitev območja. Na primer, za trapez je ta formula videti tako:

S_o4=1/2(a₁+ a₂)h _a.

Kjer je h_a višina trapeza, a₁ in a₂ sta dolžini njegovih vzporednih stranic.

Če želite določiti površino za mnogokotnike višjega reda, jih morate razdeliti na preproste oblike (trikotnike, štirikotnike) in izračunati vsoto površin slednjih.

Volum nagnjene prizme

To je najtežji primer izračuna prostornine prizme. Velja tudi splošna formula za takšne številke:

V=S_oh.

Vendar je k kompleksnosti iskanja površine osnove, ki predstavlja poljuben tip poligona, dodan problem določanja višine figure. Vedno je manjša od dolžine stranskega roba v nagnjeni prizmi.

To višino najlažje najdete, če poznate kateri koli kot figure (ravni ali diedrski). Če je tak kot podan, ga je treba uporabiti za sestavljanje pravokotnega trikotnika znotraj prizme, ki bi vseboval višino h kot eno od stranic in s pomočjo trigonometričnih funkcij in Pitagorovega izreka poiskati vrednost h.

problem z geometrijsko prostornino

Na podlagi pravilne prizme s trikotno osnovo, ki ima višino 14 cm in dolžino stranice 5 cm. Kolikšen je volumen trikotne prizme?

Ker govorimo o pravilni številki, imamo pravico uporabiti dobro znano formulo. Imamo:

V₃=3/4a²hctg(pi/3)=3/45²141/√3=√3/42514=151,55 cm³.

Trikotna prizma je dokaj simetrična figura, v obliki katere so pogosto izdelane različne arhitekturne strukture. Ta steklena prizma se uporablja v optiki.