Pri pripravi na izpit iz matematike morajo študentje sistematizirati svoje znanje iz algebre in geometrije. Rad bi združil vse znane informacije, na primer, kako izračunati površino piramide. Poleg tega začenši od podlage in stranskih ploskev do celotne površine. Če je s stranskimi ploskvami situacija jasna, saj so trikotniki, je osnova vedno drugačna.
Kako najti površino dna piramide?
Lahko je popolnoma poljubne oblike: od poljubnega trikotnika do n-kotnika. In ta osnova je poleg razlike v številu kotov lahko običajna ali napačna številka. V nalogah USE, ki so zanimive za šolarje, so le naloge s pravilnimi številkami v osnovi. Zato bomo govorili samo o njih.
pravilni trikotnik
To je enakostransko. Tisti, pri katerem so vse strani enake in označene s črko "a". V tem primeru se površina osnove piramide izračuna po formuli:
S=(a2√3) / 4.
kvadrat
Formula za izračun njegove površine je najenostavnejša,tukaj je "a" spet stran:
S=a2.
Poljubni pravilni n-gon
Stranica mnogokotnika ima enako oznako. Za število vogalov se uporablja latinična črka n.
S=(na2) / (4tg (180º/n)).
Kako izračunati prečno in skupno površino?
Ker je osnova pravilna figura, so vse stranice piramide enake. Poleg tega je vsak od njih enakokraki trikotnik, saj so stranski robovi enaki. Potem, da bi izračunali stransko površino piramide, potrebujete formulo, sestavljeno iz vsote enakih monomov. Število izrazov je določeno s številom stranic osnove.
Površina enakokrakega trikotnika se izračuna po formuli, v kateri se polovica produkta osnove pomnoži z višino. Ta višina v piramidi se imenuje apotema. Njegova oznaka je "A". Splošna formula za stransko površino je:
S=½ PA, kjer je P obseg dna piramide.
Obstajajo situacije, ko stranice osnove niso znane, vendar so podani stranski robovi (c) in ravni kot pri njenem vrhu (α). Nato naj bi uporabili to formulo za izračun bočne površine piramide:
S=n/2v2 sin α.
Problem 1
Pogoj. Poiščite skupno površino piramide, če je njena osnova enakostranični trikotnik s stranico 4 cm, apotem pa √3 cm.
Odločitev. NjegovoZačeti morate z izračunom oboda osnove. Ker je to pravilen trikotnik, potem je P \u003d 34 \u003d 12 cm. Ker je apotem znan, lahko takoj izračunate površino celotne stranske površine: ½12√3=6 √3 cm 2.
Za trikotnik na dnu dobite naslednjo vrednost površine: (42√3) / 4=4√3 cm2.
Če želite določiti skupno površino, morate dodati dve dobljeni vrednosti: 6√3 + 4√3=10√3 cm2.
Odgovori. 10√3cm2.
Problem 2
Pogoj. Obstaja pravilna štirikotna piramida. Dolžina stranice podnožja je 7 mm, stranskega roba 16 mm. Morate poznati njegovo površino.
Odločitev. Ker je polieder štirikoten in pravilen, je njegova osnova kvadrat. Ko se naučite površin osnove in stranskih ploskva, bo mogoče izračunati površino piramide. Formula za kvadrat je navedena zgoraj. In na stranskih ploskvah so vse strani trikotnika znane. Zato lahko uporabite Heronovo formulo za izračun njihovih površin.
Prvi izračuni so preprosti in vodijo do te številke: 49 mm2. Za drugo vrednost boste morali izračunati polobod: (7 + 162): 2=19,5 mm. Zdaj lahko izračunate površino enakokrakega trikotnika: √(19,5(19,5-7)(19,5-16)2)=√2985,9375=54,644 mm 2. Takšni trikotniki so samo štirje, zato ga boste morali pri izračunu končnega števila pomnožiti s 4.
Izkazalo se je: 49 + 454, 644=267, 576 mm2.
Odgovor. Želena vrednost 267, 576mm2.
Problem 3
Pogoj. Za običajno štirikotno piramido morate izračunati površino. Pozna stranico kvadrata - 6 cm in višino - 4 cm.
Odločitev. Najlažji način je, da uporabite formulo z zmnožkom oboda in apotema. Prvo vrednost je enostavno najti. Drugo je malo težje.
Zapomniti si bomo morali Pitagorov izrek in razmisliti o pravokotnem trikotniku. Oblikujeta ga višina piramide in apotema, ki je hipotenuza. Drugi krak je enak polovici stranice kvadrata, saj višina poliedra pade na njegovo sredino.
Želeni apotem (hipotenuza pravokotnega trikotnika) je √(32 + 42)=5 (cm).
Zdaj lahko izračunate zahtevano vrednost: ½(46)5+62=96 (glejte 2).
Odgovori. 96 cm2.
Problem 4
Pogoj. Glede na pravilno šesterokotno piramido. Strani njegovega podstavka so 22 mm, stranska rebra pa 61 mm. Kakšna je stranska površina tega poliedra?
Odločitev. Utemeljitev v njej je enaka kot je opisana v problemu št. 2. Samo tam je bila dana piramida s kvadratom na dnu, zdaj pa je šesterokotnik.
Najprej se površina osnove izračuna po zgornji formuli: (6222) / (4tg (180º/6))=726/(tg30º)=726 √3 cm2.
Sedaj morate ugotoviti polobod enakokrakega trikotnika, ki je stranska stran. (22 + 612): 2 \u003d 72 cm. Ostaja še izračunati površino vsakega takegatrikotnik, nato ga pomnožite s šest in ga dodajte tistemu, ki se je izkazal za osnovo.
Izračun po Heronovi formuli: √(72(72-22)(72-61)2)=√435600=660 cm2 . Izračuni, ki bodo dali stransko površino: 6606=3960 cm2. Ostaja jih še sešteti, da ugotovimo celotno površino: 5217, 47≈5217 cm2.
Odgovori. Podstavek - 726√3cm2, stranska površina - 3960cm2, skupna površina - 5217cm2.
