Cilinder: stranska površina. Formula za površino stranske površine valja

2024 Avtor: Angel Austin | [email protected]. Nazadnje spremenjeno: 2024-01-02 17:55

Pri študiju stereometrije je ena glavnih tem "Cilinder". Bočna površina velja, če ne za glavno, pa za pomembno formulo pri reševanju geometrijskih problemov. Vendar si je pomembno zapomniti definicije, ki vam bodo pomagale krmariti po primerih in pri dokazovanju različnih izrekov.

koncept cilindra

Najprej moramo razmisliti o nekaj definicijah. Šele po njihovem preučevanju lahko začnemo obravnavati vprašanje formule za površino stranske površine valja. Na podlagi tega vnosa je mogoče izračunati druge izraze.

• Valjasta površina se razume kot ravnina, ki jo opisuje generatrika, ki se premika in ostane vzporedna z dano smerjo ter drsi vzdolž obstoječe krivulje.
• Obstaja tudi druga definicija: valjasto površino tvori niz vzporednih črt, ki sekajo dano krivuljo.
• generativno se običajno imenuje višina valja. Ko se premika okoli osi, ki poteka skozi središče osnove,dobimo označeno geometrijsko telo.
• Pod osjo je mišljena ravna črta, ki poteka skozi obe bazi figure.
• Cilinder je stereometrično telo, omejeno s sekajočo se stransko površino in 2 vzporednima ravninama.

Obstajajo različice te tridimenzionalne figure:

1. Circular je cilinder, katerega vodilo je krog. Njegovi glavni sestavni deli sta polmer osnove in generatriksa. Slednja je enaka višini figure.
2. Obstaja ravni cilinder. Ime je dobila zaradi pravokotnosti generatrike na osnove figure.
3. Tretja vrsta je poševni cilinder. V učbenikih lahko najdete tudi drugo ime zanj - "krožni cilinder s poševno podlago." Ta številka določa polmer osnove, najmanjšo in največjo višino.
4. Enakostranični valj se razume kot telo, ki ima enako višino in premer krožne ravnine.

Simboli

Tradicionalno se glavne "komponente" cilindra imenujejo takole:

• Razmer osnove je R (nadomešča tudi enako vrednost stereometrične figure).
• generativno – L.
• Višina – V.
• osnovna površina - S_{osnova(z drugimi besedami, najti morate določen parameter kroga).}
• poševne višine cilindra – h₁, h_{2(minimalna in največja).}
• stranska površina - S_{stranska (če jo razširite, dobitenekakšen pravokotnik).}
• Obseg stereometrične figure - V.
• Skupna površina – S.

»Sestavni deli« stereometrične figure

Pri preučevanju valja ima stranska površina pomembno vlogo. To je posledica dejstva, da je ta formula vključena v več drugih, bolj zapletenih. Zato je treba biti dobro seznanjen s teorijo.

Glavne komponente figure so:

1. Stranska površina. Kot veste, ga dobimo zaradi premikanja generatrike vzdolž dane krivulje.
2. Celotna površina vključuje obstoječe osnove in stransko ravnino.
3. Odsek valja je praviloma pravokotnik, ki se nahaja vzporedno z osjo figure. V nasprotnem primeru se imenuje letalo. Izkazalo se je, da sta dolžina in širina delni sestavni deli drugih številk. Torej so pogojno dolžine odseka generatorji. Širina - vzporedni akordi stereometrične figure.
4. Aksialni prerez pomeni lokacijo ravnine skozi središče telesa.
5. In končno, končna definicija. Tangenta je ravnina, ki poteka skozi tvornico valja in je pravokotno na aksialni prerez. V tem primeru mora biti izpolnjen en pogoj. Navedena generatrika mora biti vključena v ravnino aksialnega prereza.

Osnovne formule za delo z cilindrom

Da bi odgovorili na vprašanje, kako najti površino valja, je treba preučiti glavne "komponente" stereometrične figure in formule za njihovo iskanje.

Te formule se razlikujejo po tem, da so najprej podani izrazi za poševni valj, nato pa za ravni.

Dekonstruirani primeri

1. naloga.

Potrebno je poznati površino stranske površine cilindra. Podana je diagonala prereza AC=8 cm (poleg tega je osna). Ko ste v stiku z generatriko, se izkaže _<ACD=30°

Odločitev. Ker sta vrednosti diagonale in kota znani, potem v tem primeru:

CD=ACcos 30°

Komentiraj. Trikotnik ACD je v tem konkretnem primeru pravokoten trikotnik. To pomeni, da je količnik deljenja CD in AC=kosinus danega kota. Vrednost trigonometričnih funkcij najdete v posebni tabeli.

Podobno lahko najdete vrednost AD:

AD=ACsin 30°

Zdaj morate izračunati želeni rezultat z naslednjo formulacijo: površina stranske površine valja je enaka dvakratnemu rezultatu množenja "pi", polmera figure in njene višine. Uporabiti je treba tudi drugo formulo: površina osnove cilindra. Enako je rezultatu množenja "pi" s kvadratom polmera. In končno, zadnja formula: skupna površina. Enaka je vsoti prejšnjih dveh območij.

2. naloga.

Dani so cilindri. Njihova prostornina=128n cm³. Kateri valj ima najmanjšipolna površina?

Odločitev. Najprej morate uporabiti formule za iskanje prostornine figure in njene višine.

Ker je celotna površina cilindra znana iz teorije, je treba uporabiti njegovo formulo.

Če upoštevamo dobljeno formulo kot funkcijo površine valja, bo minimalni "indikator" dosežen na točki ekstrema. Če želite dobiti zadnjo vrednost, morate uporabiti diferenciacijo.

Formule si lahko ogledate v posebni tabeli za iskanje izpeljank. V prihodnosti se najdeni rezultat izenači z ničlo in najde se rešitev enačbe.

Odgovor: S_{min bo dosežen pri h=1/32 cm, R=64 cm.}

Problem 3.

Glede na stereometrično figuro - valj in prerez. Slednje se izvaja tako, da se nahaja vzporedno z osjo stereometričnega telesa. Cilinder ima naslednje parametre: VK=17 cm, h=15 cm, R=5 cm.. Treba je najti razdaljo med presekom in osjo.

Odločitev.

Ker se prerez valja razume kot VSCM, torej pravokotnik, je njegova stranica VM=h. WMC je treba upoštevati. Trikotnik je pravokoten. Na podlagi te trditve lahko sklepamo pravilno predpostavko, da je MK=BC.

VK²=VM² + MK²

MK²=VK² - VM²

MK²=17² - 15²

MK²=64

MK=8

Od tu lahko sklepamo, da je MK=BC=8 cm.

Naslednji korak je, da narišete odsek skozi osnovo figure. Upoštevati je treba nastalo ravnino.

AD – premer stereometrične figure. Je vzporedna z razdelkom, omenjenim v izjavi o problemu.

BC je ravna črta, ki se nahaja na ravnini obstoječega pravokotnika.

ABCD je trapez. V določenem primeru se šteje za enakokrake, saj je okoli nje opisan krog.

Če najdete višino nastalega trapeza, lahko dobite odgovor na začetku težave. In sicer: iskanje razdalje med osjo in narisanim presekom.

Če želite to narediti, morate najti vrednosti AD in OS.

Odgovor: odsek se nahaja 3 cm od osi.

Težave pri konsolidaciji gradiva

Primer 1.

Cilinder podan. Pri nadaljnji rešitvi se uporablja stranska površina. Druge možnosti so znane. Površina osnove je Q, površina aksialnega prereza je M. Treba je najti S. Z drugimi besedami, skupna površina cilindra.

Primer 2.

Cilinder podan. Bočno površino je treba najti v enem od korakov reševanja problema. Znano je, da je višina=4 cm, polmer=2 cm. Treba je najti skupno površino stereometrične figure.