Območje stranske površine pravilne štirikotne piramide: formule in primeri problemov

2024 Avtor: Angel Austin | [email protected]. Nazadnje spremenjeno: 2024-01-02 17:55

Tipični geometrijski problemi v ravnini in v tridimenzionalnem prostoru so problemi določanja površin različnih oblik. V tem članku predstavljamo formulo za površino stranske površine pravilne štirikotne piramide.

Kaj je piramida?

Podajmo strogo geometrijsko definicijo piramide. Recimo, da obstaja mnogokotnik z n stranicami in n vogali. Izberemo poljubno točko v prostoru, ki ne bo v ravnini določenega n-kotnika, in jo povežemo z vsakim vrhom mnogokotnika. Dobili bomo figuro, ki ima nekaj volumna, ki ji pravimo n-kotna piramida. Na primer, na spodnji sliki pokažimo, kako izgleda peterokotna piramida.

Dva pomembna elementa katere koli piramide sta njena osnova (n-kotnik) in vrh. Ti elementi so med seboj povezani z n trikotniki, ki na splošno niso enaki drug drugemu. Navpičnica padla izod zgoraj navzdol se imenuje višina figure. Če seka osnovo v geometrijskem središču (sovpada s središčem mase mnogokotnika), se takšna piramida imenuje ravna črta. Če je poleg tega pogoja osnova pravilen mnogokotnik, se celotna piramida imenuje pravilna. Spodnja slika prikazuje, kako izgledajo pravilne piramide s trikotnimi, štirikotnimi, peterokotnimi in šesterokotnimi osnovami.

Piramidna površina

Preden se obrnemo na vprašanje površine stranske ploskve pravilne štirikotne piramide, se moramo zadržati na konceptu same površine.

Kot že omenjeno in prikazano na slikah, je vsaka piramida sestavljena iz niza obrazov ali stranic. Ena stran je osnova, n strani pa trikotniki. Površina celotne figure je vsota površin vsake njene strani.

Priročno je preučiti površino na primeru razgrnjene figure. Skeniranje za pravilno štirikotno piramido je prikazano na spodnjih slikah.

Vidimo, da je njegova površina enaka vsoti štirih območij enakih enakokrakih trikotnikov in površini kvadrata.

Skupna površina vseh trikotnikov, ki tvorijo stranice figure, se imenuje površina stranske površine. Nato bomo pokazali, kako ga izračunati za običajno štirikotno piramido.

Območje stranske površine štirikotne pravilne piramide

Za izračun površine bočne stranipovršino določene figure, se ponovno obrnemo na zgornji pregled. Recimo, da poznamo stran kvadratne osnove. Označimo ga s simbolom a. Vidimo lahko, da ima vsak od štirih enakih trikotnikov osnovo dolžine a. Če želite izračunati njihovo skupno površino, morate vedeti to vrednost za en trikotnik. Iz tečaja geometrije je znano, da je površina trikotnika S_{t enaka zmnožku osnove in višine, ki jo je treba razdeliti na polovico. To je:}

S_t=1/2h_ba.

Kjer je h_b višina enakokrakega trikotnika, narisana na osnovo a. Za piramido je ta višina apotem. Sedaj je ostalo še pomnožiti dobljeni izraz s 4, da dobimo površino S_{bbočne površine zadevne piramide:}

S_b=4S_t=2h_ba.

Ta formula vsebuje dva parametra: apotem in stran osnove. Če je slednje znano v večini pogojev problemov, je treba prvo izračunati ob poznavanju drugih količin. Tu so formule za izračun apoteme h_{b za dva primera:}

• ko je znana dolžina stranskega rebra;
• ko je znana višina piramide.

Če označimo dolžino stranskega roba (stran enakokrakega trikotnika) s simbolom L, potem je apotema h_{b določena s formulo:}

h_b=√(L² - a^2/4).

Ta izraz je rezultat uporabe Pitagorovega izreka za trikotnik bočne površine.

Če je znanovišino h piramide, potem lahko apotemo h_{b izračunamo na naslednji način:}

h_b=√(h² + a^2/4).

Pridobivanje tega izraza prav tako ni težko, če znotraj piramide upoštevamo pravokoten trikotnik, ki ga tvorita kraka h in a/2 ter hipotenuza h_b.

Pokažimo, kako uporabiti te formule z rešitvijo dveh zanimivih problemov.

Problem z znano površino

Znano je, da je stranska površina pravilne štirikotne piramide 108 cm². Treba je izračunati vrednost dolžine njenega apotema h_{b, če je višina piramide 7 cm.}

Napišimo formulo za površino S_{bbočne ploskve skozi višino. Imamo:}

S_b=2√(h² + a^{2/4) a.}

Tukaj smo ravnokar nadomestili ustrezno formulo apoteme v izraz za S_{b. Kvadirajmo obe strani enačbe:}

S_b²=4a²h² + a^4.

Če želite poiskati vrednost a, spremenimo spremenljivke:

a2=t;

t²+ 4h²t - S_b ^2=0.

Zdaj nadomestimo znane vrednosti in rešimo kvadratno enačbo:

t2+ 196t - 11664=0.

t ≈ 47, 8355.

Izpisali smo samo pozitivni koren te enačbe. Potem bodo stranice dna piramide:

a=√t=√47,8355 ≈ 6,916 cm.

Če želite dobiti dolžino apoteme,samo uporabite formulo:

h_b=√(h² + a²/4)=√(7 ²+ 6, 916^{2/4) ≈ 7, 808 glej}

Stranska površina Keopsove piramide

Določite vrednost stranske površine največje egipčanske piramide. Znano je, da na njegovem dnu leži kvadrat s stranico dolžine 230,363 metrov. Višina konstrukcije je bila prvotno 146,5 metra. Te številke nadomestimo v ustrezno formulo za S_{b, dobimo:}

S_b=2√(h² + a²/4) a=2√(146, 5²+230, 363²/4)230, 363 ≈ 85860 m^2.

Najdena vrednost je nekoliko večja od površine 17 nogometnih igrišč.