Apotem piramide. Formule za apotem pravilne trikotne piramide

2024 Avtor: Angel Austin | [email protected]. Nazadnje spremenjeno: 2024-01-02 17:55

Piramida je prostorski polieder ali polieder, ki se pojavlja v geometrijskih problemih. Glavne lastnosti te figure sta njena prostornina in površina, ki sta izračunani iz poznavanja poljubnih dveh njenih linearnih značilnosti. Ena od teh značilnosti je apotem piramide. O tem bomo razpravljali v članku.

oblika piramide

Preden podamo definicijo apotema piramide, se seznanimo s samo figuro. Piramida je polieder, ki ga tvorita ena n-kotna osnova in n trikotnikov, ki sestavljajo stransko površino figure.

Vsaka piramida ima vrh - točko povezave vseh trikotnikov. Navpičnica, potegnjena iz tega oglišča na osnovo, se imenuje višina. Če višina seka osnovo v geometrijskem središču, se figura imenuje ravna črta. Ravna piramida z enakostranično osnovo se imenuje pravilna piramida. Na sliki je prikazana piramida s šesterokotno osnovo, ki jo gledamo s strani obraza in roba.

Apotem desne piramide

Imenujejo jo tudi apotema. Razume se kot navpičnica, potegnjena od vrha piramide na stran osnove figure. Po definiciji ta pravokotnica ustreza višini trikotnika, ki tvori stransko ploskev piramide.

Ker razmišljamo o pravilni piramidi z n-kotno osnovo, bo vseh n apotem zanjo enakih, saj so takšni enakokraki trikotniki stranske površine figure. Upoštevajte, da so enaki apotemi lastnost pravilne piramide. Za figuro splošnega tipa (poševno z nepravilnim n-kotnikom) bo vseh n apotem različnih.

Druga lastnost pravilnega apotema piramide je, da je hkrati višina, mediana in simetrala ustreznega trikotnika. To pomeni, da ga razdeli na dva enaka pravokotna trikotnika.

Trikotna piramida in formule za določanje njenega apotema

V vsaki pravilni piramidi so pomembne linearne značilnosti dolžina stranice njene osnove, stranski rob b, višina h in apotem h_{b. Te količine so med seboj povezane z ustreznimi formulami, ki jih lahko dobimo tako, da narišemo piramido in upoštevamo potrebne pravokotne trikotnike.}

Navadna trikotna piramida je sestavljena iz 4 trikotnih ploskov, ena od njih (osnova) pa mora biti enakostranična. Preostali so v splošnem primeru enakokraki. apotemtrikotno piramido je mogoče določiti glede na druge količine z uporabo naslednjih formul:

h_b=√(b²- a^2/4);

h_b=√(a²/12 + h²⁾

Prvi od teh izrazov velja za piramido s katero koli pravilno osnovo. Drugi izraz je značilen samo za trikotno piramido. Kaže, da je apotem vedno večji od višine figure.

Ne zamenjujte apotema piramide z apotemom poliedra. V slednjem primeru je apotem pravokoten segment, ki je iz njegovega središča potegnjen na stran poliedra. Na primer, apotem enakostraničnega trikotnika je √3/6a.

Apothem task

Naj podana je pravilna piramida s trikotnikom na dnu. Treba je izračunati njegov apotem, če je znano, da je površina tega trikotnika 34 cm2, sama piramida pa je sestavljena iz 4 enakih obrazov.

V skladu s pogojem problema imamo opravka s tetraedrom, sestavljenim iz enakostraničnih trikotnikov. Formula za površino enega obraza je:

S=√3/4a2

Kje dobimo dolžino stranice a:

a=2√(S/√3)

Za določitev apotema h_{buporabimo formulo, ki vsebuje stranski rob b. V obravnavanem primeru je njegova dolžina enaka dolžini osnove, imamo:}

h_b=√(b²- a^{2/4)=√3/2 a}

Zamenjava vrednosti od a do S,dobimo končno formulo:

h_{b=√3/22√(S/√3)=√(S√3)}

Dobili smo preprosto formulo, v kateri je apotem piramide odvisen samo od površine njene osnove. Če iz pogoja naloge nadomestimo vrednost S, dobimo odgovor: h_{b≈ 7, 674 cm.}