Pri preučevanju popolnoma katere koli prostorske figure je pomembno vedeti, kako izračunati njeno prostornino. Ta članek ponuja formulo za prostornino pravilne štirikotne piramide in tudi prikazuje, kako je treba to formulo uporabiti na primeru reševanja problemov.
O kateri piramidi govorimo?
Vsak srednješolec ve, da je piramida polieder, sestavljen iz trikotnikov in mnogokotnika. Slednji je osnova figure. Trikotniki imajo eno skupno stran z osnovo in se sekajo v eni točki, ki je vrh piramide.
Za vsako piramido je značilna dolžina stranic osnove, dolžina stranskih robov in višina. Slednji je pravokoten segment, spuščen na osnovo z vrha slike.
Pravilna štirikotna piramida je figura s kvadratno osnovo, katere višina seka ta kvadrat v njegovem središču. Morda najbolj znan primer te vrste piramid so staroegipčanske kamnite strukture. Spodaj je fotografijaKeopsove piramide.
Preučevana figura ima pet obrazov, od katerih so štirje enaki enakokraki trikotniki. Zanj je značilno tudi pet oglišč, od katerih štiri pripadajo bazi, in osem robov (4 robovi osnove in 4 robovi stranskih ploskov).
Formula za prostornino štirikotne piramide je pravilna
Prostornina obravnavane figure je del prostora, ki je omejen s petimi stranicami. Za izračun tega volumna uporabimo naslednjo odvisnost površine rezine, vzporedne z osnovo piramide Sz od navpične koordinate z:
Sz=So (h - z/h)2
Tukaj je So površina kvadratne osnove. Če v pisni izraz nadomestimo z=h, dobimo vrednost nič za Sz. Ta vrednost z ustreza rezini, ki bo vsebovala samo vrh piramide. Če je z=0, dobimo vrednost osnovne površine So.
Obseg piramide je enostavno najti, če poznate funkcijo Sz(z), za to je dovolj, da lik razrežete na neskončno število plasti, vzporedne z osnovo, in nato izvedite operacijo integracije. Sledim tej tehniki, dobimo:
V=∫0h(Sz)dz=-S 0(h-z)3 / (3h2)|0 h=1/3S0h.
Ker je S0površino kvadratne osnove, nato pa, ki označuje stran kvadrata s črko a, dobimo formulo za prostornino pravilne štirikotne piramide:
V=1/3a2h.
Zdaj uporabimo primere reševanja problemov, da pokažemo, kako je treba ta izraz uporabiti.
Problem določanja prostornine piramide preko njenega apotema in stranskega roba
Apotem piramide je višina njenega bočnega trikotnika, ki je spuščen na stran osnove. Ker so v pravilni piramidi vsi trikotniki enaki, bodo tudi njihovi apotemi enaki. Označimo njegovo dolžino s simbolom hb. Stranski rob označite kot b.
Vemo, da je apotem piramide 12 cm, njen stranski rob pa 15 cm, poiščite prostornino pravilne štirikotne piramide.
Formula za prostornino figure, zapisana v prejšnjem odstavku, vsebuje dva parametra: dolžino stranice a in višino h. Trenutno ne poznamo nobenega od njih, zato si oglejmo njihove izračune.
Dolžino stranice kvadrata a je enostavno izračunati, če za pravokoten trikotnik uporabite Pitagorov izrek, v katerem je hipotenuza rob b, kraka pa apotem h b in polovica stranice osnove a/2. Dobimo:
b2=hb2+ a2 /4=>
a=2√(b2- hb2).
Če zamenjamo znane vrednosti iz pogoja, dobimo vrednost a=18 cm.
Če želite izračunati višino h piramide, lahko naredite dve stvari: razmislite o pravokotnikutrikotnik s hipotenuzo-bočnim robom ali s hipotenuzo-apotemom. Obe metodi sta enakovredni in vključujeta izvedbo enakega števila matematičnih operacij. Naj se osredotočimo na trikotnik, kjer je hipotenuza apotem hb. Noge v njej bodo h in a / 2. Potem dobimo:
h=√(hb2-a2/4)=√(12 2- 182/4)=7, 937 cm.
Zdaj lahko uporabite formulo za volumen V:
V=1/3a2h=1/31827, 937=857, 196 cm 3.
Tako je prostornina običajne štirikotne piramide približno 0,86 litra.
Prostornina Keopsove piramide
Sedaj pa rešimo zanimiv in praktično pomemben problem: poišči prostornino največje piramide v Gizi. Iz literature je znano, da je bila prvotna višina stavbe 146,5 metra, dolžina njenega podnožja pa 230,363 metra. Te številke nam omogočajo, da uporabimo formulo za izračun V. Dobimo:
V=1/3a2h=1/3230, 3632146, 5 ≈ 2591444 m 3.
Nastala vrednost je skoraj 2,6 milijona m3. Ta prostornina ustreza prostornini kocke, katere stranica je 137,4 metra.
