Zmožnost izračunavanja prostornine prostorskih figur je pomembna pri reševanju številnih praktičnih problemov v geometriji. Ena najpogostejših oblik je piramida. V tem članku bomo obravnavali formule za prostornino piramide, tako polne kot okrnjene.
Piramida kot tridimenzionalna figura
Vsi vedo za egipčanske piramide, zato imajo dobro predstavo, o kateri številki bo govora. Vendar pa so egipčanske kamnite strukture le poseben primer velikega razreda piramid.
Obravnavani geometrijski objekt v splošnem primeru je poligonalna osnova, katere vsako oglišče je povezano z neko točko v prostoru, ki ne pripada osnovni ravnini. Ta definicija vodi do figure, sestavljene iz enega n-kotnika in n trikotnikov.
Vsaka piramida je sestavljena iz n+1 ploskve, 2n robov in n+1 oglišč. Ker je obravnavana figura popoln polieder, število označenih elementov ustreza Eulerjevi enakosti:
2n=(n+1) + (n+1) - 2.
Velikokot na dnu daje ime piramide,na primer trikotne, peterokotne itd. Na spodnji fotografiji je prikazan niz piramid z različnimi osnovami.
Točka, na kateri sta povezana n trikotnikov figure, se imenuje vrh piramide. Če z njega spustimo pravokotnico na osnovo in jo seka v geometrijskem središču, se bo takšna slika imenovala ravna črta. Če ta pogoj ni izpolnjen, obstaja nagnjena piramida.
Ravna figura, katere osnovo tvori enakostranični (enakokotni) n-kotnik, se imenuje pravilna.
formula volumna piramide
Za izračun prostornine piramide uporabljamo integralni račun. Da bi to naredili, lik razdelimo s sekantnimi ravninami, vzporednimi z osnovo, na neskončno število tankih plasti. Na spodnji sliki je prikazana štirikotna piramida z višino h in dolžino stranice L, v kateri je tanek prerez označen s štirikotnikom.
Površino vsake takšne plasti je mogoče izračunati s formulo:
A(z)=A0(h-z)2/h2.
Tukaj je A0 površina osnove, z je vrednost navpične koordinate. Vidimo lahko, da če je z=0, potem formula daje vrednost A0.
Če želite dobiti formulo za prostornino piramide, morate izračunati integral po celotni višini figure, to je:
V=∫h0(A(z)dz).
Z zamenjavo odvisnosti A(z) in izračunom antiderivata pridemo do izraza:
V=-A0(h-z)3/(3h2)| h0=1/3A0h.
Dobili smo formulo za prostornino piramide. Če želite najti vrednost V, je dovolj, da višino figure pomnožite s površino osnove in nato rezultat delite s tri.
Upoštevajte, da je dobljeni izraz veljaven za izračun prostornine piramide poljubnega tipa. To pomeni, da je lahko nagnjen, njegova osnova pa je lahko poljuben n-kotnik.
Pravilna piramida in njena prostornina
Splošno formulo za prostornino, pridobljeno v zgornjem odstavku, je mogoče izboljšati v primeru piramide s pravilno osnovo. Površina takšne osnove se izračuna z naslednjo formulo:
A0=n/4L2ctg(pi/n).
Tu je L dolžina stranice pravilnega mnogokotnika z n oglišči. Simbol pi je število pi.
Če v splošno formulo zamenjamo izraz za A0, dobimo prostornino običajne piramide:
V=1/3n/4L2hctg(pi/n)=n/12 L2hctg(pi/n).
Na primer, za trikotno piramido ta formula vodi do naslednjega izraza:
V3=3/12L2hctg(60o)=√3/12L2h.
Za običajno štirikotno piramido je formula prostornine:
V4=4/12L2hctg(45o)=1/3L2h.
Določanje prostornine pravilnih piramid zahteva poznavanje stranice njihove osnove in višine figure.
Okrnjena piramida
Denimo, da smo vzelipoljubno piramido in odrežemo del njene stranske površine, ki vsebuje vrh. Preostala figura se imenuje okrnjena piramida. Sestavljen je že iz dveh n-kotnih baz in n trapeza, ki ju povezujeta. Če je bila rezalna ravnina vzporedna z osnovo figure, se oblikuje okrnjena piramida z vzporednimi podobnimi osnovami. To pomeni, da lahko dolžine strani ene od njih dobimo tako, da pomnožimo dolžine druge z nekim koeficientom k.
Zgornja slika prikazuje okrnjeno pravilno šesterokotno piramido. Vidi se, da njegovo zgornjo osnovo, tako kot spodnjo, tvori pravilen šesterokotnik.
Formula za prostornino okrnjene piramide, ki jo je mogoče izpeljati z uporabo integralnega računa, podobnega podanemu, je:
V=1/3h(A0+ A1+ √(A0 A1)).
Kjer sta A0 in A1 območja spodnje (velike) oziroma zgornje (majhne) baze. Spremenljivka h je višina okrnjene piramide.
Prostornina Keopsove piramide
Zanimivo je rešiti problem določanja prostornine, ki jo vsebuje največja egipčanska piramida.
Leta 1984 sta britanska egiptologa Mark Lehner in Jon Goodman določila natančne dimenzije Cheopsove piramide. Njegova prvotna višina je bila 146,50 metra (trenutno okoli 137 metrov). Povprečna dolžina vsake od štirih stranic konstrukcije je bila 230,363 metra. Osnova piramide je kvadratna z visoko natančnostjo.
Uporabimo podane številke, da določimo prostornino tega kamnitega velikana. Ker je piramida pravilna štirikotna, potem zanjo velja formula:
V4=1/3L2h.
Zamenjajte številke, dobimo:
V4=1/3(230, 363)2146, 5 ≈ 2591444 m 3.
Prostornina Cheopsove piramide je skoraj 2,6 milijona m3. Za primerjavo ugotavljamo, da ima olimpijski bazen prostornino 2,5 tisoč m3. To pomeni, da bo za zapolnitev celotne Cheopsove piramide potrebnih več kot 1000 teh bazenov!
