Območje stranske površine in prostornina okrnjene piramide: formule in primer reševanja tipične težave

2024 Avtor: Angel Austin | [email protected]. Nazadnje spremenjeno: 2024-01-02 17:55

Pri proučevanju lastnosti figur v tridimenzionalnem prostoru v okviru stereometrije je treba pogosto reševati probleme za določanje prostornine in površine. V tem članku bomo pokazali, kako izračunati prostornino in stransko površino za okrnjeno piramido z uporabo dobro znanih formul.

Piramida v geometriji

V geometriji je navadna piramida figura v prostoru, ki je zgrajena na nekem ravnem n-kotniku. Vsa njegova oglišča so povezana z eno točko, ki se nahaja zunaj ravnine mnogokotnika. Tukaj je na primer fotografija, ki prikazuje peterokotno piramido.

Ta lik tvorijo obrazi, oglišča in robovi. Pentagonalni obraz se imenuje osnova. Preostale trikotne ploskve tvorijo stransko površino. Točka presečišča vseh trikotnikov je glavno oglišče piramide. Če je pravokotnica spuščena od nje do osnove, sta možni dve možnosti za položaj presečišča:

• v geometrijskem središču, potem se piramida imenuje ravna črta;
• ni vgeometrijsko središče, potem bo figura poševna.

Nadalje bomo upoštevali samo ravne figure z običajno n-kotno osnovo.

Kaj je ta številka - okrnjena piramida?

Za določitev volumna okrnjene piramide je treba jasno razumeti, za katero figuro gre posebej. Pojasnimo to težavo.

Predpostavimo, da vzamemo rezalno ravnino, ki je vzporedna z osnovo navadne piramide, in z njo odrežemo del stranske površine. Če to operacijo izvedete z zgoraj prikazano peterokotno piramido, boste dobili takšno figuro kot na spodnji sliki.

Iz fotografije je razvidno, da ima ta piramida že dve bazi, zgornja pa je podobna spodnji, vendar je manjša. Bočne površine ne predstavljajo več trikotniki, temveč trapezi. So enakokraki, njihovo število pa ustreza številu stranic osnove. Okrnjena figura nima glavnega vrha, kot pravilna piramida, njena višina pa je določena z razdaljo med vzporednima osnovama.

V splošnem primeru, če je obravnavana figura sestavljena iz n-kotnih osnov, ima n+2 ploskve ali stranice, 2n oglišč in 3n robov. To pomeni, da je okrnjena piramida polieder.

Formula za prostornino okrnjene piramide

Ne pozabite, da je prostornina navadne piramide 1/3 zmnožka njene višine in osnovne površine. Ta formula ni primerna za okrnjeno piramido, saj ima dve bazi. In njegov volumenbo vedno manjša od enake vrednosti za običajno številko, iz katere je izpeljana.

Ne da bi se spuščali v matematične podrobnosti pridobivanja izraza, predstavljamo končno formulo za prostornino okrnjene piramide. Zapisano je takole:

V=1/3h(S₁+ S₂+ √(S₁ S₂₎₎

Tukaj sta S₁ in S_{2 površine spodnje in zgornje baze, h je višina figure. Pisni izraz ne velja samo za ravno pravilno okrnjeno piramido, ampak tudi za katero koli figuro tega razreda. Poleg tega ne glede na vrsto osnovnih poligonov. Edini pogoj, ki omejuje uporabo izraza za V, je potreba, da so osnove piramide vzporedne druga z drugo.}

S preučevanjem lastnosti te formule lahko naredimo več pomembnih zaključkov. Torej, če je površina zgornje osnove nič, potem pridemo do formule za V navadne piramide. Če so površine osnov med seboj enake, dobimo formulo za prostornino prizme.

Kako določiti stransko površino?

Poznavanje značilnosti okrnjene piramide zahteva ne le sposobnost izračunavanja njene prostornine, ampak tudi vedeti, kako določiti površino stranske površine.

Okrnjena piramida je sestavljena iz dveh vrst obrazov:

• enakokraki trapezi;
• poligonalne baze.

Če je v osnovah pravilen mnogokotnik, potem izračun njegove površine ne predstavlja velikegatežave. Če želite to narediti, morate vedeti le dolžino stranice a in njihovo število n.

V primeru bočne površine izračun njene površine vključuje določitev te vrednosti za vsakega od n trapezov. Če je n-kotnik pravilen, potem formula za stransko površino postane:

S_b=h_bn(a₁+a_2)/2

Tukaj je h_b višina trapeza, ki se imenuje apotema figure. Količina a₁ in a_{2sta dolžini stranic pravilnih n-kotnih baz.}

Za vsako običajno n-kotno okrnjeno piramido je mogoče apotemo h_b enolično definirati s parametri a₁ in a _{2in višina h oblike.}

Naloga izračuna prostornine in površine figure

Dana je pravilna trikotna okrnjena piramida. Znano je, da je njena višina h 10 cm, dolžini stranic podstavkov pa 5 cm in 3 cm. Kakšna sta prostornina okrnjene piramide in površina njene stranske površine?

Najprej izračunajmo vrednost V. Če želite to narediti, poiščite površine enakostraničnih trikotnikov, ki se nahajajo na osnovah figure. Imamo:

S₁=√3/4a₁²=√3/4 5²=10,825 cm^2;

S₂=√3/4a₂²=√3/4 3²=3,897 cm²

Podatke vstavimo v formulo za V, dobimo želeni volumen:

V=1/310(10, 825 + 3, 897 + √(10, 825 3, 897)) ≈ 70,72 cm3

Če želite določiti stransko površino, morate vedetidolžina apotema h_{b. Glede na ustrezen pravokoten trikotnik znotraj piramide lahko zapišemo enakost zanj:}

h_b=√((√3/6(a₁- a₂))²+ h^{2) ≈ 10,017 cm}

Vrednost apotema in stranice trikotnih osnov se nadomesti z izrazom za S_{bin dobimo odgovor:}

S_b=h_bn(a₁+a₂)/2=10,0173(5+3)/2 ≈ 120,2 cm²

Tako smo odgovorili na vsa vprašanja problema: V ≈ 70,72 cm³, S_b ≈ 120,2 cm2^.