Diedrični koti in formula za njihov izračun. Dvodelni kot na dnu štirikotne pravilne piramide

2024 Avtor: Angel Austin | [email protected]. Nazadnje spremenjeno: 2024-01-02 17:55

V geometriji se za preučevanje figur uporabljata dve pomembni značilnosti: dolžine stranic in koti med njimi. V primeru prostorskih figur se tem značilnostim dodajo še diedrski koti. Razmislimo, kaj je, in opišemo tudi metodo za določanje teh kotov na primeru piramide.

Koncept diedralnega kota

Vsakdo ve, da dve sekajoči se premici tvorita kot z ogliščem v točki njunega presečišča. Ta kot lahko izmerimo s kotomerjem ali pa ga izračunamo s trigonometričnimi funkcijami. Kot, ki ga tvorita dva prava kota, se imenuje linearen.

Sedaj si predstavljajte, da sta v tridimenzionalnem prostoru dve ravnini, ki se sekata v ravni črti. Prikazani so na sliki.

Diedrski kot je kot med dvema sekajočima ravninama. Tako kot linearni se meri v stopinjah ali radianih. Če na katero koli točko premice, vzdolž katere se ravnini sekata, obnovite dve pravokotnici,ki ležijo v teh ravninah, bo kot med njima želeni diedar. Najlažji način za določitev tega kota je uporaba splošnih enačb ravnin.

Enačba ravnin in formula za kot med njima

Enačba katere koli ravnine v prostoru na splošno je zapisana na naslednji način:

A × x + B × y + C × z + D=0.

Tukaj so x, y, z koordinate točk, ki pripadajo ravnini, koeficienti A, B, C, D so nekatera znana števila. Priročnost te enakosti za izračun diedrskih kotov je v tem, da eksplicitno vsebuje koordinate vektorja smeri ravnine. Označili ga bomo z n¯. Nato:

n¯=(A; B; C).

Vektor n¯ je pravokoten na ravnino. Kot med dvema ravninama je enak kotu med njunima vektorjema smeri n₁¯ in n₂¯. Iz matematike je znano, da je kot, ki ga tvorita dva vektorja, enolično določen iz njunega skalarnega produkta. To vam omogoča, da napišete formulo za izračun diedralnega kota med dvema ravninama:

φ=arccos (|(n₁¯ × n₂¯)| / (|n₁ ¯| × |n₂¯|)).

Če zamenjamo koordinate vektorjev, bo formula zapisana eksplicitno:

φ=arccos (|A₁ × A₂ + B₁ × B ₂ + C₁ × C₂| / (√(A₁ 2 ^{+ B}12 ^{+ C}12 ^{) × √(A}22^+B22 ^{+ C}22^))).

Predznak modulo v števcu se uporablja za definiranje samo akutnega kota, saj je diedrski kot vedno manjši ali enak 90^o.

Piramida in njeni vogali

Piramida je figura, ki jo tvorita en n-kotnik in n trikotnikov. Tukaj je n celo število, ki je enako številu stranic mnogokotnika, ki je osnova piramide. Ta prostorska figura je polieder ali polieder, saj je sestavljena iz ravnih ploskev (stranic).

Diedrski koti piramidnega poliedra so lahko dveh vrst:

• med osnovo in stranico (trikotnik);
• med dvema stranema.

Če se piramida šteje za pravilno, potem je zanjo enostavno določiti imenovane kote. Če želite to narediti, z uporabo koordinat treh znanih točk sestavite enačbo ravnin, nato pa uporabite formulo iz zgornjega odstavka za kot φ.

Spodaj podajamo primer, v katerem pokažemo, kako najti diedralne kote na dnu štirikotne pravilne piramide.

Štirikotna pravilna piramida in kot na njeni osnovi

Predpostavimo, da je podana pravilna piramida s kvadratno osnovo. Dolžina stranice kvadrata je a, višina figure je h. Poiščite kot med osnovo piramide in njeno stranico.

Postavimo izvor koordinatnega sistema v središče kvadrata. Nato koordinate točkA, B, C, D, prikazani na sliki, bodo:

A=(a/2; -a/2; 0);

B=(a/2; a/2; 0);

C=(-a/2; a/2; 0);

D=(0; 0; h).

Razmislite o ravnini ACB in ADB. Očitno bo vektor smeri n₁¯ za ravnino ACB:

₁¯=(0; 0; 1).

Če želite določiti vektor smeri n₂¯ ravnine ADB, nadaljujte na naslednji način: poiščite dva poljubna vektorja, ki ji pripadata, na primer AD¯ in AB¯, nato izračunaj njihovo vektorsko delo. Njegov rezultat bo dal koordinate n₂¯. Imamo:

AD¯=D - A=(0; 0; h) - (a/2; -a/2; 0)=(-a/2; a/2; h);

AB¯=B - A=(a/2; a/2; 0) - (a/2; -a/2; 0)=(0; a; 0);

₂¯=[AD¯ × AB¯]=[(-a/2; a/2; h) × (0; a; 0)]=(-a × h; 0;-a²/2).

Ker množenje in deljenje vektorja s številom ne spremeni njegove smeri, preoblikujemo dobljeno n₂¯ in njegove koordinate delimo z -a, dobimo:

₂¯=(h; 0; a/2).

Določili smo vektorska vodila n₁¯ in n₂¯ za osnovo ACB in stranske ravnine ADB. Še vedno je treba uporabiti formulo za kot φ:

φ=arccos (|(n₁¯ × n₂¯)| / (|n₁ ¯| × |n₂¯|))=arccos (a / (2 × √h² + a 2^/4)).

Pretvorite dobljeni izraz in ga prepišite takole:

φ=arccos (a / √(a²+ 4 × h²)).

Pridobili smo formulo za diedrski kot na dnu za pravilno štirikotno piramido. Če poznate višino figure in dolžino njene strani, lahko izračunate kot φ. Na primer, za Keopsovo piramido, katere osnovna stran je 230,4 metra, začetna višina pa 146,5 metra, bo kot φ 51,8^o.

Mogoče je določiti tudi diedrski kot za štirikotno pravilno piramido z uporabo geometrijske metode. Za to je dovolj, da razmislimo o pravokotnem trikotniku, ki ga tvorijo višina h, polovica dolžine osnove a/2 in apotem enakokrakega trikotnika.