Tipični linearni parametri katere koli piramide so dolžine strani njene osnove, višina, stranski robovi in apotemi. Kljub temu obstaja še ena značilnost, ki je povezana z navedenimi parametri - to je diedrski kot. V članku razmislite, kaj je to in kako ga najti.
Piramida prostorske figure
Vsak študent ima dobro predstavo o tem, kaj je na kocki, ko sliši besedo "piramida". Geometrijsko ga je mogoče sestaviti na naslednji način: izberite določen poligon, nato pritrdite točko v prostoru in jo povežite z vsakim kotom poligona. Nastala tridimenzionalna figura bo piramida poljubnega tipa. Poligon, ki ga tvori, se imenuje osnova, točka, s katero so povezani vsi njegovi vogali, pa je vrh figure. Spodnja slika shematično prikazuje peterokotno piramido.
Vidimo, da njegovo površino ne tvori le peterokotnik, ampak tudi pet trikotnikov. Na splošno bo število teh trikotnikov enako številustranice mnogokotne osnove.
Diedralni koti figure
Ko obravnavamo geometrijske probleme na ravnini, je kateri koli kot sestavljen iz dveh sekajočih se ravnih črt ali segmentov. V prostoru se tem linearnim kotom dodajo diedrski koti, ki nastanejo s presečiščem dveh ravnin.
Če označeno definicijo kota v prostoru uporabimo za zadevno figuro, potem lahko rečemo, da obstajata dve vrsti diedrskih kotov:
- Na dnu piramide. Sestavlja ga ravnina osnove in katera koli stranska ploskev (trikotnik). To pomeni, da so osnovni koti piramide n, kjer je n število stranic mnogokotnika.
- Med stranicama (trikotniki). Število teh diedrskih kotov je prav tako n kosov.
Upoštevajte, da je prva vrsta obravnavanih kotov zgrajena na robovih osnove, druga vrsta - na stranskih robovih.
Kako izračunati kote piramide?
Linearni kot diedričnega kota je mera slednjega. Izračunati ga ni lahko, saj se ploskve piramide, za razliko od ploskve prizme, v splošnem primeru ne sekajo pravokotno. Najbolj zanesljivo je izračunati vrednosti diedrskih kotov z uporabo enačb ravnine v splošni obliki.
V tridimenzionalnem prostoru je ravnina podana z naslednjim izrazom:
Ax + By + Cz + D=0
Kjer so A, B, C, D nekaj realnih številk. Priročnost te enačbe je, da so prve tri označene številke koordinate vektorja,ki je pravokotna na dano ravnino, to je:
n¯=[A; B; C
Če so koordinate treh točk, ki pripadajo ravnini, znane, potem lahko z vektorskim zmnožkom dveh vektorjev, zgrajenih na teh točkah, dobimo koordinate n¯. Vektor n¯ se imenuje vodilo za ravnino.
V skladu z definicijo je diedrski kot, ki ga tvori presečišče dveh ravnin, enak linearnemu kotu med njunima vektorjema smeri. Recimo, da imamo dve ravnini, katerih normalni vektorji so enaki:
1¯=[A1; B1; C1];
2¯=[A2; B2; C2
Za izračun kota φ med njima lahko uporabite lastnost skalarnega produkta, nato ustrezna formula postane:
φ=arccos(|(n1¯n2¯)|/(|n1 ¯||n2¯|))
Ali v koordinatni obliki:
φ=arccos(|A1A2+ B1B 2+ C1C2|/(√(A1 2 + B12+C12 )√(A22 + B22+ C22)))
Pokažimo, kako uporabiti zgornjo metodo za izračun diedrskih kotov pri reševanju geometrijskih problemov.
Koti pravilne štirikotne piramide
Predpostavimo, da obstaja pravilna piramida, na dnu katere je kvadrat s stranico 10 cm. Višina figure je12 cm. Treba je izračunati, kolikšni so diedrski koti na dnu piramide in za njene stranice.
Ker je slika, podana v pogoju problema, pravilna, torej ima visoko simetrijo, so vsi koti pri bazi enaki. Tudi koti, ki jih tvorijo stranske ploskve, so enaki. Za izračun zahtevanih diedrskih kotov poiščemo vektorje smeri za osnovo in dve stranski ravnini. Dolžino stranice osnove označimo s črko a, višino pa h.
Zgornja slika prikazuje štirikotno pravilno piramido. Zapišimo koordinate točk A, B, C in D v skladu z vnesenim koordinatnim sistemom:
A(a/2; -a/2; 0);
B(a/2; a/2; 0);
C(-a/2; a/2; 0);
D(0; 0; h)
Sedaj najdemo vektorje smeri za osnovne ravnine ABC ter obe strani ABD in BCD v skladu z metodo, opisano v zgornjem odstavku:
Za ABC:
AB¯=(0; a; 0); AC¯=(-a; a; 0); n1¯=[AB¯AC¯]=(0; 0; a2)
Za ABD:
AB¯=(0; a; 0); AD¯=(-a/2; a/2; h); n2¯=[AB¯AD¯]=(ah; 0; a2/2)
Za BCD:
BC¯=(-a; 0; 0); BD¯=(-a/2; -a/2; h); n3¯=[BC¯BD¯]=(0; ah; a2/2)
Zdaj je treba uporabiti ustrezno formulo za kot φ in nadomestiti vrednosti strani in višine iz izjave problema:
Kot med ABC inABD:
(n1¯n2¯)=a4/2; |n1¯|=a2; |n2¯|=a√(h2 + a2/4);
φ=arccos(a4/2/(a2a√(h2) + a2/4)))=arccos(a/(2√(h2 + a2) /4)))=67, 38o
Kot med ABD in BDC:
(n2¯n3¯)=a4/4; |n2¯|=a√(h2 + a2/4); |n3¯|=a√(h2 + a2/4);
φ=arccos(a4/(4a2(h2+ a2/4))=arccos(a2/(4(h2+a) 2/4)))=81, 49o
Izračunali smo vrednosti kotov, ki jih je bilo treba najti glede na pogoj problema. Formule, pridobljene pri reševanju problema, se lahko uporabijo za določitev diedrskih kotov štirikotnih pravilnih piramid s poljubnimi vrednostmi a in h.
Koti trikotne pravilne piramide
Spodnja slika prikazuje piramido, katere osnova je pravilen trikotnik. Znano je, da je diedrski kot med stranicama pravi. Potrebno je izračunati površino osnove, če je znano, da je višina figure 15 cm.
Diedrski kot, enak 90o, je na sliki označen kot ABC. Težavo lahko rešite z zgornjo metodo, vendar bomo v tem primeru to storili lažje. Označimo stran trikotnika a, višino figure - h, apotemo - hb in stranicorebro - b. Zdaj lahko napišete naslednje formule:
S=1/2ahb;
b2=hb2+ a2 /4;
b2=h2 + a2/3
Ker sta stranska trikotnika v piramidi enaka, sta strani AB in CB enaki in sta kraki trikotnika ABC. Označimo njihovo dolžino z x, nato:
x=a/√2;
S=1/2ba/√2
Izenačimo površine stranskih trikotnikov in nadomestimo apotem v ustrezen izraz, imamo:
1/2ahb=1/2ba/√2=>
hb=b/√2;
b2=b 2/2 + a2/4=>
b=a/√2;
a2/2=h2 + a2/3=>
a=h√6
Površina enakostraničnega trikotnika se izračuna na naslednji način:
S=√3/4a2=3√3/2h2
Zamenjamo vrednost višine iz pogoja težave, dobimo odgovor: S=584, 567 cm2.
