Vpisan štirikotnik v krogu. Štirikotnik ABCD je vpisan v krog

2024 Avtor: Angel Austin | [email protected]. Nazadnje spremenjeno: 2024-01-02 17:55

Z delitvijo matematike na algebro in geometrijo postaja učno gradivo težje. Pojavijo se nove figure in njihovi posebni primeri. Za dobro razumevanje gradiva je potrebno preučiti koncepte, lastnosti predmetov in sorodne izreke.

Splošni koncepti

Štirikotnik pomeni geometrijski lik. Sestavljen je iz 4 točk. Poleg tega 3 od njih niso nameščeni na isti ravni črti. Obstajajo segmenti, ki povezujejo določene točke zaporedno.

Vsi štirikotniki, ki se preučujejo v šolskem tečaju geometrije, so prikazani v naslednjem diagramu. Zaključek: kateri koli predmet s predstavljene slike ima lastnosti prejšnje slike.

Štirikotnik je lahko naslednjih vrst:

• Paralelogram. Vzporednost njegovih nasprotnih strani je dokazana z ustreznimi izreki.
• Trapez. Štirikotnik z vzporednimi osnovami. Drugi dve stranki nista.
• Pravokotnik. Slika, ki ima vse 4 vogale=90º.
• romb. Številka z enakimi vsemi stranicami.
• Kvadrat. Združuje lastnosti zadnjih dveh številk. Vse stranice so enake in vsi koti so pravi.

Glavna definicija te teme je štirikotnik, vpisan v krog. Sestoji iz naslednjega. To je figura, okoli katere je opisan krog. Teči mora skozi vsa oglišča. Notranji koti štirikotnika, vpisanega v krog, znašajo 360º.

Vsakega štirikotnika ni mogoče vpisati. To je posledica dejstva, da se pravokotne simetrale 4 strani morda ne sekajo v eni točki. Tako bo nemogoče najti središče kroga, ki obkroža 4-kotnik.

Posebni primeri

Pri vsakem pravilu obstajajo izjeme. Torej, v tej temi so tudi posebni primeri:

• Parlelograma kot takega ni mogoče vpisati v krog. Samo njegov poseben primer. To je pravokotnik.
• Če so vsa oglišča romba na obrobni črti, potem je to kvadrat.
• Vsa oglišča trapeza so na meji kroga. V tem primeru govorijo o enakokraki.

Lastnosti vpisanega štirikotnika v krogu

Pred reševanjem preprostih in zapletenih problemov na določeno temo morate preveriti svoje znanje. Brez preučevanja učnega gradiva je nemogoče rešiti en sam primer.

Izrek 1

Vsota nasprotnih kotov štirikotnika, vpisanega v krog, je 180º.

Dokaz

Dano: štirikotnik ABCD je vpisan v krog. Njegovo središče je točka O. Dokazati moramo, da je _<A + _<C=180º in _< B + _<D=180º.

Upoštevati je treba predstavljene številke.

1. _{<A je vpisana v krog s središčem v točki O. Meri se skozi ½ BCD (polloka).}
2. _{<C je vpisan v isti krog. Meri se skozi ½ BAD (pol-lok).}
3. BAD in BCD tvorita cel krog, to pomeni, da je njihova velikost 360º.
4. _<A + _{<C so enaki polovici vsote predstavljenih pol-lokov.}
5. Zato _<A + _{<C=360º / 2=180º.}

Na podoben način je dokaz za _<B in _{<D. Vendar pa obstaja druga rešitev problema.}

1. Vemo, da je vsota notranjih kotov štirikotnika 360º.
2. Ker _<A + _<C=180º. V skladu s tem _<B + _{<D=360º – 180º=180º.}

Torem 2

(pogosto se imenuje inverzno) Če v štirikotniku _<A + _<C=180º in _{<B +} <_{D=180º (če sta nasproti), potem lahko okoli takšne figure opišemo krog.}

Dokaz

Podana je vsota nasprotnih kotov štirikotnika ABCD, ki je enaka 180º. _<A + _<C=180º, _<B +_{<D=180º. Dokazati moramo, da je krog mogoče zapisati okoli ABCD.}

Iz tečaja geometrije je znano, da je mogoče skozi 3 točke štirikotnika narisati krog. Uporabite lahko na primer točke A, B, C. Kje bo točka D? Obstajajo 3 ugibanja:

1. Na koncu je v krogu. V tem primeru se D ne dotika črte.
2. Izven kroga. Stopi daleč preko začrtane črte.
3. Izkazalo se je v krogu.

Predpostaviti je treba, da je D znotraj kroga. Mesto navedenega vrha zaseda D´. Izkazalo se je štirikotnik ABCD´.

Rezultat je:_<B + _<D´=2d.

Če nadaljujemo AD´ do presečišča z obstoječim krogom s središčem v točki E in povežemo E in C, dobimo vpisan štirikotnik ABCE. Iz prvega izreka sledi enakost:

V skladu z zakoni geometrije izraz ne velja, ker je _<D´ zunanji kot trikotnika CD´E. V skladu s tem mora biti več kot _{<E. Iz tega lahko sklepamo, da mora biti D na krogu ali zunaj njega.}

Podobno se lahko tretja predpostavka izkaže za napačno, ko D´´ preseže mejo opisane številke.

Iz dveh hipotez sledi edina pravilna. Vertex D se nahaja na krožni črti. Z drugimi besedami, D sovpada z E. Iz tega sledi, da se vse točke štirikotnika nahajajo na opisani premici.

Od tehdva izreka, sledijo posledice:

V krog je mogoče vpisati kateri koli pravokotnik. Obstaja še ena posledica. Krog je mogoče obpisati okoli katerega koli pravokotnika

Trapez z enakimi boki se lahko vpiše v krog. Z drugimi besedami, zveni takole: krog je mogoče opisati okoli trapeza z enakimi robovi

Več primerov

Problem 1. Štirikotnik ABCD je vpisan v krog. _<ABC=105º, _<CAD=35º. Najti morate _{<ABD. Odgovor mora biti napisan v stopinjah.}

Odločitev. Sprva se morda zdi težko najti odgovor.

1. Zapomniti si morate lastnosti iz te teme. In sicer: vsota nasprotnih kotov=180º.

_<ADC=180º – _{<ABC=180º – 105º=75º}

Pri geometriji se je bolje držati načela: najdi vse, kar lahko. Uporabno pozneje.

2. Naslednji korak: uporabite izrek o vsoti trikotnika.

_<ACD=180º – _<CAD – _{<ADC=180º – 350º 75º=70º}

Vpisana sta

_<ABD in _{<ACD. Po pogoju se zanašajo na en lok. V skladu s tem imajo enake vrednosti:}

_<ABD=_<ACD=70º

Odgovor: _<ABD=70º.

Problem 2. BCDE je vpisan štirikotnik v krogu. _<B=69º, _<C=84º. Središče kroga je točka E. Najdi - _<E.

Odločitev.

1. Treba najti _{<E po izreku 1.}

_<E=180º – _{<C=180º – 84º=96º}

Odgovor: _{< E=96º.}

Naloga 3. Podan je štirikotnik, vpisan v krog. Podatki so prikazani na sliki. Treba je najti neznane vrednosti x, y, z.

Rešitev:

z=180º – 93º=87º (po izreku 1)

x=½(58º + 106º)=82º

y=180º – 82º=98º (po izreku 1)

Odgovor: z=87º, x=82º, y=98º.

Problem 4. V krogu je vpisan štirikotnik. Vrednosti so prikazane na sliki. Najdi x, y.

Rešitev:

x=180º – 80º=100º

y=180º – 71º=109º

Odgovor: x=100º, y=109º.

Problemi za samostojno rešitev

Primer 1. Podan krog. Njegovo središče je točka O. AC in BD sta premera. _<ACB=38º. Najti morate _{<AOD. Odgovor mora biti podan v stopinjah.}

Primer 2. Podan štirikotnik ABCD in okrog njega opisan krog. _<ABC=110º, _<ABD=70º. Poiščite _{<CAD. Napišite svoj odgovor v stopinjah.}

Primer 3. Podan sta krog in vpisan štirikotnik ABCD. Njena dva kota sta 82° in58º. Najti morate največji od preostalih kotov in zapisati odgovor v stopinjah.

Primer 4. Podan je štirikotnik ABCD. Koti A, B, C so podani v razmerju 1:2:3. Poiskati je treba kot D, če je mogoče navedeni štirikotnik vpisati v krog. Odgovor mora biti podan v stopinjah.

Primer 5. Podan je štirikotnik ABCD. Njegove stranice tvorijo loke opisanega kroga. Vrednosti stopinj AB, BC, CD in AD so: 78˚, 107˚, 39˚, 136˚. Najti bi morali _{<Iz danega štirikotnika in zapisati odgovor v stopinjah.}