Tema "aritmetična progresija" se obravnava v splošnem tečaju algebre v šolah v 9. razredu. Ta tema je pomembna za nadaljnji poglobljeni študij matematike številskih vrst. V tem članku se bomo seznanili z aritmetično progresijo, njeno razliko, pa tudi s tipičnimi nalogami, s katerimi se lahko srečujejo šolarji.
Koncept algebraične progresije
Številčno napredovanje je zaporedje številk, v katerem je vsak naslednji element mogoče dobiti iz prejšnjega, če se uporabi kakšen matematični zakon. Obstajata dve preprosti vrsti progresije: geometrijska in aritmetična, ki ji pravimo tudi algebraična. Oglejmo si podrobneje.
Zamislimo si neko racionalno število, označimo ga s simbolom a1, kjer indeks označuje njegovo redno številko v obravnavanem nizu. Dodajmo še kakšno drugo številko a1 , označimo jo z d. Nato drugielement serije se lahko odraža na naslednji način: a2=a1+d. Zdaj znova dodajte d, dobimo: a3=a2+d. Če nadaljujete to matematično operacijo, lahko dobite celo vrsto številk, ki se imenujejo aritmetična progresija.
Kot je razvidno iz zgornjega, morate za iskanje n-tega elementa tega zaporedja uporabiti formulo: a =a1+ (n -1)d. Dejansko, če v izraz nadomestimo n=1, dobimo a1=a1, če je n=2, potem formula pomeni: a2=a1 + 1d itd.
Na primer, če je razlika aritmetične progresije 5 in a1=1, potem to pomeni, da je številska vrsta zadevne vrste videti tako: 1, 6, 11, 16, 21, … Kot lahko vidite, je vsak njegov člen večji od prejšnjega za 5.
Formule za razliko aritmetične progresije
Iz zgornje definicije obravnavane serije številk sledi, da morate za njeno določitev poznati dve številki: a1 in d. Slednje se imenuje razlika tega napredovanja. Edinstveno določa obnašanje celotne serije. Dejansko, če je d pozitiven, se bo vrsta številk nenehno povečevala, nasprotno, v primeru negativnega d se bodo števila v nizu povečevala samo po modulu, medtem ko se bo njihova absolutna vrednost zmanjševala z naraščanjem števila n.
Kakšna je razlika med aritmetično progresijo? Upoštevajte dve glavni formuli, ki se uporabljata za izračun te vrednosti:
- d=an+1-a , ta formula izhaja neposredno iz definicije zadevne vrste številk.
- d=(-a1+a)/(n-1), ta izraz dobimo tako, da izrazimo d iz podane formule v prejšnjem odstavku člena. Upoštevajte, da ta izraz postane nedoločen (0/0), če je n=1. To je posledica dejstva, da je za določitev njene razlike potrebno poznati vsaj 2 elementa serije.
Ti dve osnovni formuli se uporabljata za reševanje kakršne koli težave pri iskanju razlike v napredovanju. Vendar pa morate vedeti še eno formulo.
Vsota prvih elementov
Formulo, ki jo je mogoče uporabiti za določitev vsote poljubnega števila članov algebraične progresije, glede na zgodovinske dokaze, je prvi pridobil "princ" matematike iz 18. stoletja, Carl Gauss. Nemški znanstvenik, ko je bil še deček v osnovnih razredih vaške šole, je opazil, da je treba za seštevanje naravnih števil v nizu od 1 do 100 najprej sešteti prvi in zadnji element (nastala vrednost bo enaka na vsoto predzadnjega in drugega, predzadnjega in tretjega elementa itd.), nato pa je treba to število pomnožiti s številom teh zneskov, torej s 50.
Formulo, ki odraža navedeni rezultat na določenem primeru, lahko posplošimo na poljuben primer. Videti bo takole: S =n/2(a +a1). Upoštevajte, da za iskanje določene vrednosti poznavanje razlike d ni potrebno,če sta znana dva izraza napredovanja (a in a1).
Primer 1. Določite razliko, če poznate dva člena niza a1 in an
Pokažimo, kako uporabiti formule, omenjene zgoraj v članku. Dajmo preprost primer: razlika aritmetične progresije ni znana, treba je določiti, čemu bo enaka, če bo a13=-5, 6 in a1 =-12, 1.
Ker poznamo vrednosti dveh elementov številskega zaporedja in je eden od njih prvo število, lahko s formulo št. 2 določimo razliko d. Imamo: d=(-1(-12, 1)+(-5, 6))/12=0. 54167. V izrazu smo uporabili vrednost n=13, saj je član s to zaporedno številko znano.
Nastala razlika kaže, da se napredovanje povečuje, kljub temu, da imajo elementi, podani v pogoju problema, negativno vrednost. Vidi se, da a13>a1, čeprav |a13|<|a 1 |.
Primer 2. Pozitivni člani napredovanja v primeru 1
Uporabimo rezultat, pridobljen v prejšnjem primeru, da rešimo nov problem. Formulira se takole: od katere zaporedne številke začnejo elementi napredovanja v primeru 1 jemati pozitivne vrednosti?
Kot je prikazano, se napredovanje, v katerem a1=-12, 1 in d=0. 54167, povečuje, tako da bodo od nekega števila števila začela sprejemati samo pozitivne vrednote. Za določitev tega števila n je treba rešiti preprosto neenakost, ki jematematično zapisano takole: a >0 ali z ustrezno formulo prepišemo neenakost: a1 + (n-1)d>0. Treba je najti neznano n, izrazimo jo: n>-1a1/d + 1. Zdaj je treba zamenjati znane vrednosti razlike in prvega člana zaporedja. Dobimo: n>-1(-12, 1) /0, 54167 + 1=23, 338 ali n>23, 338. Ker lahko n prevzame samo cele vrednosti, iz nastale neenakosti sledi, da bodo vsi člani niza, ki bodo število, večje od 23, bo pozitivno.
Preverite svoj odgovor z uporabo zgornje formule za izračun 23. in 24. elementa te aritmetične progresije. Imamo: a23=-12, 1 + 220, 54167=-0, 18326 (negativno število); a24=-12, 1 + 230. 54167=0,3584 (pozitivna vrednost). Tako je dobljeni rezultat pravilen: od n=24 bodo vsi člani številske serije večji od nič.
Primer 3. Koliko polen bo ustrezalo?
Najmo en radoveden problem: med sečnjo je bilo odločeno, da žagane hlode zložimo eno na drugo, kot je prikazano na spodnji sliki. Koliko dnevnikov je mogoče zložiti na ta način, če vemo, da bo skupaj 10 vrstic?
Pri tem načinu zlaganja dnevnikov lahko opazite eno zanimivost: vsaka naslednja vrstica bo vsebovala en dnevnik manj kot prejšnja, torej obstaja algebraična progresija, katere razlika je d=1. Ob predpostavki, da je število dnevnikov v vsaki vrstici član tega napredovanja,in tudi glede na to, da je a1=1 (samo en dnevnik se bo prilegal na sam vrh), najdemo številko a10. Imamo: a10=1 + 1(10-1)=10. To pomeni, da bo v 10. vrsti, ki leži na tleh, 10 polen.
Skupno količino te "piramidalne" konstrukcije je mogoče dobiti z uporabo Gaussove formule. Dobimo: S10=10/2(10+1)=55 dnevnikov.
