Funkcija in preučevanje njenih značilnosti je eno ključnih poglavij sodobne matematike. Glavna komponenta katere koli funkcije so grafi, ki prikazujejo ne le njene lastnosti, ampak tudi parametre izpeljanke te funkcije. Oglejmo si to zapleteno temo. Kateri je torej najboljši način za iskanje največje in najmanjše točke funkcije?
Funkcija: definicija
Vsako spremenljivko, ki je na nek način odvisna od vrednosti druge vrednosti, lahko imenujemo funkcija. Na primer, funkcija f(x2) je kvadratna in določa vrednosti za celoten niz x. Recimo, da je x=9, potem bo vrednost naše funkcije enaka 92=81.
Funkcije so na voljo v različnih vrstah: logične, vektorske, logaritemske, trigonometrične, številske in druge. V njihovo študijo so se ukvarjali tako izjemni umi, kot so Lacroix, Lagrange, Leibniz in Bernoulli. Njihovi spisi služijo kot oporišče sodobnih načinov preučevanja funkcij. Preden najdete minimalne točke, je zelo pomembno razumeti sam pomen funkcije in njene izpeljanke.
Izpeljanka in njena vloga
Vse funkcije so vključeneodvisno od vrednosti njihovih spremenljivk, kar pomeni, da lahko kadar koli spremenijo svojo vrednost. Na grafu bo to prikazano kot krivulja, ki se bodisi spušča ali dviga vzdolž osi y (to je celoten niz številk "y" vzdolž navpičnice grafa). Tako je definicija točke maksimuma in minimuma funkcije ravno povezana s temi "nihanji". Naj pojasnimo, kakšno je to razmerje.
Izpeljanka katere koli funkcije je narisana na graf, da bi preučili njene glavne značilnosti in izračunali, kako hitro se funkcija spreminja (tj. spremeni svojo vrednost glede na spremenljivko "x"). V trenutku, ko se funkcija poveča, se bo povečal tudi graf njenega odvoda, vendar se lahko v vsaki sekundi funkcija začne zmanjševati, nato pa se bo graf odvoda zmanjšal. Tiste točke, na katerih izpeljanka gre iz minusa v plus, se imenujejo minimalne točke. Da bi vedeli, kako najti minimalne točke, bi morali bolje razumeti koncept izpeljanke.
Kako izračunati izpeljanko?
Definiranje in izračun izvoda funkcije vključuje več konceptov iz diferencialnega računa. Na splošno lahko samo definicijo izpeljanke izrazimo takole: to je vrednost, ki kaže hitrost spremembe funkcije.
Matematični način določanja za mnoge študente se zdi zapleten, v resnici pa je vse veliko bolj preprosto. Le slediti moratestandardni načrt za iskanje izvoda katere koli funkcije. V nadaljevanju je opisano, kako lahko najdete minimalno točko funkcije brez uporabe pravil diferenciacije in brez zapomnitve tabele izpeljank.
- Izvod funkcije lahko izračunate z uporabo grafa. Če želite to narediti, morate upodobiti samo funkcijo, nato na njej vzeti eno točko (točka A na sl.) Narisati črto navpično navzdol do abscisne osi (točka x0) in v točki A narišite tangento na funkcijsko grafiko. Abscisna os in tangenta tvorita kot a. Če želite izračunati vrednost, kako hitro raste funkcija, morate izračunati tangent tega kota a.
- Izkazalo se je, da je tangenta kota med tangento in smerjo osi x izpeljanka funkcije na majhnem območju s točko A. Ta metoda velja za geometrijski način določanja izvoda.
Metode raziskovanja funkcije
V šolskem učnem načrtu matematike je mogoče najti minimalno točko funkcije na dva načina. Prvo metodo smo že analizirali z uporabo grafa, kako pa določiti številčno vrednost izpeljanke? Če želite to narediti, se boste morali naučiti več formul, ki opisujejo lastnosti izpeljanke in pomagajo pretvoriti spremenljivke, kot je "x", v številke. Naslednja metoda je univerzalna, zato jo je mogoče uporabiti za skoraj vse vrste funkcij (geometrijske in logaritemske).
- Funkcijo je treba enačiti z izpeljano funkcijo, nato pa izraz poenostaviti s pravilidiferenciacija.
- delimo z nič).
- Po tem morate prvotno obliko funkcije pretvoriti v preprosto enačbo, tako da celoten izraz enačimo z nič. Na primer, če je funkcija izgledala takole: f(x)=2x3+38x, potem je po pravilih diferenciacije njena izpeljanka enaka f'(x)=3x 2 +1. Nato ta izraz pretvorimo v enačbo naslednje oblike: 3x2+1=0.
- Po rešitvi enačbe in iskanju točk "x" jih narišite na os x in ugotovite, ali je izpeljanka na teh območjih med označenimi točkami pozitivna ali negativna. Po označevanju bo postalo jasno, na kateri točki se funkcija začne zmanjševati, torej spremeni predznak iz minusa v nasprotno. Na ta način lahko najdete tako minimalne kot največje točke.
Pravila diferenciacije
Najosnovnejši del učenja funkcije in njene izpeljanke je poznavanje pravil diferenciacije. Le z njihovo pomočjo je mogoče preoblikovati okorne izraze in velike kompleksne funkcije. Spoznajmo jih, kar nekaj jih je, vendar so vsi zelo preprosti zaradi pravilnih lastnosti moči in logaritemskih funkcij.
- Izvod katere koli konstante je nič (f(x)=0). To pomeni, da bo izpeljanka f(x)=x5+ x - 160 imela naslednjo obliko: f' (x)=5x4+1.
- Izpeljanka vsote dveh členov: (f+w)'=f'w + fw'.
- Izpeljanka logaritemske funkcije: (logad)'=d/ln ad. Ta formula velja za vse vrste logaritmov.
- Izpeljanka stopnje: (x)'=nxn-1. Na primer, (9x2)'=92x=18x.
- Izpeljanka sinusne funkcije: (sin a)'=cos a. Če je greh kota a 0,5, potem je njegov izvod √3/2.
točke ekstrema
Mi smo že ugotovili, kako najti minimalne točke, vendar obstaja koncept maksimalnih točk funkcije. Če minimum označuje tiste točke, na katerih se funkcija premika od minusa do plusa, potem so največje točke tiste točke na osi x, na katerih se izpeljanka funkcije spremeni iz plusa v nasprotno - minus.
Največje število točk lahko najdete z zgoraj opisano metodo, le pri tem je treba upoštevati, da označujejo tista področja, kjer se funkcija začne zmanjševati, to pomeni, da bo izpeljanka manjša od nič.
V matematiki je običajno posploševati oba pojma in ju nadomestiti s frazo "ekstremne točke". Ko naloga zahteva določitev teh točk, to pomeni, da je treba izračunati izvod te funkcije in najti najmanjšo in največjo točko.
