Sposobnost dela s številskimi izrazi, ki vsebujejo kvadratni koren, je nujna za uspešno reševanje številnih problemov iz OGE in USE. Pri teh izpitih običajno zadostuje osnovno razumevanje, kaj je ekstrakcija korenin in kako se to izvaja.
Definicija
N-ti koren števila X je število x, za katerega velja enakost: xn =X.
Iskanje vrednosti izraza s korenom pomeni najti x glede na X in n.
Kvadratni koren ali, kar je enako, drugi koren X - število x, za katerega je izpolnjena enakost: x2 =X.
Oznaka: ∛Х. Tukaj je 3 stopnja korena, X je korenski izraz. Znak '√' se pogosto imenuje radikal.
Če številka nad korenom ne označuje stopnje, je privzeta stopnja 2.
V šolskem tečaju za enakomerne stopnje se negativni koreni in radikalni izrazi običajno ne upoštevajo. Na primer, ni√-2, za izraz √4 pa je pravilen odgovor 2, kljub temu, da je (-2)2 enako 4.
Racionalnost in iracionalnost korenin
Najenostavnejša možna naloga s korenom je najti vrednost izraza ali ga preizkusiti glede racionalnosti.
Na primer, izračunajte vrednosti √25; ∛8; ∛-125:
- √25=5, ker 52 =25;
- ∛8=2, ker 23 =8;
- ∛ - 125=-5 od (-5)3 =-125.
Odgovori v danih primerih so racionalna števila.
Pri delu z izrazi, ki ne vsebujejo dobesednih konstant in spremenljivk, je priporočljivo, da takšno preverjanje vedno izvedete z inverzno operacijo dviga na naravno potenco. Iskanje števila x na n-to potenco je enakovredno izračunu produkta n faktorjev x.
Obstaja veliko izrazov s korenom, katerih vrednost je iracionalna, torej zapisana kot neskončen neperiodični ulomek.
Po definiciji so racionalni tisti, ki jih je mogoče izraziti kot navadni ulomek, iracionalni pa so vsa druga realna števila.
Ti vključujejo √24, √0, 1, √101.
Če knjiga težav pravi: poiščite vrednost izraza s korenom 2, 3, 5, 6, 7 itd., To je iz tistih naravnih števil, ki niso v tabeli kvadratov, potem je pravilen odgovor √ 2 lahko prisoten (če ni navedeno drugače).
Ocenjevanje
V težavah zodprt odgovor, če je nemogoče najti vrednost izraza s korenom in jo zapisati kot racionalno število, je treba rezultat pustiti kot radikal.
Nekatere naloge bodo morda zahtevale oceno. Primerjajte na primer 6 in √37. Rešitev zahteva kvadriranje obeh števil in primerjavo rezultatov. Od dveh števil je večje tisto, katerega kvadrat je večji. To pravilo deluje za vsa pozitivna števila:
- 62 =36;
- 372 =37;
- 37 >36;
- pomeni √37 > 6.
Na enak način se rešujejo problemi, pri katerih je treba več številk razporediti v naraščajočem ali padajočem vrstnem redu.
Primer: razporedite 5, √6, √48, √√64 v naraščajočem vrstnem redu.
Po kvadriranju imamo: 25, 6, 48, √64. Vsa števila bi lahko ponovno kvadrirali, da bi jih primerjali z √64, vendar je enako racionalnemu številu 8. 6 < 8 < 25 < 48, zato je rešitev: 48.
Poenostavitev izraza
Zgodi se, da je nemogoče najti vrednost izraza s korenom, zato ga je treba poenostaviti. Pri tem pomaga naslednja formula:
√ab=√a√b.
Koren produkta dveh števil je enak zmnožku njunih korenov. Ta operacija bo zahtevala tudi sposobnost faktorizacije števila.
Na začetni stopnji je za pospešitev dela priporočljivo imeti pri roki tabelo s praštevili in kvadrati. Te tabele s pogostimiuporaba v prihodnosti si bo zapomnila.
Na primer, √242 je iracionalno število, lahko ga pretvorite takole:
- 242=2 × 121;
- √242=√(2 × 121);
- √2 × √121=√2 × 11.
Običajno je rezultat zapisan kot 11√2 (beri: enajst korenov od dveh).
Če je težko takoj ugotoviti, na katera dva faktorja je treba število razstaviti, da se iz enega od njih izvleče naravni koren, lahko uporabite celotno razgradnjo na prafaktorje. Če se isto prvo število v razširitvi pojavi dvakrat, se odstrani iz korenskega predznaka. Če je dejavnikov veliko, lahko koren izvlečete v več korakih.
Primer: √2400=√(2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 5 × 5). Število 2 se v razširitvi pojavi 2-krat (pravzaprav več kot dvakrat, vendar nas še vedno zanimata prvi dve pojavitvi v razširitvi).
Vzamemo ga izpod korenskega znaka:
√(2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 5 × 5)=2√(2 × 2 × 2 × 3 × 5 × 5).
Ponovite isto dejanje:
2√(2 × 2 × 2 × 3 × 5 × 5)=2 × 2√ (2 × 3 × 5 × 5).
V preostalem radikalnem izrazu se 2 in 3 pojavita enkrat, zato je treba odstraniti faktor 5:
2 × 2√(2 × 3 × 5 × 5)=5 × 2 × 2√(2 × 3);
in izvajajte aritmetične operacije:
5 × 2 × 2√(2 × 3)=20√6.
Torej dobimo √2400=20√6.
Če v nalogi ni izrecno navedeno: "poišči vrednost izraza s kvadratnim korenom", potem izbira,v kakšni obliki pustiti odgovor (ali izvleči koren izpod radikala) ostane pri študentu in je lahko odvisno od problema, ki ga rešuje.
Sprva so postavljene visoke zahteve glede oblikovanja nalog, izračunavanja, vključno z ustnim ali pisnim, brez uporabe tehničnih sredstev.
Šele po dobrem obvladovanju pravil za delo z iracionalnimi številskimi izrazi je smiselno preiti na težje dobesedne izraze in na reševanje iracionalnih enačb ter izračunavanje obsega možnih vrednosti izraza pod radikalno.
S tovrstno težavo se študentje srečajo na enotnem državnem izpitu iz matematike, pa tudi v prvem letniku specializiranih univerz pri študiju matematične analize in sorodnih disciplin.
