Velikokrat je treba v fiziki reševati probleme za izračun ravnotežja v kompleksnih sistemih, ki imajo veliko delujočih sil, vzvodov in vrtilnih osi. V tem primeru je najlažje uporabiti koncept momenta sile. Ta članek vsebuje vse potrebne formule s podrobnimi razlagami, ki jih je treba uporabiti za reševanje problemov imenovane vrste.
O čem se bomo pogovarjali?
Verjetno je marsikdo opazil, da če deluješ s kakršno koli silo na predmet, pritrjen na določeni točki, se ta začne vrteti. Osupljiv primer so vrata v hišo ali v sobo. Če ga vzamete za ročaj in potisnete (uporabite silo), se bo začel odpirati (obrniti tečaje). Ta proces je v vsakdanjem življenju manifestacija delovanja fizične količine, ki se imenuje moment sile.
Iz opisanega primera z vrati sledi, da obravnavana vrednost kaže na sposobnost sile vrtenja, kar je njen fizični pomen. Tudi ta vrednostimenujemo torzijski moment.
Določanje momenta sile
Preden določimo zadevno količino, posnamemo preprosto sliko.
Torej, slika prikazuje vzvod (modra), ki je pritrjena na osi (zelena). Ta vzvod ima dolžino d, na njen konec pa deluje sila F. Kaj se bo v tem primeru zgodilo s sistemom? Tako je, vzvod se bo začel vrteti v nasprotni smeri urinega kazalca, če ga gledamo od zgoraj (upoštevajte, da če malo raztegnete domišljijo in si predstavljate, da je pogled usmerjen od spodaj na ročico, se bo vrtel v smeri urinega kazalca).
Naj se točka pritrditve osi imenuje O, točka uporabe sile - P. Nato lahko zapišemo naslednji matematični izraz:
OP¯ F¯=M¯FO.
Kjer je OP¯ vektor, ki je usmerjen od osi do konca vzvoda, se imenuje tudi vzvod sile, F¯je vektor sile, ki deluje na točko P, in M¯FO je moment sile okoli točke O (os). Ta formula je matematična definicija zadevne fizikalne količine.
Pravilo smeri trenutka in desne roke
Zgornji izraz je navzkrižni produkt. Kot veste, je njegov rezultat tudi vektor, ki je pravokoten na ravnino, ki poteka skozi ustrezne vektorje množitelja. Ta pogoj izpolnjujeta dve smeri vrednosti M¯FO (dol in navzgor).
Edinstvenoza določitev je treba uporabiti tako imenovano pravilo desne roke. Lahko ga formuliramo tako: če štiri prste desne roke upognemo v polovični lok in ta polovični lok usmerimo tako, da gre vzdolž prvega vektorja (prvi faktor v formuli) in gre do konca drugi, nato palec, ki štrli navzgor, bo nakazal smer momenta torzije. Upoštevajte tudi, da morate pred uporabo tega pravila nastaviti pomnožene vektorje tako, da izhajajo iz iste točke (njihov izvor se mora ujemati).
V primeru slike v prejšnjem odstavku lahko z uporabo pravila desne roke rečemo, da bo moment sile glede na os usmerjen navzgor, torej proti nam.
Poleg označene metode določanja smeri vektorja M¯FO sta še dve. Tukaj so:
- Trenutek torzije bo usmerjen tako, da se bo, če pogledate na vrtljivo ročico s konca njenega vektorja, ta premaknil proti uri. Splošno sprejeto je, da se ta trenutna smer obravnava kot pozitivno pri reševanju različnih vrst problemov.
- Če vrtilec zasukate v smeri urinega kazalca, bo navor usmerjen proti gibanju (poglobitvi) vrtača.
Vse zgornje definicije so enakovredne, tako da lahko vsak izbere tisto, ki mu ustreza.
Torej je bilo ugotovljeno, da je smer momenta sile vzporedna z osjo, okoli katere se vrti ustrezni vzvod.
Kotna sila
Oglejte si spodnjo sliko.
Tu vidimo tudi vzvod dolžine L, pritrjen na točki (označeno s puščico). Nanj deluje sila F, ki pa je usmerjena pod določenim kotom Φ (phi) na vodoravni vzvod. Smer trenutka M¯FO bo v tem primeru enaka kot na prejšnji sliki (na nas). Za izračun absolutne vrednosti ali modula te količine morate uporabiti lastnost navzkrižnega produkta. Po njegovem mnenju lahko za obravnavani primer zapišete izraz: MFO=LFsin(180 o -Φ) ali z uporabo lastnosti sinusa prepišemo:
MFO=LFsin(Φ).
Na sliki je prikazan tudi zaključen pravokoten trikotnik, katerega stranice so sam vzvod (hipotenuza), črta delovanja sile (kateca) in stranica dolžine d (drugi krak). Glede na to, da je sin(Φ)=d/L, bo ta formula dobila obliko: MFO=dF. Vidi se, da je razdalja d razdalja od točke pritrditve vzvoda do premice sile, torej d je vzvod sile.
Obe formuli, obravnavani v tem odstavku, ki sledita neposredno iz definicije momenta torzije, sta uporabni pri reševanju praktičnih problemov.
Enote navora
Z uporabo definicije je mogoče ugotoviti, da je treba vrednost MFO meriti v njutonih na meter (Nm). Dejansko se v obliki teh enot uporablja v SI.
Upoštevajte, da je Nm enota dela, ki je izražena v džulih, kot je energija. Kljub temu se jouli ne uporabljajo za koncept momenta sile, saj ta vrednost odraža prav možnost izvedbe slednjega. Vendar pa obstaja povezava z enoto dela: če se kot posledica sile F ročica popolnoma zavrti okoli svoje vrtilne točke O, bo opravljeno delo enako A=MF O 2pi (2pi je kot v radianih, ki ustreza 360o). V tem primeru lahko enoto navora MFO izrazimo v joulih na radian (J/rad.). Slednji se skupaj z Hm uporablja tudi v sistemu SI.
Varignonov izrek
Ob koncu 17. stoletja je francoski matematik Pierre Varignon, ki je preučeval ravnotežje sistemov z vzvodi, prvi oblikoval izrek, ki zdaj nosi njegov priimek. Formulira se na naslednji način: skupni moment več sil je enak momentu nastale ene sile, ki deluje na določeno točko glede na isto os vrtenja. Matematično ga lahko zapišemo takole:
M¯1+M¯2 +…+M¯=M¯=d¯ ∑ i=1(F¯i)=d¯F¯.
Ta izrek je primeren za izračun torzijskih momentov v sistemih z več delujočimi silami.
Naprej podajamo primer uporabe zgornjih formul za reševanje problemov v fiziki.
Težava s ključem
Eden odOsupljiv primer dokazovanja pomembnosti upoštevanja momenta sile je postopek odvijanja matic s ključem. Če želite odviti matico, morate uporabiti nekaj navora. Treba je izračunati, koliko sile je treba uporabiti na točki A, da začnemo odvijati matico, če je ta sila v točki B 300 N (glej spodnjo sliko).
Iz zgornje slike sledita dve pomembni stvari: prvič, razdalja OB je dvakrat večja od OA; drugič, sili FA in FBsta usmerjeni pravokotno na ustrezni vzvod z osjo vrtenja, ki sovpada s središčem matice (točka O).
Moment navora za ta primer lahko zapišemo v skalarni obliki, kot sledi: M=OBFB=OAFA. Ker je OB/OA=2, bo ta enakost veljala le, če je FA 2-krat večja od FB. Iz pogoja problema dobimo, da je FA=2300=600 N. To pomeni, da daljši kot je ključ, lažje je odviti matico.
Problem z dvema kroglicama različnih mas
Spodnja slika prikazuje sistem, ki je v ravnotežju. Treba je najti položaj točišča, če je dolžina plošče 3 metre.
Ker je sistem v ravnotežju, je vsota momentov vseh sil enaka nič. Na desko delujejo tri sile (uteži dveh kroglic in reakcijska sila podpore). Ker podporna sila ne ustvari momenta navora (dolžina vzvoda je nič), obstajata le dva momenta, ki nastaneta s težo kroglic.
Naj je ravnotežna točka na razdalji x odrob, ki vsebuje 100 kg žogo. Nato lahko zapišemo enakost: M1-M2=0. Ker je teža telesa določena s formulo mg, potem imamo: m 1gx - m2g(3-x)=0. Zmanjšamo g in nadomestimo podatke, dobimo: 100x - 5(3-x)=0=> x=15/105=0,143 m ali 14,3 cm.
Tako, da bi bil sistem v ravnotežju, je treba vzpostaviti referenčno točko na razdalji 14,3 cm od roba, kjer bo ležala kroglica mase 100 kg.
