V fiziki se obravnava problemov z vrtečimi se telesi ali sistemi, ki so v ravnotežju, izvajamo s konceptom "momenta sile". Ta članek bo obravnaval formulo za trenutek sile, pa tudi njeno uporabo za reševanje te vrste težave.
Moment sile v fiziki
Kot je navedeno v uvodu, se bo ta članek osredotočil na sisteme, ki se lahko vrtijo okoli osi ali okoli točke. Oglejte si primer takega modela, prikazanega na spodnji sliki.
Vidimo, da je siva ročica pritrjena na osi vrtenja. Na koncu vzvoda je črna kocka neke mase, na katero deluje sila (rdeča puščica). Intuitivno je jasno, da bo rezultat te sile vrtenje ročice okoli osi v nasprotni smeri urinega kazalca.
Moment sile je v fiziki količina, ki je enaka vektorskemu produktu polmera, ki povezuje os vrtenja in točko uporabe sile (zeleni vektor na sliki), in zunanjo silo sama. To pomeni, da je zapisana formula za moment sile okoli osikot sledi:
M¯=r¯F¯
Rezultat tega izdelka je vektor M¯. Njegova smer je določena na podlagi poznavanja multiplikatorskih vektorjev, to je r¯ in F¯. V skladu z definicijo križnega produkta mora biti M¯ pravokotno na ravnino, ki jo tvorita vektorja r¯ in F¯, in usmerjeno v skladu s pravilom desne roke (če so štirje prsti desne roke postavljeni vzdolž prvega pomnoženega vektor proti koncu drugega, nato palec pokaže, kam je usmerjen želeni vektor). Na sliki lahko vidite, kam je usmerjen vektor M¯ (modra puščica).
Skalarni zapis M¯
Na sliki v prejšnjem odstavku sila (rdeča puščica) deluje na vzvod pod kotom 90o. V splošnem se lahko nanese pod popolnoma katerim koli kotom. Oglejte si spodnjo sliko.
Tukaj vidimo, da sila F že deluje na vzvod L pod določenim kotom Φ. Za ta sistem bo formula za trenutek sile glede na točko (prikazano s puščico) v skalarni obliki naslednja:
M=LFsin(Φ)
Iz izraza sledi, da bo moment sile M večji, čim bližje je smer delovanja sile F kotu 90o glede na L Nasprotno, če F deluje vzdolž L, potem je sin(0)=0 in sila ne ustvari nobenega trenutka (M=0).
Pri obravnavanju momenta sile v skalarni obliki se pogosto uporablja koncept "vzvoda sile". Ta vrednost je razdalja med osjo (točkavrtenje) in vektor F. Če to definicijo uporabimo na zgornji sliki, lahko rečemo, da je d=Lsin(Φ) vzvod sile (enakost izhaja iz definicije trigonometrične funkcije "sinus"). Preko vzvoda sile lahko formulo za trenutek M prepišemo na naslednji način:
M=dF
Fizični pomen M
Upoštevana fizikalna količina določa sposobnost zunanje sile F, da izvaja rotacijski učinek na sistem. Če želite telo spraviti v rotacijsko gibanje, ga morate obvestiti o nekem trenutku M.
Odličen primer tega procesa je odpiranje ali zapiranje vrat v sobo. Oseba, ki drži ročaj, se potrudi in obrne vrata na tečajih. Vsakdo lahko to stori. Če poskušate odpreti vrata tako, da delujete nanje blizu tečajev, se boste morali zelo potruditi, da jih premaknete.
Drug primer je popuščanje matice s ključem. Krajši kot je ta ključ, težje je dokončati nalogo.
Navedene lastnosti so prikazane s formulo momenta sile čez ramo, ki je bila podana v prejšnjem odstavku. Če se M šteje za konstantno vrednost, potem je manjši d, večji F je treba uporabiti, da ustvarimo dani moment sile.
Več delujočih sil v sistemu
Zgoraj smo obravnavali primere, ko na sistem, ki se lahko vrti, deluje samo ena sila F, kaj pa, če je takšnih sil več? Dejansko je ta situacija pogostejša, saj lahko na sistem delujejo silerazlične narave (gravitacijske, električne, torne, mehanske in druge). V vseh teh primerih je dobljeni moment sile M¯ mogoče dobiti z uporabo vektorske vsote vseh momentov Mi¯, t.j.:
M¯=∑i(Mi¯), kjer je i število moči Fi
Iz lastnosti aditivnosti trenutkov sledi pomemben zaključek, ki se imenuje Varignonov izrek, poimenovan po matematiku s konca 17. - zgodnjega 18. stoletja - Francozu Pierru Varignonu. Piše: "Vsoto momentov vseh sil, ki delujejo na obravnavani sistem, lahko predstavimo kot moment ene sile, ki je enak vsoti vseh drugih in se uporablja za določeno točko." Matematično lahko izrek zapišemo takole:
∑i(Mi¯)=M¯=d∑i (Fi¯)
Ta pomemben izrek se v praksi pogosto uporablja za reševanje problemov pri rotaciji in ravnovesju teles.
Ali trenutek sile deluje?
Z analizo zgornjih formul v skalarni ali vektorski obliki lahko sklepamo, da je vrednost M nekaj dela. Dejansko je njegova dimenzija Nm, kar v SI ustreza joulu (J). Pravzaprav trenutek sile ni delo, ampak le količina, ki ga je sposobna izvesti. Da se to zgodi, je potrebno krožno gibanje v sistemu in dolgotrajno delovanje M. Zato je formula za delo momenta sile zapisana takole:
A=Mθ
BV tem izrazu je θ kot, skozi katerega se je zasukal moment sile M. Posledično lahko enoto dela zapišemo kot Nmrad ali Jrad. Na primer, vrednost 60 Jrad označuje, da je sila F, ki ustvari trenutek M, opravila 60 joulov, ko se zavrti za 1 radian (približno 1/3 kroga). Ta formula se pogosto uporablja pri reševanju problemov v sistemih, kjer delujejo sile trenja, kot bo prikazano spodaj.
Moment sile in moment zagona
Kot je prikazano, vpliv momenta M na sistem vodi do pojava rotacijskega gibanja v njem. Za slednje je značilna količina, imenovana "momentum". Lahko se izračuna po formuli:
L=Iω
Tukaj je I vztrajnostni moment (vrednost, ki igra enako vlogo pri vrtenju kot masa pri linearnem gibanju telesa), ω je kotna hitrost, povezana je z linearno hitrostjo s formulo ω=v/r.
Oba momenta (moment in sila) sta med seboj povezana z naslednjim izrazom:
M=Iα, kjer je α=dω / dt kotni pospešek.
Dajmo še eno formulo, ki je pomembna za reševanje problemov za delo momentov sil. S to formulo lahko izračunate kinetično energijo vrtečega se telesa. Izgleda takole:
Ek=1/2Iω2
V nadaljevanju predstavljamo dva problema z rešitvami, kjer pokažemo, kako uporabljati obravnavane fizične formule.
Ravnotežje več teles
Prva naloga je povezana z ravnotežjem sistema, v katerem deluje več sil. NaSpodnja slika prikazuje sistem, na katerega delujejo tri sile. Treba je izračunati, kakšno maso je treba predmet obesiti s tega vzvoda in na kateri točki je treba to narediti, da je ta sistem v ravnotežju.
Iz pogojev problema lahko razumemo, da je za njegovo rešitev potrebno uporabiti Varignonov izrek. Na prvi del težave je mogoče odgovoriti takoj, saj bo teža predmeta, ki ga obesite na vzvod:
P=F1 - F2 + F3=20 - 10 + 25=35 H
Znaki tukaj so izbrani ob upoštevanju, da sila, ki vrti ročico v nasprotni smeri urnega kazalca, ustvari negativni moment.
Položaj točke d, kjer naj bo ta teža obešena, se izračuna po formuli:
M1 - M2 + M3=dP=720 - 510 + 325=d35=> d=165/35=4, 714 m
Upoštevajte, da smo z uporabo formule za gravitacijski moment izračunali enakovredno vrednost M tiste, ki jo ustvarijo tri sile. Da bi bil sistem v ravnotežju, je treba na točki 4, 714 m od osi na drugi strani vzvoda obesiti telo, ki tehta 35 N.
Težava s premikanjem diska
Rešitev naslednjega problema temelji na uporabi formule za moment sile trenja in kinetično energijo vrtilnega telesa. Naloga: Podan je disk s polmerom r=0,3 metra, ki se vrti s hitrostjo ω=1 rad/s. Treba je izračunati, kako daleč lahko potuje po površini, če je koeficient kotalnega trenja Μ=0,001.
Ta problem je najlažje rešiti, če uporabite zakon o ohranjanju energije. Imamo začetno kinetično energijo diska. Ko se začne kotaliti, se vsa ta energija zaradi delovanja sile trenja porabi za segrevanje površine. Če izenačimo obe količini, dobimo izraz:
Iω2/2=ΜN/rrθ
Prvi del formule je kinetična energija diska. Drugi del je delo momenta sile trenja F=ΜN/r, ki se nanaša na rob diska (M=Fr).
Glede na to, da je N=mg in I=1/2mr2, izračunamo θ:
θ=mr2 ω2/(4Μmg)=r 2 ω2/(4Μ g)=0, 32 1 2/(40,0019,81)=2,29358 rad
Ker radiani 2pi ustrezajo dolžini 2pir, dobimo, da je zahtevana razdalja, ki jo bo disk pokril:
s=θr=2,293580,3=0,688 m ali približno 69 cm
Upoštevajte, da masa diska ne vpliva na ta rezultat.
