Za določitev vzporednosti in pravokotnosti ravnin ter za izračun razdalj med temi geometrijskimi predmeti je priročno uporabiti eno ali drugo vrsto numeričnih funkcij. Za katere težave je priročno uporabiti enačbo ravnine v segmentih? V tem članku si bomo ogledali, kaj je in kako ga uporabiti pri praktičnih nalogah.
Kaj je enačba v odsekih črt?
Ravnino lahko definiramo v 3D prostoru na več načinov. V tem članku bodo nekateri od njih podani ob reševanju problemov različnih vrst. Tukaj podajamo podroben opis enačbe v segmentih ravnine. Na splošno ima naslednjo obliko:
x/p + y/q + z/r=1.
Kjer simboli p, q, r označujejo nekatere specifične številke. To enačbo je mogoče enostavno prevesti v splošni izraz in v druge oblike številskih funkcij za ravnino.
Priročnost zapisovanja enačbe v segmentih je v tem, da vsebuje eksplicitne koordinate presečišča ravnine s pravokotnimi koordinatnimi osemi. Na osi xglede na izhodišče ravnina odreže odsek dolžine p, na osi y - enak q, na z - dolžine r.
Če ena od treh spremenljivk ni vključena v enačbo, to pomeni, da ravnina ne gre skozi ustrezno os (matematiki pravijo, da se križa v neskončnosti).
Naprej je nekaj težav, v katerih bomo pokazali, kako delati s to enačbo.
Komunikacija splošnega in v segmentih enačb
Vemo, da je ravnina podana z naslednjo enakostjo:
2x - 3y + z - 6=0.
To splošno enačbo ravnine je treba zapisati v segmentih.
Ko se pojavi podoben problem, se morate držati te tehnike: prosti člen prenesemo na desno stran enakosti. Nato celotno enačbo razdelimo na ta izraz in jo poskušamo izraziti v obliki, podani v prejšnjem odstavku. Imamo:
2x - 3y + z=6=>
2x/6 - 3y/6 + z/6=1=>
x/3 + y/(-2) + z/6=1.
V segmentih smo dobili enačbo ravnine, ki je bila na začetku podana v splošni obliki. Opazno je, da ravnina odreže segmente z dolžinami 3, 2 in 6 za osi x, y in z. Os y seka ravnino v negativnem koordinatnem območju.
Pri sestavljanju enačbe v segmentih je pomembno, da je pred vsemi spremenljivkami znak "+". Samo v tem primeru bo številka, s katero je ta spremenljivka deljena, pokazala odrezano koordinato na osi.
Normalni vektor in točka na ravnini
Vemo, da ima neka ravnina vektor smeri (3; 0; -1). Znano je tudi, da gre skozi točko (1; 1; 1). Za to ravnino napišite enačbo v segmentih.
Za rešitev tega problema morate najprej uporabiti splošno obliko za ta dvodimenzionalni geometrijski predmet. Splošna oblika je zapisana kot:
Ax + By + Cz + D=0.
Prvi trije koeficienti tukaj so koordinate vodilnega vektorja, ki je določen v izjavi problema, to je:
A=3;
B=0;
C=-1.
Še vedno je treba najti prosti izraz D. Določimo ga lahko z naslednjo formulo:
D=-1(Ax1+ By1+ Cz1).
Kjer vrednosti koordinat z indeksom 1 ustrezajo koordinatam točke, ki pripada ravnini. Njihove vrednosti nadomestimo iz pogoja problema, dobimo:
D=-1(31 + 01 + (-1)1)=-2.
Zdaj lahko napišete celotno enačbo:
3x - z - 2=0.
Tehnika za pretvorbo tega izraza v enačbo v segmentih ravnine je bila že prikazana zgoraj. Uporabi:
3x - z=2=>
x/(2/3) + z/(-2)=1.
Odgovor na težavo je bil prejet. Upoštevajte, da ta ravnina seka samo osi x in z. Za y je vzporedna.
Dve ravni črti, ki določata ravnino
Iz predmeta prostorska geometrija vsak študent ve, da dve poljubni premici enolično določata ravnino vtridimenzionalni prostor. Rešimo podoben problem.
Poznani sta dve enačbi vrstic:
(x; y; z)=(1; 0; 0) + α(2; -1; 0);
(x; y; z)=(1; -1; 0) + β(-1; 0; 1).
Potrebno je zapisati enačbo ravnine v segmentih, ki potekajo skozi te vrstice.
Ker morata obe premici ležati v ravnini, to pomeni, da morata biti njuna vektorja (vodila) pravokotna na vektor (vodilo) za ravnino. Hkrati je znano, da vektorski produkt poljubnih dveh usmerjenih segmentov daje rezultat v obliki koordinat tretjega, pravokotnega na dva prvotna. Glede na to lastnost dobimo koordinate vektorja, normalnega na želeno ravnino:
[(2; -1; 0)(-1; 0; 1)]=(-1; -2; -1).
Ker ga je mogoče pomnožiti s poljubnim številom, to tvori nov usmerjen odsek, vzporeden s prvotnim, lahko predznak dobljenih koordinat zamenjamo z nasprotnim (pomnožimo z -1), dobimo:
(1; 2; 1).
Vektor smeri poznamo. Ostaja še, da vzamemo poljubno točko ene od ravnih črt in sestavimo splošno enačbo ravnine:
A=1;
B=2;
C=1;
D=-1(11 + 20 + 30)=-1;
x + 2y + z -1=0.
Če to enakost prevedemo v izraz v segmentih, dobimo:
x + 2y + z=1=>
x/1 + y/(1/2) + z/1=1.
Tako ravnina seka vse tri osi v pozitivnem območju koordinatnega sistema.
Tri točke in ravnina
Tako kot dve ravni črti, tri točke enolično definirajo ravnino v tridimenzionalnem prostoru. Ustrezno enačbo zapišemo v segmentih, če so znane naslednje koordinate točk, ki ležijo v ravnini:
Q(1;-2;0);
P(2;-3;0);
M(4; 1; 0).
Naredimo naslednje: izračunajmo koordinate dveh poljubnih vektorjev, ki povezujeta ti točki, nato poiščemo vektor n¯ normalen na ravnino z izračunom produkta najdenih usmerjenih segmentov. Dobimo:
QP¯=P - Q=(1; -1; 0);
QM¯=M - Q=(2; 4; 0);
n¯=[QP¯QM¯]=[(1; -1; 0)(2; 4; 0)]=(0; 0; 6).
Za primer vzemite točko P, sestavite enačbo ravnine:
A=0;
B=0;
C=6;
D=-1(02 + 0(-3) + 60)=0;
6z=0 ali z=0.
Dobili smo preprost izraz, ki ustreza ravnini xy v danem pravokotnem koordinatnem sistemu. Ni ga mogoče zapisati v segmentih, saj osi x in y pripadata ravnini, dolžina odseka, odrezanega na osi z, pa je nič (točka (0; 0; 0) pripada ravnini).
