V matematiki obstaja koncept "množice", pa tudi primeri primerjave teh istih nizov med seboj. Imena vrst primerjave množic so naslednje besede: bijekcija, injekcija, surjekcija. Vsak od njih je podrobneje opisan spodaj.
Bijekcija je … kaj je to?
Ena skupina elementov prvega niza se ujema z drugo skupino elementov iz drugega niza v tej obliki: vsak element prve skupine se neposredno ujema z drugim enim elementom druge skupine in tam ni situacije s pomanjkanjem ali naštevanjem elementov katere koli ali iz dveh skupin množic.
Formulacija glavnih lastnosti:
- En element proti enemu.
- Pri ujemanju ni dodatnih elementov in prva lastnost je ohranjena.
- Preslikavo je mogoče obrniti, hkrati pa ohraniti splošni pogled.
- Bijekcija je funkcija, ki je injektivna in surjektivna.
Bijekcija z znanstvenega vidika
Bijektivne funkcije so točno izomorfizmi v kategoriji "množica in množica funkcij". Vendar bijekcije niso vedno izomorfizmi za bolj zapletene kategorije. Na primer, v določeni kategoriji skupin morajo biti morfizmi homomorfizmi, saj morajo ohraniti strukturo skupine. Zato so izomorfizmi skupinski izomorfizmi, ki so bijektivni homomorfizmi.
Koncept korespondence ena proti ena je posplošen na delne funkcije, kjer se imenujejo delne bijekcije, čeprav je delna bijekcija tisto, kar bi moralo biti injekcija. Razlog za to sprostitev je, da delna (pravilna) funkcija ni več definirana za del svoje domene. Tako ni utemeljenega razloga, da bi njegovo inverzno funkcijo omejili na popolno, torej definirano povsod v svoji domeni. Množica vseh delnih bijekcij na dano osnovno množico se imenuje simetrična inverzna polskupina.
Drug način definiranja istega koncepta: vredno je reči, da je delna bijekcija množic od A do B katera koli relacija R (delna funkcija) z lastnostjo, da je R bijekcijski graf f:A'→B ' kjer je A' podmnožica A in B' je podmnožica B.
Ko je delna bijekcija na istem nizu, se včasih imenuje delna transformacija ena proti ena. Primer je Möbiusova transformacija, pravkar definirana na kompleksni ravnini, ne pa njen zaključek v razširjeni kompleksni ravnini.
injekcija
Ena skupina elementov prvega niza se ujema z drugo skupino elementov iz drugega niza v tej obliki: vsak element prve skupine se ujema z drugim enim elementom drugega, vendar ne z vsemi se pretvorijo v pare. Število neparnih elementov je odvisno od razlike v številu prav teh elementov v vsaki od množic: če je ena množica sestavljena iz enaintridesetih elementov, druga pa ima še sedem, potem je število neparnih elementov sedem. Usmerjeno vbrizgavanje v komplet. Bijekcija in injekcija sta podobna, a nič več kot podobna.
Surjekcija
Ena skupina elementov prvega niza se ujema z drugo skupino elementov iz drugega niza na ta način: vsak element katere koli skupine tvori par, tudi če obstaja razlika med številom elementov. Iz tega sledi, da se lahko en element iz ene skupine seznani z več elementi iz druge skupine.
Niti bijektivna, niti injekcijska, niti surjektivna funkcija
To je funkcija bijektivne in surjektivne oblike, vendar s preostankom (neparno)=> injekcije. V takšni funkciji je očitno povezava med bijekcijo in surjekcijo, saj neposredno vključuje ti dve vrsti primerjav množic. Torej celota vseh vrst teh funkcij ni ena izmed njih v izolaciji.
Razlaga vseh vrst funkcij
Na primer, opazovalca očara naslednje. Obstajajo tekmovanja v lokostrelstvu. Vsak odudeleženec želi zadeti tarčo (za lažjo nalogo: ne upošteva se, kje točno zadene puščica). Samo trije udeleženci in tri tarče - to je prvo mesto (stran) za turnir. V naslednjih odsekih se število lokostrelcev ohrani, vendar se število tarč spremeni: na drugem - štiri tarče, na naslednjem - tudi štiri in na četrtem - pet. Vsak udeleženec strelja na vsako tarčo.
- Prvo prizorišče turnirja. Prvi lokostrelec zadene samo eno tarčo. Drugi zadene samo eno tarčo. Tretji se ponavlja za drugimi in vsi lokostrelci zadenejo različne tarče: tiste, ki so nasproti njih. Posledično je 1 (prvi lokostrelec) zadel tarčo (a), 2 - v (b), 3 - v (c). Opažena je naslednja odvisnost: 1 – (a), 2 – (b), 3 – (c). Zaključek bo sodba, da je taka primerjava množic bijekcija.
- Druga platforma za turnir. Prvi lokostrelec zadene samo eno tarčo. Drugi prav tako zadene samo eno tarčo. Tretji se res ne trudi in ponavlja vse za ostalimi, a pogoj je enak - vsi lokostrelci zadenejo različne tarče. Toda, kot smo že omenili, so na drugi platformi že štiri tarče. Odvisnost: 1 - (a), 2 - (b), 3 - (c), (d) - neparni element množice. V tem primeru bo sklep sodba, da je takšna primerjava nizov injekcija.
- Tretje prizorišče turnirja. Prvi lokostrelec zadene samo eno tarčo. Drugi spet zadene samo eno tarčo. Tretji se odloči zbrati in zadene tretjo in četrto tarčo. Posledično je odvisnost: 1 -(a), 2 - (b), 3 - (c), 3 - (d). Tu bo sklep sodba, da je takšna primerjava množic surjekcija.
- Četrta platforma za turnir. S prvim je že vse jasno, zadene le eno tarčo, v kateri kmalu ne bo prostora za že tako dolgočasne zadetke. Zdaj drugi prevzame vlogo še nedavnega tretjega in znova zadene samo eno tarčo, ponavlja se za prvo. Tretji se še naprej obvladuje in ne neha uvajati svoje puščice v tretjo in četrto tarčo. Peti pa je bil še vedno izven njegovega nadzora. Torej, odvisnost: 1 - (a), 2 - (b), 3 - (c), 3 - (d), (e) - neparni element niza ciljev. Zaključek: taka primerjava množic ni surjekcija, ne injekcija in ne bijekcija.
Zdaj sestavljanje bijekcije, injekcije ali surjekcije ne bo problem, pa tudi iskanje razlik med njimi.
