V tem članku je metoda obravnavana kot način reševanja sistemov linearnih enačb (SLAE). Metoda je analitična, to pomeni, da vam omogoča, da napišete splošen algoritem rešitve in nato tam nadomestite vrednosti iz posebnih primerov. Za razliko od matrične metode ali Cramerjevih formul lahko pri reševanju sistema linearnih enačb po Gaussovi metodi delate tudi s tistimi, ki imajo neskončno veliko rešitev. Ali pa ga sploh nimam.
Kaj pomeni reševanje z Gaussovo metodo?
Najprej moramo naš sistem enačb zapisati kot matriko. Izgleda takole. Sistem je vzet:
Koeficienti so zapisani v obliki tabele, na desni strani pa v ločenem stolpcu - prosti člani. Stolpec s prostimi členi je zaradi udobja ločen z navpično črto. Matrica, ki vključuje ta stolpec, se imenuje razširjena.
Naprej je treba glavno matriko s koeficienti zmanjšati na zgornjo trikotno obliko. To je glavna točka reševanja sistema po Gaussovi metodi. Preprosto povedano, po določenih manipulacijah bi morala matrika izgledati takole, tako da so v njenem spodnjem levem delu samo ničle:
Potem, če novo matriko znova zapišete kot sistem enačb, boste opazili, da zadnja vrstica že vsebuje vrednost enega od korenov, ki se nato nadomesti v zgornjo enačbo, najde se drug koren, in tako naprej.
To je opis Gaussove rešitve v najsplošnejših izrazih. In kaj se zgodi, če sistem nenadoma nima rešitve? Ali pa jih je neskončno število? Za odgovor na ta in mnoga druga vprašanja je treba ločeno upoštevati vse elemente, uporabljene v rešitvi po Gaussovi metodi.
Matrike, njihove lastnosti
V matriki ni skritega pomena. To je le priročen način za beleženje podatkov za kasnejše operacije. Tudi šolarji se jih ne bi smeli bati.
Matrika je vedno pravokotna, ker je bolj priročna. Tudi pri Gaussovi metodi, kjer se vse vrti v gradnjo trikotne matrike, se v vnosu pojavi pravokotnik, le z ničlami na mestu, kjer ni številk. Ničele je mogoče izpustiti, vendar so implicitne.
Matrika ima velikost. Njegova "širina" je število vrstic (m), njegova "dolžina" je število stolpcev (n). Potem bo velikost matrike A (za njihovo označevanje se običajno uporabljajo velike latinične črke) označena kot Am×n. Če je m=n, potem je ta matrika kvadratna inm=n - njegov vrstni red. V skladu s tem lahko kateri koli element matrike A označimo s številko njegove vrstice in stolpca: axy; x - številka vrstice, sprememba [1, m], y - številka stolpca, sprememba [1, n].
Pri Gaussovi metodi matrice niso glavna točka rešitve. Načeloma je mogoče vse operacije izvajati neposredno s samimi enačbami, vendar bo zapis veliko bolj okoren in v njem se boste veliko lažje zmedli.
Kvalifikacije
Matrika ima tudi determinanto. To je zelo pomembna lastnost. Ugotoviti njegov pomen zdaj ni vredno, lahko preprosto pokažete, kako se izračuna, in nato poveste, katere lastnosti matrike določa. Najlažji način za iskanje determinante je preko diagonal. V matrici so narisane namišljene diagonale; elementi, ki se nahajajo na vsakem od njih, se pomnožijo, nato pa se dodajo nastali produkti: diagonale z naklonom v desno - z znakom "plus", z naklonom v levo - z znakom "minus".
Izjemno pomembno je omeniti, da je determinanto mogoče izračunati samo za kvadratno matriko. Za pravokotno matriko lahko naredite naslednje: izberete najmanjše število vrstic in število stolpcev (naj bo k), nato pa naključno označite k stolpcev in k vrstic v matriki. Elementi, ki se nahajajo na presečišču izbranih stolpcev in vrstic, bodo tvorili novo kvadratno matriko. Če je determinanta takšne matrike število, ki ni nič, se bo imenovala osnovni minor prvotne pravokotne matrike.
Predkako začeti reševati sistem enačb po Gaussovi metodi, ne škodi izračunati determinante. Če se izkaže, da je nič, potem lahko takoj rečemo, da ima matrika bodisi neskončno število rešitev ali pa jih sploh ni. V tako žalostnem primeru morate iti dlje in se pozanimati o rangu matrike.
Klasifikacija sistemov
Obstaja taka stvar, kot je rang matrike. To je največji vrstni red njene determinante, ki ni nič (če se spomnimo osnovnega minora, lahko rečemo, da je rang matrike vrstni red osnovnega minora).
Kako so stvari z rangom, lahko POČASNO razdelimo na:
- Joint. Pri skupnih sistemih rang glavne matrike (sestavljene samo iz koeficientov) sovpada z rangom razširjene (s stolpcem prostih členov). Takšni sistemi imajo rešitev, a ne nujno eno, zato so sklepni sistemi dodatno razdeljeni na:
- - določeno - ima edinstveno rešitev. V nekaterih sistemih sta rang matrike in število neznank enaka (ali število stolpcev, kar je isto);
- - nedoločen - z neskončnim številom rešitev. Uvrstitev matrik v takih sistemih je manjša od števila neznank.
- Nezdružljivo. Za takšne sisteme se uvrstitve glavne in razširjene matrike ne ujemajo. Nezdružljivi sistemi nimajo rešitve.
Gaussova metoda je dobra, ker vam omogoča, da pridobite bodisi nedvoumen dokaz o neskladnosti sistema (brez izračunavanja determinant velikih matrik) bodisi splošno rešitev za sistem z neskončnim številom rešitev.
Elementarne transformacije
PredKako nadaljevati neposredno z rešitvijo sistema, jo lahko naredite manj okornega in bolj priročnega za izračune. To dosežemo z elementarnimi transformacijami – tako, da njihova izvedba nikakor ne spremeni končnega odgovora. Opozoriti je treba, da nekatere od zgornjih elementarnih transformacij veljajo le za matrike, katerih vir je bil prav SLAE. Tukaj je seznam teh transformacij:
- Spremeni nize. Očitno je, da če spremenimo vrstni red enačb v sistemskem zapisu, potem to nikakor ne bo vplivalo na rešitev. Zato je možno tudi zamenjati vrstice v matriki tega sistema, pri čemer seveda ne pozabimo na stolpec prostih članov.
- Množenje vseh elementov niza z nekim faktorjem. Zelo uporabno! Z njim lahko zmanjšate velika števila v matriki ali odstranite ničle. Nabor rešitev se kot običajno ne bo spremenil in postalo bo bolj priročno izvajati nadaljnje operacije. Glavna stvar je, da koeficient ne sme biti enak nič.
- Izbriši vrstice s proporcionalnimi koeficienti. To deloma izhaja iz prejšnjega odstavka. Če imata dve ali več vrstic v matriki sorazmerne koeficiente, potem pri množenju / deljenju ene od vrstic s koeficientom sorazmernosti dobimo dve (ali spet več) popolnoma enaki vrstici, odvečne pa lahko odstranite in pustite le ena.
- Izbriši ničelno vrstico. Če se med transformacijami nekje dobi niz, v katerem so vsi elementi, vključno s prostim članom, enaki nič, potem lahko tak niz imenujemo nič in ga vržemo iz matrike.
- Dodajanje elementom ene vrstice elementov druge (v skladu zustrezne stolpce), pomnoženo z nekim koeficientom. Najbolj nejasna in najpomembnejša transformacija od vseh. O tem se je vredno podrobneje posvetiti.
Dodajanje niza, pomnoženega s faktorjem
Za lažje razumevanje je vredno razstaviti ta postopek korak za korakom. Dve vrstici sta vzeti iz matrike:
a11 a12 … a1n | b1
a21 a22 … a2n | b2
Recimo, da morate k drugemu dodati prvega, pomnoženega s koeficientom "-2".
a'21 =a21 + -2×a11
a'22 =a22 + -2×a12
a'2n =a2n + -2×a1n
Potem se druga vrstica v matriki nadomesti z novo, prva pa ostane nespremenjena.
a11 a12 … a1n | b1
a'21 a'22 … a'2n | b2
Upoštevati je treba, da je faktor množenja mogoče izbrati tako, da je zaradi seštevanja dveh nizov eden od elementov novega niza enak nič. Zato je v sistemu mogoče dobiti enačbo, kjer bo ena neznanka manj. In če dobite dve takšni enačbi, potem lahko operacijo izvedete znova in dobite enačbo, ki bo že vsebovala dve neznanki manj. In če se vsakič obrnemo na nič en koeficient za vse vrstice, ki so nižje od prvotne, potem se lahko kot koraki spustimo na sam dno matrike in dobimo enačbo z eno neznano. To se imenujereši sistem z Gaussovo metodo.
Na splošno
Naj obstaja sistem. Ima m enačb in n neznanih korenin. Lahko ga napišete takole:
Glavna matrika je sestavljena iz koeficientov sistema. Stolpec prostih članov je dodan v razširjeno matriko in ločen s črto zaradi udobja.
Naprej:
- prva vrstica matrike se pomnoži s koeficientom k=(-a21/a11);
- dodani sta prva spremenjena vrstica in druga vrstica matrike;
- namesto druge vrstice se v matriko vstavi rezultat dodatka iz prejšnjega odstavka;
- zdaj je prvi koeficient v novi drugi vrstici a11 × (-a21/a11) + a21 =-a21 + a21=0.
Zdaj se izvede enaka serija transformacij, vključeni sta le prva in tretja vrstica. V skladu s tem se v vsakem koraku algoritma element a21 nadomesti z a31. Nato se vse ponovi za a41, … am1. Rezultat je matrika, kjer je prvi element v vrsticah [2, m] enak nič. Zdaj morate pozabiti na vrstico številka ena in izvesti isti algoritem, začenši z drugo vrstico:
- k koeficient=(-a32/a22);
- druga spremenjena vrstica je dodana "trenutni" vrstici;
- rezultat seštevanja se nadomesti v tretjo, četrto in tako naprej vrstico, medtem ko prva in druga ostaneta nespremenjena;
- v vrsticah [3, m] matrike sta prva dva elementa že enaka nič.
Algoritem je treba ponavljati, dokler se ne prikaže koeficient k=(-am, m-1/amm). To pomeni, da je bil algoritem nazadnje zagnan samo za spodnjo enačbo. Zdaj je matrica videti kot trikotnik ali ima stopničasto obliko. Spodnja vrstica vsebuje enačbo amn × x =bm. Koeficient in prosti izraz sta znana, koren pa je izražen preko njih: x =bm/amn. Nastali koren se nadomesti v zgornjo vrstico, da najdemo xn-1=(bm-1 - am-1, n×(bm/amn))÷am-1, n-1. In tako naprej po analogiji: v vsaki naslednji vrstici je nov koren in ko dosežemo "vrh" sistema, lahko najdemo nabor rešitev [x1, … x ]. To bo edini.
Ko ni rešitev
Če so v eni od vrstic matrike vsi elementi, razen prostega člena, enaki nič, potem je enačba, ki ustreza tej vrstici, videti kot 0=b. Nima rešitve. In ker je takšna enačba vključena v sistem, je množica rešitev celotnega sistema prazna, torej je degenerirana.
Ko obstaja neskončno število rešitev
Lahko se izkaže, da v reducirani trikotni matriki ni vrstic z enim elementom - koeficientom enačbe in enim - prostim členom. Obstajajo samo nizi, ki bi bili ob prepisu videti kot enačba z dvema ali več spremenljivkami. To pomeni, da ima sistem neskončno število rešitev. V tem primeru je odgovor lahko podan v obliki splošne rešitve. Kako to storiti?
Vsespremenljivke v matriki delimo na osnovne in proste. Osnovni - to so tisti, ki stojijo "na robu" vrstic v stopničasti matriki. Ostali so brezplačni. V splošni rešitvi so osnovne spremenljivke zapisane v terminih prostih.
Za udobje se matrika najprej prepiše nazaj v sistem enačb. Nato v zadnjem od njih, kjer je ostala natanko ena osnovna spremenljivka, ostane na eni strani, vse ostalo pa se prenese na drugo. To se naredi za vsako enačbo z eno osnovno spremenljivko. Nato se v preostalih enačbah, kjer je mogoče, namesto osnovne spremenljivke nadomesti z njo pridobljenim izrazom. Če je rezultat spet izraz, ki vsebuje samo eno osnovno spremenljivko, se od tam ponovno izrazi in tako naprej, dokler se vsaka osnovna spremenljivka ne zapiše kot izraz s prostimi spremenljivkami. To je splošna rešitev za SLAE.
Lahko najdete tudi osnovno rešitev sistema - dajte prostim spremenljivkam poljubne vrednosti in nato izračunajte vrednosti osnovnih spremenljivk za ta konkretni primer. Obstaja neskončno veliko posebnih rešitev.
Rešitev s posebnimi primeri
Tu je sistem enačb.
Za udobje je bolje, da matriko naredite takoj
Vemo, da pri reševanju po Gaussovi metodi enačba, ki ustreza prvi vrstici, ostane na koncu transformacij nespremenjena. Zato bo bolj donosno, če je zgornji levi element matrike najmanjši - potem prvi elementipreostale vrstice po operacijah se bodo spremenile v nič. To pomeni, da bo v prevedeni matriki koristno postaviti drugo vrstico namesto prve.
Naprej morate spremeniti drugo in tretjo vrstico, tako da prvi elementi postanejo nič. Če želite to narediti, jih dodajte prvemu, pomnoženo s koeficientom:
druga vrstica: k=(-a21/a11)=(-3/1)=-3
a'21 =a21 + k×a11=3 + (-3)×1=0
a'22 =a22 + k×a12 =-1 + (- 3)×2=-7
a'23 =a23 + k×a13 =1 + (-3)×4=-11
b'2 =b2 + k×b1=12 + (-3)×12=-24
tretja vrstica: k=(-a31/a11)=(- 5/1)=-5
a'31 =a31+ k×a11=5 + (-5)×1=0
a'32 =a32+ k×a12 =1 + (-5)×2=-9
a'33 =a33 + k×a13 =2 + (-5)×4=-18
b'3=b3 + k×b1=3 + (-5)×12=-57
Zdaj, da se ne bi zmedli, morate napisati matriko z vmesnimi rezultati transformacij.
Očitno je takšno matriko mogoče narediti bolj berljivo s pomočjo nekaterih operacij. Na primer, lahko odstranite vse "minuse" iz druge vrstice tako, da vsak element pomnožite z "-1".
Omeniti velja tudi, da so v tretji vrstici vsi elementi večkratniki treh. Potem lahkoodrežite niz s to številko in vsak element pomnožite z "-1/3" (minus - hkrati, da odstranite negativne vrednosti).
Izgleda veliko lepše. Zdaj moramo prvo vrstico pustiti pri miru in delati z drugo in tretjo. Naloga je dodati drugo vrstico tretji vrstici, pomnoženo s takim faktorjem, da element a32 postane nič.
k=(-a32/a22)=(-3/7)=-3/7 (če med nekaterimi transformacijami če se izkazalo, da odgovor ni celo število, ga je priporočljivo pustiti "tako kot je", v obliki navadnega ulomka in šele nato, ko so odgovori prejeti, se odločiti, ali zaokrožiti in pretvoriti v drugo obliko zapis)
a'32=a32 + k×a22=3 + (-3 /7)×7=3 + (-3)=0
a'33=a33 + k×a23=6 + (-3 /7)×11=-9/7
b'3 =b3 + k×b2=19 + (-3 /7)×24=-61/7
Matrika je ponovno zapisana z novimi vrednostmi.
| 1 | 2 | 4 | 12 |
| 0 | 7 | 11 | 24 |
| 0 | 0 | -9/7 | -61/7 |
Kot vidite, ima nastala matrika že stopničasto obliko. Zato nadaljnje transformacije sistema po Gaussovi metodi niso potrebne. Tukaj je mogoče odstraniti skupni koeficient "-1/7" iz tretje vrstice.
Zdaj vsilepo Bistvo je majhno - ponovno napišite matriko v obliki sistema enačb in izračunajte korenine
x + 2y + 4z=12 (1)
7y + 11z=24 (2)
9z=61 (3)
Algoritem, po katerem bodo zdaj najdene korenine, se v Gaussovi metodi imenuje obratna poteza. Enačba (3) vsebuje vrednost z:
z=61/9
Naprej se vrnite na drugo enačbo:
y=(24 - 11×(61/9))/7=-65/9
In prva enačba vam omogoča, da najdete x:
x=(12 - 4z - 2y)/1=12 - 4×(61/9) - 2×(-65/9)=-6/9=-2/3
Imamo pravico, da tak sistem imenujemo skupen, in celo določen, torej da ima edinstveno rešitev. Odgovor je napisan v naslednji obliki:
x1=-2/3, y=-65/9, z=61/9.
Primer nedoločenega sistema
Analizirana je varianta reševanja določenega sistema po Gaussovi metodi, zdaj je treba upoštevati primer, če je sistem nedoločen, se pravi, da je zanj mogoče najti neskončno veliko rešitev.
x1 + x2 + x3 + x 4+ x5=7 (1)
3x1 + 2x2 + x3 + x 4 - 3x5=-2 (2)
x2 + 2x3 + 2x4 + 6x 5 =23 (3)
5x1 + 4x2 + 3x3 + 3x 4 - x5=12 (4)
Sama oblika sistema je že alarmantna, saj je število neznank n=5, rang sistemske matrike pa je že natanko manjši od tega števila, ker je število vrstic m=4, to je največji vrstni red kvadratne determinante 4. Torej,Rešitev je neskončno in iskati moramo njeno splošno obliko. Gaussova metoda za linearne enačbe vam omogoča to.
Najprej se kot običajno prevede razširjena matrika.
Druga vrstica: koeficient k=(-a21/a11)=-3. V tretji vrstici je prvi element pred transformacijami, tako da se vam ni treba ničesar dotikati, pustite ga takšnega, kot je. Četrta vrstica: k=(-a41/a11)=-5
Če elemente prve vrstice pomnožimo z vsakim od njihovih koeficientov in jih dodamo zahtevanim vrsticam, dobimo matriko naslednje oblike:
Kot vidite, so druga, tretja in četrta vrstica sestavljene iz elementov, sorazmernih drug drugemu. Drugi in četrti sta na splošno enaki, tako da lahko eno od njiju takoj odstranite, ostalo pa pomnožite s koeficientom "-1" in dobite številko vrstice 3. In spet pustite eno od dveh enakih vrstic.
Rezultat je taka matrika. Sistem še ni zapisan, tukaj je treba določiti osnovne spremenljivke - stoje pri koeficientih a11=1 in a22=1, in brezplačno - vse ostalo.
V drugi enačbi je samo ena osnovna spremenljivka - x2. Zato ga lahko od tam izrazimo tako, da zapišemo skozi spremenljivke x3, x4, x5, ki so brezplačni.
Dobljeni izraz nadomestite v prvo enačbo.
Izkazala se je enačba, v kateriedina osnovna spremenljivka je x1. Z njim naredimo enako kot z x2.
Vse osnovne spremenljivke, od katerih sta dve, so izražene s tremi prostimi, zdaj lahko odgovor zapišete v splošni obliki.
Določite lahko tudi eno od posebnih rešitev sistema. V takih primerih so praviloma ničle izbrane kot vrednosti prostih spremenljivk. Potem bo odgovor:
-16, 23, 0, 0, 0.
Primer nedoslednega sistema
Rešitev nekonsistentnih sistemov enačb po Gaussovi metodi je najhitrejša. Konča se takoj, ko na eni od stopenj dobimo enačbo, ki nima rešitve. To pomeni, da faza z izračunom korenin, ki je precej dolga in žalostna, izgine. Upošteva se naslednji sistem:
x + y - z=0 (1)
2x - y - z=-2 (2)
4x + y - 3z=5 (3)
Kot običajno je matrika sestavljena:
| 1 | 1 | -1 | 0 |
| 2 | -1 | -1 | -2 |
| 4 | 1 | -3 | 5 |
In zmanjšano na stopničasto obliko:
k1 =-2k2 =-4
| 1 | 1 | -1 | 0 |
| 0 | -3 | 1 | -2 |
| 0 | 0 | 0 | 7 |
Po prvi transformaciji tretja vrstica vsebuje enačbo v obliki
0=7, brez rešitve. Zato sistemje nedosleden in odgovor je prazen niz.
Prednosti in slabosti metode
Če izberete metodo za reševanje SLAE na papirju s peresom, potem je metoda, ki je bila obravnavana v tem članku, videti najbolj privlačna. Pri elementarnih transformacijah se je veliko težje zmotiti, kot se zgodi, če morate ročno iskati determinanto ali kakšno zapleteno inverzno matriko. Če pa uporabljate programe za delo s podatki te vrste, na primer s preglednicami, se izkaže, da takšni programi že vsebujejo algoritme za izračun glavnih parametrov matrik - determinanta, manjše, inverzne in transponirane matrike itd.. In če ste prepričani, da bo stroj sam izračunal te vrednosti in se ne bo zmotil, je bolj smotrno uporabiti matrično metodo ali Cramerjeve formule, saj se njihova uporaba začne in konča z izračunom determinant in inverznih matrik.
Prijava
Ker je Gaussova rešitev algoritem, matrika pa je pravzaprav dvodimenzionalni niz, se lahko uporablja pri programiranju. Ker pa se članek postavlja kot vodnik "za lutke", je treba povedati, da je metodo najlažje postaviti v preglednice, na primer Excel. Tudi v Excelu bo vsak SLAE, vpisan v tabelo v obliki matrike, obravnavan kot dvodimenzionalni niz. In za operacije z njimi je veliko lepih ukazov: seštevanje (dodate lahko samo matrike enake velikosti!), Množenje s številom, množenje matrik (tudi zdoločene omejitve), iskanje inverzne in transponirane matrike ter, kar je najpomembneje, izračun determinante. Če to zamudno nalogo nadomesti en sam ukaz, je veliko hitreje določiti rang matrike in s tem ugotoviti njeno združljivost ali nedoslednost.
