Ena najtežjih in nerazumljivih tem univerzitetne matematike je integracija in diferencialni račun. Te koncepte morate poznati in razumeti ter jih znati uporabiti. Številne univerzitetne tehnične discipline so vezane na diferenciale in integrale.
Kratke informacije o enačbah
Te enačbe so eden najpomembnejših matematičnih konceptov v izobraževalnem sistemu. Diferencialna enačba je enačba, ki povezuje neodvisne spremenljivke, funkcijo, ki jo je treba najti, in izpeljanke te funkcije s spremenljivkami, za katere se domneva, da so neodvisne. Diferencialni račun za iskanje funkcije ene spremenljivke se imenuje navaden. Če je želena funkcija odvisna od več spremenljivk, potem govorimo o delni diferencialni enačbi.
Pravzaprav je iskanje določenega odgovora na enačbo povezano z integracijo, metoda rešitve pa je določena z vrsto enačbe.
enačbe prvega reda
Diferencialna enačba prvega reda je enačba, ki lahko opiše spremenljivko, želeno funkcijo in njen prvi izvod. Takšne enačbe so lahko podane v treh oblikah: eksplicitna, implicitna, diferencialna.
Koncepti, potrebni za rešitev
Začetni pogoj - nastavitev vrednosti želene funkcije za dano vrednost spremenljivke, ki je neodvisna.
Rešitev diferencialne enačbe - katera koli diferenciabilna funkcija, natančno substituirana v prvotno enačbo, jo spremeni v identično enako. Dobljena rešitev, ki ni eksplicitna, je integral enačbe.
Splošna rešitev diferencialnih enačb je funkcija y=y(x;C), ki lahko izpolni naslednje sodbe:
- Funkcija ima lahko samo eno poljubno konstanto С.
- Nastala funkcija mora biti rešitev enačbe za poljubne vrednosti poljubne konstante.
- Z danim začetnim pogojem je poljubno konstanto mogoče definirati na edinstven način, tako da bo končna določena rešitev skladna z danim zgodnjim začetnim pogojem.
V praksi se pogosto uporablja Cauchyjev problem - iskanje posebne rešitve in jo je mogoče primerjati s pogojem, ki je nastavljen na začetku.
Cauchyjev izrek je izrek, ki poudarja obstoj in edinstvenost določene rešitve v diferencialnem računu.
geometrijski smisel:
- Splošna rešitev y=y(x;C)enačba je skupno število integralnih krivulj.
- Diferencialni račun vam omogoča, da povežete koordinate točke v ravnini XOY in tangento, narisano na integralno krivuljo.
- Nastavitev začetnega pogoja pomeni postavitev točke na ravnini.
- Rešitev Cauchyjevega problema pomeni, da je treba iz celotnega niza integralnih krivulj, ki predstavljajo isto rešitev enačbe, izbrati edino, ki poteka skozi edino možno točko.
- Izpolnitev pogojev Cauchyjevega izreka v točki pomeni, da integralna krivulja (poleg tega samo ena) nujno poteka skozi izbrano točko v ravnini.
enačba ločljive spremenljivke
Po definiciji je diferencialna enačba enačba, pri kateri njena desna stran opisuje ali se odraža kot produkt (včasih razmerje) dveh funkcij, od katerih je ena odvisna samo od "x", druga pa samo od "y". ". Jasen primer te vrste: y'=f1(x)f2(y).
Za reševanje enačb določene oblike morate najprej transformirati izpeljanko y'=dy/dx. Nato jo morate z manipulacijo enačbe spraviti v obliko, v kateri lahko integrirate oba dela enačbe. Po potrebnih transformacijah integriramo oba dela in poenostavimo rezultat.
Homogene enačbe
Po definiciji lahko diferencialno enačbo imenujemo homogeno, če ima naslednjo obliko: y'=g(y/x).
V tem primeru se najpogosteje uporablja zamenjava y/x=t(x).
Za reševanje takšnih enačb je potrebno homogeno enačbo reducirati na obliko z ločljivimi spremenljivkami. Če želite to narediti, morate izvesti naslednje operacije:
- Prikaži izpeljanko prvotne funkcije iz katere koli prvotne funkcije kot nova enačba.
- Naslednji korak je pretvorba nastale funkcije v obliko f(x;y)=g(y/x). Z enostavnejšimi besedami naj enačba vsebuje samo razmerje y/x in konstante.
- Naredite naslednjo zamenjavo: y/x=t(x); y=t(x)x; y'=t'x + t. Izvedena zamenjava bo pomagala razdeliti spremenljivke v enačbi in jo postopoma spraviti v enostavnejšo obliko.
linearne enačbe
Definicija takšnih enačb je naslednja: linearna diferencialna enačba je enačba, kjer je njena desna stran izražena kot linearni izraz glede na prvotno funkcijo. Želena funkcija v tem primeru: y'=a(x)y + b(x).
Preoblikujemo definicijo na naslednji način: vsaka enačba 1. reda bo postala linearna v svoji obliki, če sta prvotna funkcija in njen izvod vključeni v enačbo prve stopnje in se ne pomnožita med seboj. "Klasična oblika" linearne diferencialne enačbe ima naslednjo strukturo: y' + P(x)y=Q(x).
Preden rešite takšno enačbo, jo je treba pretvoriti v "klasično obliko". Naslednji korak bo izbira metode rešitve: Bernoullijeva metoda ali Lagrangeova metoda.
Reševanje enačbe zz uporabo metode, ki jo je uvedel Bernoulli, pomeni zamenjavo in redukcijo linearne diferencialne enačbe na dve enačbi z ločenimi spremenljivkami glede na funkciji U(x) in V(x), ki sta bili podani v izvirni obliki.
Lagrangeova metoda je iskanje splošne rešitve prvotne enačbe.
- Poiskati je treba isto rešitev homogene enačbe. Po iskanju imamo funkcijo y=y(x, C), kjer je C poljubna konstanta.
- Iščemo rešitev za prvotno enačbo v enaki obliki, vendar upoštevamo C=C(x). V prvotno enačbo nadomestimo funkcijo y=y(x, C(x)), poiščemo funkcijo C(x) in zapišemo rešitev splošne izvirne enačbe.
Bernoullijeva enačba
Bernoullijeva enačba - če ima desna stran računa obliko f(x;y)=a(x)y + b(x)yk, kjer je k katera koli možna racionalna številčna vrednost, ki ne velja za primer primerov, ko je k=0 in k=1.
Če je k=1, postane račun ločljiv, in ko je k=0, enačba ostane linearna.
Razmislimo o splošnem primeru reševanja te vrste enačb. Imamo standardno Bernoullijevo enačbo. Zmanjšati ga je treba na linearno, za to morate enačbo deliti z yk. Po tej operaciji zamenjajte z(x)=y1-k. Po seriji transformacij se enačba zmanjša na linearno, najpogosteje z metodo substitucije z=UV.
enačbe v skupnih razlikah
Definicija. Enačba s strukturo P(x;y)dx + Q(x;y)dy=0 se imenuje enačba v celotidiferenciali, če je izpolnjen naslednji pogoj (v tem pogoju je "d" delni diferencial): dP(x;y)/dy=dQ(x;y)/dx.
Vse prej obravnavane diferencialne enačbe prvega reda se lahko prikažejo kot diferenciale.
Takšni izračuni se rešujejo na več načinov. Vendar pa se vsi začnejo s preverjanjem stanja. Če je pogoj izpolnjen, je skrajno levo območje enačbe skupni diferencial še neznane funkcije U(x;y). Potem bo v skladu z enačbo dU (x; y) enak nič, zato bo enak integral enačbe v skupnih diferencialih prikazan v obliki U (x; y) u003d C. rešitev enačbe se zmanjša na iskanje funkcije U (x; y).
Integracijski faktor
Če pogoj dP(x;y)/dy=dQ(x;y)/dx v enačbi ni izpolnjen, potem enačba nima oblike, ki smo jo obravnavali zgoraj. Toda včasih je mogoče izbrati neko funkcijo M(x;y), pomnoženo s katero dobi enačba obliko enačbe v polnih "diffurs". Funkcija M (x;y) se imenuje integracijski faktor.
Integrator je mogoče najti samo, če postane funkcija samo ene spremenljivke.
