Pravo znanje je ves čas temeljilo na vzpostavljanju vzorca in dokazovanju njegove resničnosti v določenih okoliščinah. Za tako dolgo obdobje obstoja logičnega sklepanja so bile podane formulacije pravil in Aristotel je sestavil celo seznam »pravilnih sklepanja«. Zgodovinsko gledano je običajno, da vse sklepe razdelimo na dve vrsti - od konkretnega do množine (indukcija) in obratno (dedukcija). Treba je opozoriti, da vrste dokazov od posebnega do splošnega in od splošnega do posebnega obstajajo le v povezavi in jih ni mogoče zamenjati.
Uvod v matematiko
Izraz "indukcija" (indukcija) ima latinske korenine in se dobesedno prevaja kot "vodenje". Ob natančnejšem preučevanju lahko ločimo strukturo besede, in sicer latinsko predpono - in- (označuje usmerjeno delovanje navznoter ali bivanje znotraj) in -dukcija - uvod. Omeniti velja, da obstajata dve vrsti - popolna in nepopolna indukcija. Za celotno obliko so značilni zaključki, pridobljeni iz študija vseh predmetov določenega razreda.
Nepopoln - zaključki,velja za vse predmete v razredu, vendar na podlagi preučevanja le nekaterih enot.
Popolna matematična indukcija - sklep, ki temelji na splošnem zaključku o celotnem razredu vseh predmetov, ki so funkcionalno povezani z razmerji naravnih vrst števil na podlagi poznavanja te funkcionalne povezave. V tem primeru dokazni postopek poteka v treh fazah:
- na prvem je dokazana pravilnost trditve matematične indukcije. Primer: f=1, to je osnova indukcije;
- Naslednja stopnja temelji na predpostavki, da je položaj veljaven za vsa naravna števila. To pomeni, da je f=h, to je indukcijska hipoteza;
- na tretji stopnji se dokaže veljavnost položaja za število f=h+1 na podlagi pravilnosti položaja prejšnjega odstavka - to je indukcijski prehod ali korak matematične indukcije. Primer je tako imenovano "domino načelo": če prva kost v vrsti pade (osnova), potem padejo vsi kamni v vrsti (prehod).
šaljivo in resno
Za lažje zaznavanje so primeri rešitev po metodi matematične indukcije označeni kot problemi za šalo. To je naloga vljudne čakalne vrste:
Pravila vedenja moškemu prepovedujejo, da se obrne pred žensko (v taki situaciji jo pustijo pred seboj). Na podlagi te izjave, če je zadnji v vrsti moški, potem so vsi ostali moški
Presenetljiv primer metode matematične indukcije je problem "Brezdimenzijski let":
To je potrebno dokazati vminibus je primeren za poljubno število ljudi. Res je, da se v transport lahko brez težav (osnova) spravi ena oseba. Toda ne glede na to, kako poln je minibus, bo vanj vedno šel 1 potnik (stopnja uvajanja)
Znani krogi
Primeri reševanja problemov in enačb z matematično indukcijo so precej pogosti. Kot ponazoritev tega pristopa razmislite o naslednjem problemu.
Pogoj: na ravnini je h krogov. Treba je dokazati, da je za vsako razporeditev figur zemljevid, ki ga tvorijo, mogoče pravilno obarvati z dvema barvama.
Odločitev: za h=1 je resnica izjave očitna, zato bo dokaz zgrajen za število krogov h+1.
Predpostavimo, da trditev velja za kateri koli zemljevid, na ravnini pa so podani krogi h+1. Če iz vsote odstranite enega od krogov, lahko dobite zemljevid, ki je pravilno obarvan z dvema barvama (črno in belo).
Pri obnovi izbrisanega kroga se barva vsakega območja spremeni v nasprotno (v tem primeru znotraj kroga). Rezultat je zemljevid, pravilno obarvan z dvema barvama, kar je bilo potrebno dokazati.
Primeri z naravnimi števili
Uporaba metode matematične indukcije je prikazana spodaj.
Primeri rešitve:
Dokaži, da bo za kateri koli h enakost pravilna:
12+22+32+…+h 2=h(h+1)(2h+1)/6.
Rešitev:
1. Naj je h=1, potem:
R1=12=1(1+1)(2+1)/6=1
Iz tega sledi, da je za h=1 trditev pravilna.
2. Ob predpostavki h=d je enačba:
R1=d2=d(d+1)(2d+1)/6=1
3. Ob predpostavki, da je h=d+1, se izkaže:
Rd+1=(d+1) (d+2) (2d+3)/6
Rd+1=12+22+3 2+…+d2+(d+1)2=d(d+1)(2d+1))/6+ (d+1)2=(d(d+1)(2d+1)+6(d+1)2 )/6=(d+1)(d(2d+1)+6(k+1))/6=
(d+1)(2d2+7d+6)/6=(d+1)(2(d+3/2)(d+2))/6=(d+1)(d+2)(2d+3)/6.
Tako je veljavnost enakosti za h=d+1 dokazana, zato trditev velja za vsako naravno število, kar je prikazano na primeru rešitve z matematično indukcijo.
Naloga
Pogoj: potreben je dokaz, da je za katero koli vrednost h izraz 7h-1 deljiv s 6 brez ostanka.
Rešitev:
1. Recimo h=1, v tem primeru:
R1=71-1=6 (tj. deljivo s 6 brez ostanka)
Zato je za h=1 trditev resnična;
2. Naj bo h=d in 7d-1 je deljivo s 6 brez ostanka;
3. Dokaz veljavnosti izjave za h=d+1 je formula:
Rd+1=7d+1 -1=7∙7d-7+6=7(7d-1)+6
V tem primeru je prvi člen deljiv s 6 glede na predpostavko prvega odstavka, drugi paizraz je 6. Trditev, da je 7h-1 deljivo s 6 brez ostanka za kateri koli naravni h, drži.
Lažna sodba
Pogosto se pri dokazih uporablja napačno sklepanje zaradi netočnosti uporabljenih logičnih konstrukcij. V bistvu se to zgodi, ko sta struktura in logika dokaza kršeni. Primer napačnega sklepanja je naslednja ilustracija.
Naloga
Pogoj: potreben je dokaz, da kateri koli kup kamenja ni kup.
Rešitev:
1. Recimo h=1, v tem primeru je na kupu 1 kamen in trditev je resnična (osnova);
2. Naj velja za h=d, da kup kamenja ni kup (predpostavka);
3. Naj bo h=d+1, iz česar sledi, da ko dodamo še en kamen, niz ne bo kup. Sklep se sam namiguje, da predpostavka velja za vse naravne h.
Napaka je v tem, da ni definicije, koliko kamnov tvori kup. Takšna opustitev se v metodi matematične indukcije imenuje prenagljeno posploševanje. Primer to jasno kaže.
Indukcija in zakoni logike
V preteklosti so primeri indukcije in odbitka vedno z roko v roki. Znanstvene discipline, kot so logika, filozofija, jih opisujejo kot nasprotja.
Z vidika zakona logike induktivne definicije temeljijo na dejstvih in resničnost premise ne določa pravilnosti nastale izjave. Pogosto pridobljenasklepi z določeno mero verjetnosti in verodostojnosti, ki jih je seveda treba preveriti in potrditi z dodatnimi raziskavami. Primer indukcije v logiki bi bil stavek:
Suša v Estoniji, suha v Latviji, suha v Litvi.
Estonija, Latvija in Litva so b altske države. Suša v vseh b altskih državah.
Iz primera lahko sklepamo, da novih informacij ali resnice ni mogoče pridobiti z metodo indukcije. Vse, na kar lahko računate, je nekaj možne verodostojnosti sklepov. Poleg tega resničnost predpostavk ne zagotavlja enakih zaključkov. Vendar to dejstvo ne pomeni, da indukcija vegetira na dvorišču odbitka: ogromno določb in znanstvenih zakonov je utemeljeno z metodo indukcije. Matematika, biologija in druge vede so lahko primer. To je večinoma posledica metode popolne indukcije, v nekaterih primerih pa je uporabna tudi delna.
Častitljiva doba indukcije ji je omogočila, da je prodrla na skoraj vsa področja človeške dejavnosti - to so znanost, ekonomija in vsakdanji zaključki.
Uvajanje v znanstveno okolje
Metoda indukcije zahteva natančen odnos, saj je preveč odvisno od števila preučenih podrobnosti celote: večje kot je preučevano število, bolj zanesljiv je rezultat. Na podlagi te lastnosti se znanstveni zakoni, pridobljeni z indukcijo, dolgo časa testirajo na ravni verjetnostnih predpostavk, da se izolirajo in preučijo vse možnestrukturni elementi, povezave in vplivi.
V znanosti induktivni zaključek temelji na pomembnih značilnostih, z izjemo naključnih določil. To dejstvo je pomembno v povezavi s posebnostmi znanstvenih spoznanj. To se jasno vidi na primerih indukcije v znanosti.
V znanstvenem svetu obstajata dve vrsti indukcije (v povezavi z načinom študija):
- indukcijska izbira (ali izbor);
- indukcija - izključitev (eliminacija).
Za prvo vrsto je značilno metodično (natančno) vzorčenje razreda (podrazredov) z njegovih različnih področij.
Primer te vrste indukcije je naslednji: srebro (ali srebrove soli) čisti vodo. Zaključek temelji na dolgoletnih opazovanjih (nekakšen izbor potrditev in oporekanj – izbor).
Druga vrsta indukcije temelji na sklepih, ki vzpostavljajo vzročne zveze in izključujejo okoliščine, ki ne ustrezajo njenim lastnostim, in sicer univerzalnosti, upoštevanju časovnega zaporedja, nujnosti in nedvoumnosti.
Indukcija in dedukcija s stališča filozofije
Če pogledate zgodovinsko retrospektivo, je izraz "indukcija" prvi omenil Sokrat. Aristotel je primere indukcije v filozofiji opisal v bolj približnem terminološkem slovarju, a vprašanje nepopolne indukcije ostaja odprto. Po preganjanju aristotelovskega silogizma se je induktivna metoda začela prepoznavati kot plodna in edina možna v naravoslovju. Bacon velja za očeta indukcije kot samostojne posebne metode, vendar mu ni uspelo ločiti,kot so zahtevali sodobniki, indukcija iz deduktivne metode.
Nadaljnji razvoj indukcije je opravil J. Mill, ki je indukcijsko teorijo obravnaval s stališča štirih glavnih metod: dogovora, razlike, ostankov in ustreznih sprememb. Ni presenetljivo, da so danes naštete metode, če jih podrobno preučimo, deduktivne.
Zavedanje neuspeha Baconovih in Millovih teorij je pripeljalo znanstvenike do raziskovanja verjetnostne osnove indukcije. Vendar pa je bilo tudi tu nekaj skrajnosti: poskušali so zmanjšati indukcijo v teorijo verjetnosti z vsemi iz tega izhajajočimi posledicami.
Indukcija prejme glas zaupnice pri praktični uporabi na določenih predmetnih področjih in zaradi metrične natančnosti induktivne osnove. Kot primer indukcije in dedukcije v filozofiji lahko štejemo zakon univerzalne gravitacije. Na dan odkritja zakona ga je Newton lahko preveril s štiriodstotno natančnostjo. In pri testiranju po več kot dvesto letih je bila pravilnost potrjena z natančnostjo 0,0001 odstotka, čeprav je bil test izveden z enakimi induktivnimi posplošitvami.
Sodobna filozofija posveča več pozornosti dedukciji, ki jo narekuje logična želja po pridobivanju novega znanja (ali resnice) iz že znanega, ne da bi se zatekli k izkušnjam, intuiciji, ampak z uporabo »čistega« sklepanja. Ko se nanašamo na resnične premise v deduktivni metodi, je v vseh primerih izhod resnična izjava.
Ta zelo pomembna lastnost ne sme zasenčiti vrednosti induktivne metode. Od indukcije, ki se zanaša na dosežke izkušenj,postane tudi sredstvo za njegovo obdelavo (vključno s posploševanjem in sistematizacijo).
Uporaba indukcije v ekonomiji
Indukcija in dedukcija se že dolgo uporabljata kot metodi preučevanja gospodarstva in napovedovanja njegovega razvoja.
Obseg uporabe indukcijske metode je precej širok: študija izpolnjevanja kazalnikov napovedi (dobiček, amortizacija itd.) in splošna ocena stanja podjetja; oblikovanje učinkovite politike promocije podjetij, ki temelji na dejstvih in njihovih odnosih.
Ista metoda indukcije je uporabljena v Shewhartovih grafikonih, kjer je ob predpostavki, da so procesi razdeljeni na nadzorovane in neupravljane, navedeno, da je okvir nadzorovanega procesa neaktiven.
Opozoriti je treba, da so znanstveni zakoni utemeljeni in potrjeni z uporabo metode indukcije, in ker je ekonomija znanost, ki pogosto uporablja matematične analize, teorijo tveganja in statistične podatke, ni presenetljivo, da je indukcija vključena v seznam glavnih metod.
Naslednja situacija lahko služi kot primer indukcije in dedukcije v ekonomiji. Zvišanje cen hrane (iz potrošniške košarice) in osnovnih dobrin potiska potrošnika k razmišljanju o nastajajočih visokih stroških v državi (indukcija). Hkrati je iz dejstva visokih stroškov z matematičnimi metodami mogoče izpeljati kazalnike zvišanja cen za posamezno blago ali kategorije blaga (odbitek).
Najpogosteje se vodstveno osebje, menedžerji in ekonomisti sklicujejo na indukcijsko metodo. Da bibilo je mogoče z zadostno resničnostjo predvideti razvoj podjetja, obnašanje trga, posledice konkurence, potreben je induktivno-deduktiven pristop k analizi in obdelavi informacij.
Ilustrativen primer indukcije v ekonomiji v zvezi z napačnimi sodbami:
-
dobiček podjetja se je zmanjšal za 30 %;
konkurent širi linijo izdelkov;
nič drugega se ni spremenilo;
- proizvodna politika konkurenta je povzročila 30-odstotno zmanjšanje dobička;
- zato je treba izvajati isto proizvodno politiko.
Primer je barvita ponazoritev, kako nesposobna uporaba metode indukcije prispeva k propadu podjetja.
Odbitek in indukcija v psihologiji
Ker obstaja metoda, potem logično obstaja tudi pravilno organizirano razmišljanje (uporaba metode). Psihologija kot znanost, ki preučuje duševne procese, njihovo nastajanje, razvoj, odnose, interakcije, posveča pozornost »deduktivnemu« razmišljanju kot eni od oblik manifestacije dedukcije in indukcije. Žal na straneh psihologije na internetu praktično ni opravičila za celovitost deduktivno-induktivne metode. Čeprav se poklicni psihologi pogosteje srečujejo z manifestacijami indukcije, oziroma z napačnimi sklepi.
Primer indukcije v psihologiji, kot ponazoritev napačnih sodb, je trditev: moja mama je prevarantka, zato so vse ženske prevarantke. Iz življenja se lahko naučite še več "napačnih" primerov indukcije:
- učenec ni sposoben ničesar, če je prejel dvojko iz matematike;
- on je norec;
- pameten je;
- lahko naredim karkoli;
- in številne druge vrednostne sodbe, ki temeljijo na popolnoma naključnih in včasih nepomembnih sporočilih.
Opozoriti je treba: ko zmota človekovih sodb doseže točko absurda, je za psihoterapevta fronta dela. En primer uvajanja pri specialistu:
»Pacient je popolnoma prepričan, da rdeča barva zanj predstavlja samo nevarnost v kakršnih koli manifestacijah. Posledično je človek to barvno shemo izključil iz svojega življenja - kolikor je mogoče. V domačem okolju je veliko možnosti za udobno bivanje. Vse rdeče predmete lahko zavrnete ali jih zamenjate z analogi, izdelanimi v drugi barvni shemi. Toda na javnih mestih, v službi, v trgovini - to je nemogoče. Ko pride v stresno situacijo, pacient vsakič doživi "plimo" popolnoma drugačnih čustvenih stanj, ki so lahko nevarna za druge."
Ta primer indukcije in nezavedno se imenuje "fiksne ideje". Če se to zgodi duševno zdravemu človeku, lahko govorimo o neorganiziranosti duševne dejavnosti. Elementarni razvoj deduktivnega mišljenja lahko postane način, kako se znebiti obsesivnih stanj. V drugih primerih s takšnimi bolniki delajo psihiatri.
Zgornji primeri indukcije kažejo, da »nepoznavanje zakona neosvobaja posledic (napačne sodbe).«
Psihologi, ki se ukvarjajo s temo deduktivnega sklepanja, so sestavili seznam priporočil, namenjenih ljudem, da obvladajo to metodo.
Prva točka je reševanje težav. Kot je razvidno, lahko obliko indukcije, ki se uporablja v matematiki, štejemo za "klasično", uporaba te metode pa prispeva k "disciplini" uma.
Naslednji pogoj za razvoj deduktivnega mišljenja je širjenje obzorij (tisti, ki razmišljajo jasno, jasno povedo). To priporočilo usmerja "prizadete" v zakladnice znanosti in informacij (knjižnice, spletna mesta, izobraževalne pobude, potovanja itd.).
Naslednje priporočilo je natančnost. Navsezadnje je iz primerov uporabe indukcijskih metod jasno razvidno, da je v mnogih pogledih jamstvo za resničnost izjav.
Niso zaobšli prožnosti uma, kar pomeni možnost uporabe različnih načinov in pristopov pri reševanju problema, pa tudi upoštevanje variabilnosti razvoja dogodkov.
In seveda opazovanje, ki je glavni vir empiričnih izkušenj.
Posebno je treba omeniti tako imenovano "psihološko indukcijo". Ta izraz, čeprav redko, je mogoče najti na internetu. Vsi viri ne dajejo vsaj kratke formulacije definicije tega pojma, temveč se sklicujejo na "primere iz življenja", pri čemer predstavljajo bodisi sugestijo bodisi nekatere oblike duševne bolezni kot novo vrsto indukcije,To so skrajna stanja človeške psihe. Iz vsega zgoraj navedenega je jasno, da poskus izpeljave »novega izraza«, ki temelji na napačnih (pogosto neresničnih) predpostavkah, obsoja eksperimentatorja na napačno (ali prenagljeno) izjavo.
Opozoriti je treba, da sklicevanje na poskuse iz leta 1960 (brez navedbe kraja, imen eksperimentatorjev, vzorca subjektov in, kar je najpomembneje, namena eksperimenta) izgleda milo rečeno, neprepričljivo, in trditev, da možgani zaznavajo informacijo mimo vseh organov zaznave (besedna zveza »je prizadet« bi se v tem primeru bolj organsko prilegala), daje misliti na lahkovernost in nekritičnost avtorja izjave.
Namesto zaključka
Kraljica znanosti - matematika, zavestno uporablja vse možne rezerve metode indukcije in dedukcije. Obravnavani primeri nam omogočajo sklepanje, da površna in nesposobna (kot pravijo nepremišljena) uporaba tudi najbolj natančnih in zanesljivih metod vedno vodi do napačnih rezultatov.
V množični zavesti je metoda dedukcije povezana s slavnim Sherlockom Holmesom, ki v svojih logičnih konstrukcijah pogosto uporablja primere indukcije, pri čemer uporablja dedukcijo v nujnih situacijah.
Članek je obravnaval primere uporabe teh metod v različnih znanostih in sferah človeškega življenja.
