Mislim, da bi morali začeti z zgodovino tako veličastnega matematičnega orodja, kot so diferencialne enačbe. Kot ves diferencialni in integralni račun, je te enačbe izumil Newton ob koncu 17. stoletja. Prav to svoje odkritje se mu je zdelo tako pomembno, da je sporočilo celo šifriral, ki ga danes lahko prevedemo nekako takole: "Vse zakone narave opisujemo z diferencialnimi enačbami." To se morda zdi pretiravanje, vendar je res. Vsak zakon fizike, kemije, biologije je mogoče opisati s temi enačbami.
Matematika Euler in Lagrange sta veliko prispevala k razvoju in ustvarjanju teorije diferencialnih enačb. Že v 18. stoletju so odkrili in razvili to, kar zdaj študirajo na višjih tečajih univerz.
Nov mejnik v študiju diferencialnih enačb se je začel zahvaljujoč Henriju Poincareju. Ustvaril je "kvalitativno teorijo diferencialnih enačb", ki je v kombinaciji s teorijo funkcij kompleksne spremenljivke pomembno prispevala k temelju topologije - znanosti o prostoru in njegovemlastnosti.
Kaj so diferencialne enačbe?
Mnogi ljudje se bojijo ene fraze "diferencialna enačba". Vendar pa bomo v tem članku podrobno opisali celotno bistvo tega zelo uporabnega matematičnega aparata, ki pravzaprav ni tako zapleten, kot se zdi iz imena. Če želite začeti govoriti o diferencialnih enačbah prvega reda, se morate najprej seznaniti z osnovnimi koncepti, ki so sami po sebi povezani s to definicijo. In začeli bomo z diferencialom.
diferencial
Mnogi poznajo ta koncept iz šole. Vendar pa si ga poglejmo podrobneje. Predstavljajte si graf funkcije. Povečamo jo lahko do te mere, da bo kateri koli njen odsek dobil obliko ravne črte. Na njej vzamemo dve točki, ki sta si neskončno blizu. Razlika med njihovimi koordinatami (x ali y) bo neskončno majhna vrednost. Imenuje se diferencial in je označen z znakoma dy (diferenciala od y) in dx (diferenciala od x). Zelo pomembno je razumeti, da diferencial ni končna vrednost, in to je njegov pomen in glavna funkcija.
In zdaj moramo razmisliti o naslednjem elementu, ki nam bo koristen pri razlagi koncepta diferencialne enačbe. To je izpeljanka.
Izvedeni finančni instrument
Verjetno smo vsi slišali v šoli in ta koncept. Izpeljanka naj bi bila stopnja rasti ali zmanjšanja funkcije. Vendar pa iz te definicijemarsikaj postane nejasno. Poskusimo razložiti izpeljanko v smislu diferencialov. Vrnimo se k neskončno majhnemu segmentu funkcije z dvema točkama, ki sta med seboj najmanj oddaljeni. Toda tudi za to razdaljo se funkcija uspe spremeniti za določeno količino. In za opis te spremembe so pripravili izpeljanko, ki jo sicer lahko zapišemo kot razmerje diferencialov: f(x)'=df/dx.
Sedaj je vredno razmisliti o osnovnih lastnostih izpeljanke. Samo trije so:
- Izpeljanka vsote ali razlike je lahko predstavljena kot vsota ali razlika izpeljank: (a+b)'=a'+b' in (a-b)'=a'-b'.
- Druga lastnost je povezana z množenjem. Izvod produkta je vsota produktov ene funkcije in izpeljanke druge: (ab)'=a'b+ab'.
- Izpeljanko razlike lahko zapišemo kot naslednjo enakost: (a/b)'=(a'b-ab')/b2.
Vse te lastnosti bodo uporabne za iskanje rešitev za diferencialne enačbe prvega reda.
Obstajajo tudi delne izpeljanke. Recimo, da imamo funkcijo z, ki je odvisna od spremenljivk x in y. Za izračun delnega odvoda te funkcije, recimo glede na x, moramo spremenljivko y vzeti kot konstanto in jo preprosto diferencirati.
Integralni
Drug pomemben koncept je integral. Pravzaprav je to neposredno nasprotje izpeljanke. Obstaja več vrst integralov, vendar za reševanje najpreprostejših diferencialnih enačb potrebujemo najbolj trivialne nedoločene integrale.
Kaj je torej integral? Recimo, da imamo neko odvisnost fod x. Iz nje vzamemo integral in dobimo funkcijo F (x) (pogosto imenovano antiderivat), katere izvod je enak izvirni funkciji. Tako je F(x)'=f(x). Iz tega tudi sledi, da je integral izvoda enak izvirni funkciji.
Pri reševanju diferencialnih enačb je zelo pomembno razumeti pomen in funkcijo integrala, saj jih boste morali zelo pogosto jemati, da boste našli rešitev.
Enačbe se razlikujejo glede na njihovo naravo. V naslednjem razdelku bomo obravnavali vrste diferencialnih enačb prvega reda in se nato naučili, kako jih rešiti.
Razredi diferencialnih enačb
"Diffury" so razdeljeni glede na vrstni red izvedenih finančnih instrumentov, ki so vključeni v njih. Tako obstajajo prvi, drugi, tretji in več vrstni red. Lahko jih razdelimo tudi v več razredov: navadne in delne izpeljanke.
V tem članku bomo obravnavali navadne diferencialne enačbe prvega reda. V naslednjih razdelkih bomo obravnavali tudi primere in načine za njihovo reševanje. Upoštevali bomo samo ODE, ker so to najpogostejše vrste enačb. Navadne so razdeljene na podvrste: z ločljivimi spremenljivkami, homogene in heterogene. Nato boste izvedeli, kako se med seboj razlikujejo, in se naučili, kako jih rešiti.
Poleg tega je mogoče te enačbe kombinirati, tako da potem dobimo sistem diferencialnih enačb prvega reda. Razmislili bomo tudi o takšnih sistemih in se naučili, kako jih rešiti.
Zakaj upoštevamo samo prvo naročilo? Ker morate začeti s preprostim in opisati vse, kar je povezano z diferencialomenačb, v enem članku preprosto nemogoče.
enočbe ločljivih spremenljivk
To so morda najpreprostejše diferencialne enačbe prvega reda. Sem spadajo primeri, ki jih lahko zapišemo takole: y'=f(x)f(y). Za rešitev te enačbe potrebujemo formulo za predstavitev izpeljanke kot razmerje diferencialov: y'=dy/dx. Z njegovo uporabo dobimo naslednjo enačbo: dy/dx=f(x)f(y). Zdaj se lahko obrnemo na metodo za reševanje standardnih primerov: spremenljivke bomo razdelili na dele, torej vse s spremenljivko y bomo prenesli na del, kjer se nahaja dy, enako bomo storili s spremenljivko x. Dobimo enačbo oblike: dy/f(y)=f(x)dx, ki jo rešimo tako, da vzamemo integrale obeh delov. Ne pozabite na konstanto, ki jo je treba nastaviti po vzetju integrala.
Rešitev kakršne koli "difurance" je funkcija odvisnosti x od y (v našem primeru) ali, če obstaja številčni pogoj, potem je odgovor v obliki števila. Analizirajmo celoten potek rešitve na konkretnem primeru:
y'=2ysin(x)
Premikanje spremenljivk v različnih smereh:
dy/y=2sin(x)dx
Sedaj vzamemo integrale. Vse jih najdete v posebni tabeli integralov. In dobimo:
ln(y)=-2cos(x) + C
Če je potrebno, lahko izrazimo "y" kot funkcijo "x". Zdaj lahko rečemo, da je naša diferencialna enačba rešena, če ni podan noben pogoj. Pogoj je mogoče dati, na primer, y(n/2)=e. Nato preprosto nadomestimo vrednost teh spremenljivk v rešitev inpoiščite vrednost konstante. V našem primeru je enako 1.
Homogene diferencialne enačbe prvega reda
Zdaj na težji del. Homogene diferencialne enačbe prvega reda lahko v splošni obliki zapišemo takole: y'=z(x, y). Opozoriti je treba, da je desna funkcija dveh spremenljivk homogena in je ni mogoče razdeliti na dve odvisnosti: z od x in z od y. Preverjanje, ali je enačba homogena ali ne, je precej preprosto: naredimo substitucijo x=kx in y=ky. Zdaj prekličemo vse k. Če se vse te črke zmanjšajo, je enačba homogena in jo lahko varno nadaljujete z reševanjem. Če pogledamo naprej, recimo: princip reševanja teh primerov je tudi zelo preprost.
Narediti moramo zamenjavo: y=t(x)x, kjer je t neka funkcija, ki je odvisna tudi od x. Nato lahko izpeljanko izrazimo: y'=t'(x)x+t. Če vse to nadomestimo v prvotno enačbo in jo poenostavimo, dobimo primer z ločljivima spremenljivkama t in x. Rešimo jo in dobimo odvisnost t(x). Ko ga dobimo, preprosto nadomestimo y=t(x)x v našo prejšnjo zamenjavo. Potem dobimo odvisnost y od x.
Da bo bolj jasno, si oglejmo primer: xy'=y-xey/x.
Pri preverjanju z zamenjavo se vse zmanjša. Torej je enačba res homogena. Zdaj naredimo še eno zamenjavo, o kateri smo govorili: y=t(x)x in y'=t'(x)x+t(x). Po poenostavitvi dobimo naslednjo enačbo: t'(x)x=-et. Nastali primer rešimo z ločenimi spremenljivkami in dobimo: e-t=ln(Cx). Samo t moramo zamenjati z y/x (navsezadnje, če je y=tx, potem t=y/x) in dobimoodgovor: e-y/x=ln(xC).
Linearne diferencialne enačbe prvega reda
Čas je za še eno veliko temo. Analizirali bomo nehomogene diferencialne enačbe prvega reda. V čem se razlikujejo od prejšnjih dveh? Ugotovimo. Linearne diferencialne enačbe prvega reda v splošni obliki lahko zapišemo takole: y' + g(x)y=z(x). Vredno je pojasniti, da sta z(x) in g(x) lahko konstanti.
In zdaj primer: y' - yx=x2.
Obstajata dva načina za rešitev in oba bomo obravnavali po vrstnem redu. Prva je metoda variacije poljubnih konstant.
Če želite enačbo rešiti na ta način, morate najprej enačiti desno stran z ničlo in rešiti nastalo enačbo, ki bo po premikanju delov dobila obliko:
y'=yx;
dy/dx=yx;
dy/y=xdx;
ln|y|=x2/2 + C;
y=ex2/2yC=C1ex2/2.
Zdaj moramo zamenjati konstanto C1 s funkcijo v(x), ki jo moramo najti.
y=vex2/2.
Spremenimo izpeljanko:
y'=v'ex2/2-xvex2/2.
In nadomestite te izraze v izvirno enačbo:
v'ex2/2 - xvex2/2 + xvex2 /2 =x2.
Na levi strani lahko vidite, da se dva izraza preklicata. Če se v nekem primeru to ni zgodilo, ste naredili nekaj narobe. Nadaljuj:
v'ex2/2 =x2.
Sedaj rešimo običajno enačbo, v kateri moramo ločiti spremenljivke:
dv/dx=x2/ex2/2;
dv=x2e-x2/2dx.
Za ekstrakcijo integrala moramo tukaj uporabiti integracijo po delih. Vendar to ni tema našega članka. Če vas zanima, se lahko naučite, kako izvajati taka dejanja sami. Ni težko in z zadostno spretnostjo in pozornostjo ne vzame veliko časa.
Obrnimo se na drugo metodo reševanja nehomogenih enačb: Bernoullijevo metodo. Kateri pristop je hitrejši in lažji, je odvisno od vas.
Torej, ko rešujemo enačbo s to metodo, moramo narediti zamenjavo: y=kn. Tukaj sta k in n nekaj funkcij, odvisnih od x. Potem bo izpeljanka videti takole: y'=k'n+kn'. Zamenjaj obe substituciji v enačbo:
k'n+kn'+xkn=x2.
skupina:
k'n+k(n'+xn)=x2.
Zdaj moramo izenačiti z nič tisto, kar je v oklepajih. Zdaj, če združite obe dobljeni enačbi, dobite sistem diferencialnih enačb prvega reda, ki jih morate rešiti:
n'+xn=0;
k'n=x2.
Prva enačba je rešena kot običajna enačba. Če želite to narediti, morate ločiti spremenljivke:
dn/dx=xv;
dn/n=xdx.
Vzemite integral in dobite: ln(n)=x2/2. Potem, če izrazimo n:
n=ex2/2.
Zdaj nadomestimo dobljeno enakost v drugo enačbo sistema:
k'ex2/2=x2.
In s preoblikovanjem dobimo enako enakost kot pri prvi metodi:
dk=x2/ex2/2.
Tudi v nadaljnje korake ne bomo šli. Velja reči, da sprva rešitev diferencialnih enačb prvega reda povzroča velike težave. Vendar, ko se poglobite v temo, postaja vse boljše in boljše.
Kje se uporabljajo diferencialne enačbe?
Diferencialne enačbe se v fiziki zelo aktivno uporabljajo, saj so skoraj vsi osnovni zakoni zapisani v diferencialni obliki, formule, ki jih vidimo, pa so rešitve teh enačb. V kemiji se uporabljajo iz istega razloga: iz njih izhajajo osnovni zakoni. V biologiji se diferencialne enačbe uporabljajo za modeliranje obnašanja sistemov, kot je plenilec-plen. Uporabljajo se lahko tudi za ustvarjanje modelov razmnoževanja, recimo, kolonije mikroorganizmov.
Kako bodo diferencialne enačbe pomagale v življenju?
Odgovor na to vprašanje je preprost: nikakor. Če niste znanstvenik ali inženir, vam verjetno ne bodo koristili. Vendar pa za splošni razvoj ne škodi vedeti, kaj je diferencialna enačba in kako se rešuje. In potem vprašanje sina ali hčerke "kaj je diferencialna enačba?" vas ne bo zmedlo. No, če ste znanstvenik ali inženir, potem tudi sami razumete pomen te teme v kateri koli znanosti. Toda najpomembnejše je, da je zdaj vprašanje "kako rešiti diferencialno enačbo prvega reda?" vedno lahko odgovoriš. Strinjam se, vedno je lepoko razumeš, kar se ljudje celo bojijo razumeti.
Glavne učne težave
Glavni problem pri razumevanju te teme je slaba spretnost integracije in razlikovanja funkcij. Če ste slabi pri jemanju izpeljank in integralov, potem bi se verjetno morali naučiti več, obvladati različne metode integracije in diferenciacije in šele nato začeti preučevati snov, ki je bila opisana v članku.
Nekateri so presenečeni, ko ugotovijo, da je dx mogoče prenesti, saj je bilo prej (v šoli) navedeno, da je ulomek dy/dx nedeljiv. Tukaj morate prebrati literaturo o izpeljanki in razumeti, da je pri reševanju enačb mogoče manipulirati z razmerjem neskončno majhnih količin.
Mnogi se ne zavedajo takoj, da je rešitev diferencialnih enačb prvega reda pogosto funkcija ali integral, ki ga ni mogoče vzeti, in ta zabloda jim povzroča veliko težav.
Kaj je še mogoče preučiti za boljše razumevanje?
Nadaljnje potopitev v svet diferencialnega računa je najbolje začeti s specializiranimi učbeniki, na primer v račun za študente nematematičnih specialnosti. Nato lahko preidete na bolj specializirano literaturo.
Treba je povedati, da poleg diferencialnih enačb obstajajo tudi integralne enačbe, tako da boste vedno imeli za kaj težiti in kaj študirati.
Sklep
Upamo, da po branjuTa članek vam je dal idejo o tem, kaj so diferencialne enačbe in kako jih pravilno rešiti.
V vsakem primeru nam bo matematika nekako koristila v življenju. Razvija logiko in pozornost, brez katerih je vsak človek kot brez rok.
