Matrike: Gaussova metoda. Izračun Gaussove matrike: Primeri

2024 Avtor: Angel Austin | [email protected]. Nazadnje spremenjeno: 2023-12-17 05:41

Linearna algebra, ki jo poučujejo na univerzah na različnih specialnostih, združuje številne kompleksne teme. Nekatere so povezane z matrikami, pa tudi z reševanjem sistemov linearnih enačb po Gaussovi in Gauss-Jordanovi metodi. Vsem študentom ne uspe razumeti teh tem, algoritmov za reševanje različnih problemov. Skupaj razumejmo matrike in metode Gaussa in Gauss-Jordana.

Osnovni koncepti

Matrika v linearni algebri je pravokoten niz elementov (tabela). Spodaj so nabori elementov, zaprtih v oklepajih. To so matrice. Iz zgornjega primera je razvidno, da elementi v pravokotnih nizih niso samo števila. Matrica je lahko sestavljena iz matematičnih funkcij, algebrskih simbolov.

Da bi razumeli nekatere koncepte, naredimo matriko A iz elementov a_ij. Indeksi niso samo črke: i je številka vrstice v tabeli, j pa številka stolpca, na območju katerega presečišče se nahaja elementa_ij. Torej vidimo, da imamo matriko elementov, kot so a₁₁, a₂₁, a₁₂, a ₂₂ itd. Črka n označuje število stolpcev, črka m pa število vrstic. Simbol m × n označuje dimenzijo matrike. To je koncept, ki določa število vrstic in stolpcev v pravokotnem nizu elementov.

Izbirno mora imeti matrika več stolpcev in vrstic. Z dimenzijo 1 × n je matrika elementov enovrstična, z dimenzijo m × 1 pa matrika z enim stolpcem. Ko sta število vrstic in število stolpcev enako, se matrika imenuje kvadratna. Vsaka kvadratna matrika ima determinanto (det A). Ta izraz se nanaša na številko, ki je dodeljena matriki A.

Še nekaj pomembnih konceptov, ki si jih morate zapomniti za uspešno reševanje matrik, so glavna in sekundarna diagonala. Glavna diagonala matrike je diagonala, ki se iz zgornjega levega kota spušča v desni kot mize. Stranska diagonala gre v desni kot navzgor od levega kota od spodaj.

postopni matrični pogled

Oglejte si spodnjo sliko. Na njem boste videli matriko in diagram. Najprej se posvetimo matriki. V linearni algebri se matrika te vrste imenuje matrika korakov. Ima eno lastnost: če je a_ij prvi neničelni element v i-ti vrstici, potem vsi drugi elementi iz matrike spodaj in levo od a_ij , so nični (tj. vsi tisti elementi, ki jim je mogoče dati črkovno oznako a_kl, kjer je k>i inl<j).

Sedaj razmislite o diagramu. Odraža stopničasto obliko matrice. Shema prikazuje 3 vrste celic. Vsaka vrsta označuje določene elemente:

• prazne celice - nič elementov matrike;
• zasenčene celice so poljubni elementi, ki so lahko nič in nič;
• črni kvadrati so elementi, ki niso nič, ki se imenujejo vogalni elementi, "koraki" (v matriki, ki je prikazana poleg njih, so takšni elementi številke –1, 5, 3, 8).

Pri reševanju matrik je včasih rezultat, da je "dolžina" koraka večja od 1. To je dovoljeno. Pomembna je le "višina" stopnic. V matriki korakov mora biti ta parameter vedno enak eni.

Zmanjšanje matrike v obliko korakov

Vsako pravokotno matriko je mogoče pretvoriti v stopničasto obliko. To se naredi z osnovnimi transformacijami. Vključujejo:

• preureditev strun;
• Dodajanje druge vrstice v eno vrstico, če je potrebno, pomnoženo z neko številko (lahko izvedete tudi operacijo odštevanja).

Razmislimo o elementarnih transformacijah pri reševanju določenega problema. Spodnja slika prikazuje matriko A, ki jo je treba zmanjšati na stopničasto obliko.

Za rešitev težave bomo sledili algoritmu:

• Priročno je izvajati transformacije na matriki zprvi element v zgornjem levem kotu (tj. "vodilni" element) je 1 ali -1. V našem primeru je prvi element v zgornji vrstici 2, zato zamenjajmo prvo in drugo vrstico.
• Izvajajmo operacije odštevanja, ki vplivajo na vrstice 2, 3 in 4. V prvem stolpcu pod "glavnim" elementom bi morali dobiti ničle. Da bi dosegli ta rezultat: od elementov vrstice št. 2 zaporedno odštejemo elemente vrstice št. 1, pomnožene z 2; od elementov vrstice št. 3 zaporedno odštejemo elemente vrstice št. 1, pomnožene s 4; od elementov vrstice št. 4 zaporedno odštejemo elemente vrstice št. 1.
• Naprej bomo delali z okrnjeno matriko (brez stolpca 1 in brez vrstice 1). Novi "vodilni" element, ki stoji na presečišču drugega stolpca in druge vrstice, je enak -1. Vrstic ni treba preurejati, zato brez sprememb prepišemo prvi stolpec ter prvo in drugo vrstico. Izvajajmo operacije odštevanja, da dobimo ničle v drugem stolpcu pod "vodilnim" elementom: od elementov tretje vrstice zaporedno odštejemo elemente druge vrstice, pomnožene s 3; od elementov četrte vrstice odštejte elemente druge vrstice, pomnožene z 2.
• Zadnjo vrstico je še treba spremeniti. Od njegovih elementov zaporedoma odštejemo elemente tretje vrstice. Tako smo dobili stopničasto matriko.

Redukcija matrik na stopničasto obliko se uporablja pri reševanju sistemov linearnih enačb (SLE) po Gaussovi metodi. Preden pogledamo to metodo, poglejmo nekaj izrazov, povezanih s SLN.

Matrike in sistemi linearnih enačb

Matrike se uporabljajo v različnih znanostih. S pomočjo tabel številk lahko na primer rešujete linearne enačbe, združene v sistem z uporabo Gaussove metode. Najprej se seznanimo z nekaj izrazi in njihovimi definicijami ter si oglejmo tudi, kako je matrika oblikovana iz sistema, ki združuje več linearnih enačb.

SLU – več kombiniranih algebraičnih enačb z neznankami prve stopnje in brez izrazov izdelka.

SLE rešitev – najdene vrednosti neznank, s katerimi enačbe v sistemu postanejo identitete.

Skupni SLE je sistem enačb, ki ima vsaj eno rešitev.

Nekonsistentni SLE je sistem enačb, ki nima rešitev.

Kako se oblikuje matrika na podlagi sistema, ki združuje linearne enačbe? Obstajajo koncepti, kot so glavna in razširjena matrika sistema. Za pridobitev glavne matrike sistema je treba v tabelo vnesti vse koeficiente za neznanke. Razširjeno matriko dobimo tako, da glavni matriki dodamo stolpec prostih členov (vključuje znane elemente, s katerimi je enačba v sistemu enačba). Celoten postopek lahko razumete tako, da preučite spodnjo sliko.

Prva stvar, ki jo vidimo na sliki, je sistem, ki vključuje linearne enačbe. Njegovi elementi: a_ij – številčni koeficienti, x_j – neznane vrednosti, b_i – konstantni izrazi (kjer je i=1, 2, …, m in j=1, 2, …, n). Drugi element na sliki je glavna matrika koeficientov. Iz vsake enačbe so koeficienti zapisani v vrsti. Posledično je v matriki toliko vrstic, kolikor je enačb v sistemu. Število stolpcev je enako največjemu številu koeficientov v kateri koli enačbi. Tretji element na sliki je razširjena matrika s stolpcem prostih izrazov.

Splošne informacije o Gaussovi metodi

V linearni algebri je Gaussova metoda klasičen način reševanja SLE. Nosi ime Carl Friedrich Gauss, ki je živel v 18.-19. stoletju. To je eden največjih matematikov vseh časov. Bistvo Gaussove metode je izvajanje elementarnih transformacij na sistemu linearnih algebraičnih enačb. S pomočjo transformacij je SLE reduciran na enakovredni sistem trikotne (stopanjske) oblike, iz katerega je mogoče najti vse spremenljivke.

Omeniti velja, da Carl Friedrich Gauss ni odkritelj klasične metode reševanja sistema linearnih enačb. Metoda je bila izumljena veliko prej. Njegov prvi opis najdemo v enciklopediji znanja starodavnih kitajskih matematikov, imenovani "Matematika v 9 knjigah".

Primer reševanja SLE po Gaussovi metodi

Na konkretnem primeru razmislimo o rešitvi sistemov po Gaussovi metodi. Delali bomo s SLU, prikazanim na sliki.

Algoritem reševanja:

1. Sistem bomo zmanjšali na stopničasto obliko z neposrednim premikanjem Gaussove metode, vendar najprejsestavili bomo razširjeno matriko številčnih koeficientov in prostih članov.
2. Za rešitev matrike po Gaussovi metodi (tj. pripeljemo jo do stopničaste oblike), od elementov druge in tretje vrstice zaporedno odštejemo elemente prve vrstice. V prvem stolpcu pod "vodilnim" elementom dobimo ničle. Nato bomo zaradi udobja zamenjali drugo in tretjo vrstico. Elementom zadnje vrstice zaporedoma dodajte elemente druge vrstice, pomnožene s 3.
3. Kot rezultat izračuna matrike po Gaussovi metodi smo dobili stopničasto matriko elementov. Na podlagi tega bomo sestavili nov sistem linearnih enačb. Z obratnim potekom Gaussove metode najdemo vrednosti neznanih izrazov. Iz zadnje linearne enačbe je razvidno, da je x₃ enako 1. To vrednost nadomestimo v drugo vrstico sistema. Dobite enačbo x₂ – 4=–4. Iz tega sledi, da je x₂ enak 0. V prvo enačbo sistema nadomestite x₂ in x₃: x1 _{+ 0 +3=2. Neznani izraz je -1.}

Odgovor: z uporabo matrike, Gaussove metode, smo našli vrednosti neznank; x₁ =–1, x₂=0, x₃=1.

Gauss-Jordanova metoda

V linearni algebri obstaja tudi taka stvar, kot je Gauss-Jordanova metoda. Šteje se za modifikacijo Gaussove metode in se uporablja za iskanje inverzne matrike, izračun neznanih členov kvadratnih sistemov algebraičnih linearnih enačb. Gauss-Jordanova metoda je priročna, ker omogoča reševanje SLE v enem koraku (brez uporabe neposredne in inverznepremika).

Začnimo z izrazom "inverzna matrika". Recimo, da imamo matriko A. Inverzno zanjo bo matrika A^-1, medtem ko je pogoj nujno izpolnjen: A × A^-1=A -1 ^{× A=E, t.j. produkt teh matrik je enak matriki identitete (elementi glavne diagonale matrike identitete so enote, preostali elementi pa nič).}

Pomemben odtenek: v linearni algebri obstaja izrek o obstoju inverzne matrike. Zadosten in nujen pogoj za obstoj matrike A^-1 je, da je matrika A nesingularna.

Osnovni koraki, na katerih temelji Gauss-Jordanova metoda:

1. Poglejte prvo vrstico določene matrike. Gauss-Jordanova metoda se lahko začne, če prva vrednost ni enaka nič. Če je prvo mesto 0, potem zamenjajte vrstice tako, da ima prvi element vrednost, ki ni nič (zaželeno je, da je številka bližje eni).
2. Deli vse elemente prve vrstice s prvo številko. Na koncu boste dobili niz, ki se začne z eno.
3. Od druge vrstice odštejte prvo vrstico, pomnoženo s prvim elementom druge vrstice, to pomeni, da boste na koncu dobili vrstico, ki se začne od nič. Enako storite za preostale vrstice. Vsako vrstico razdelite s prvim elementom, ki ni nič, da dobite 1 diagonalno.
4. Kot rezultat boste dobili zgornjo trikotno matriko z uporabo Gauss-Jordanove metode. V njem glavno diagonalo predstavljajo enote. Spodnji kot je napolnjen z ničlami inzgornji kot - različne vrednosti.
5. Od predzadnje vrstice odštejte zadnjo vrstico, pomnoženo z zahtevanim koeficientom. Dobiti bi morali niz z ničlami in ena. Za preostale vrstice ponovite isto dejanje. Po vseh transformacijah bo pridobljena matrika identitete.

Primer iskanja inverzne matrike z uporabo Gauss-Jordanove metode

Za izračun inverzne matrike morate napisati povečano matriko A|E in izvesti potrebne transformacije. Oglejmo si preprost primer. Spodnja slika prikazuje matriko A.

Rešitev:

1. Najprej poiščimo determinanto matrike z uporabo Gaussove metode (det A). Če ta parameter ni enak nič, se matrika šteje za nesingularno. To nam bo omogočilo sklepanje, da ima A zagotovo A^-1. Za izračun determinante pretvorimo matriko v postopno obliko z elementarnimi transformacijami. Štejmo, da je število K enako številu permutacij vrstic. Vrstice smo zamenjali le 1x. Izračunajmo determinanto. Njegova vrednost bo enaka zmnožku elementov glavne diagonale, pomnoženem z (–1)^K. Rezultat izračuna: det A=2.
2. Sestavite razširjeno matriko tako, da originalni matriki dodate matriko identitete. Nastala matrika elementov bo uporabljena za iskanje inverzne matrike po Gauss-Jordanovi metodi.
3. Prvi element v prvi vrstici je enak ena. To nam ustreza, saj ni treba preurejati vrstic in dano vrstico deliti z neko številko. Začnimo delatiz drugo in tretjo vrstico. Če želite prvi element v drugi vrstici spremeniti v 0, odštejte prvo vrstico, pomnoženo s 3, od druge vrstice. Odštejte prvo vrstico iz tretje vrstice (množenje ni potrebno).
4. V dobljeni matriki je drugi element druge vrstice -4, drugi element tretje vrstice pa -1. Zamenjajmo vrstice zaradi udobja. Od tretje vrstice odštejemo drugo vrstico, pomnoženo s 4. Drugo vrstico delimo z -1, tretjo vrstico pa z 2. Dobimo zgornjo trikotno matriko.
5. Odštejmo zadnjo vrstico, pomnoženo s 4 iz druge vrstice, in zadnjo vrstico, pomnoženo s 5 od prve vrstice. Nato odštejemo drugo vrstico, pomnoženo z 2 od prve vrstice. Na levi strani smo dobili matriko identitete. Na desni je inverzna matrica.

Primer reševanja SLE po Gauss-Jordanovi metodi

Slika prikazuje sistem linearnih enačb. Potrebno je najti vrednosti neznanih spremenljivk z uporabo matrike, Gauss-Jordanove metode.

Rešitev:

1. Ustvarimo razširjeno matriko. Da bi to naredili, bomo koeficiente in proste izraze dali v tabelo.
2. Rešite matriko z uporabo Gauss-Jordanove metode. Od vrstice št. 2 odštejemo vrstico št. 1. Od vrstice št. 3 odštejemo vrstico št. 1, predhodno pomnoženo z 2.
3. Zamenjaj vrstici 2 in 3.
4. Od vrstice 3 odštejte vrstico 2, pomnoženo z 2. Dobljeno tretjo vrstico delite z –1.
5. Odštejte vrstico 3 od vrstice 2.
6. Odštejte vrstico 1 od vrstice 12-krat -1. Na strani smo dobili stolpec, sestavljen iz številk 0, 1 in -1. Iz tega sklepamo, da je x₁=0, x₂=1 in x₃ =–1.

Če želite, lahko preverite pravilnost rešitve tako, da izračunane vrednosti nadomestite z enačbami:

• 0 – 1=–1, prva identiteta iz sistema je pravilna;
• 0 + 1 + (–1)=0, druga identiteta iz sistema je pravilna;
• 0 – 1 + (–1)=–2, tretja identiteta iz sistema je pravilna.

Zaključek: z uporabo Gauss-Jordanove metode smo našli pravilno rešitev kvadratnega sistema, ki združuje linearne algebraične enačbe.

Spletni kalkulatorji

Življenje današnje mladine, ki študira na univerzah in študira linearno algebro, je bilo močno poenostavljeno. Pred nekaj leti smo morali sami poiskati rešitve za sisteme po metodi Gauss in Gauss-Jordan. Nekateri učenci so se uspešno spopadli z nalogami, drugi pa so se zmedli pri rešitvi, naredili napake, prosili sošolce za pomoč. Danes lahko pri domači nalogi uporabljate spletne kalkulatorje. Za reševanje sistemov linearnih enačb, iskanje inverznih matrik so bili napisani programi, ki ne prikazujejo le pravilnih odgovorov, temveč prikazujejo tudi napredek pri reševanju določenega problema.

Na internetu je veliko virov z vgrajenimi spletnimi kalkulatorji. Gaussove matrike, sisteme enačb ti programi rešijo v nekaj sekundah. Študentje morajo samo določiti zahtevane parametre (na primer število enačb,število spremenljivk).