Proučevanje funkcij in njihovih grafov je tema, ki se ji v okviru srednješolskega programa posveča posebna pozornost. Nekatere osnove matematične analize – diferenciacija – so vključene v profilno raven izpita iz matematike. Nekateri šolarji imajo pri tej tematiki težave, saj zamešajo grafe funkcije in izpeljanke, pozabljajo pa tudi na algoritme. Ta članek bo obravnaval glavne vrste nalog in kako jih rešiti.
Kakšna je vrednost funkcije?
Matematična funkcija je posebna enačba. Vzpostavlja razmerje med številkami. Funkcija je odvisna od vrednosti argumenta.
Vrednost funkcije se izračuna po dani formuli. Če želite to narediti, nadomestite kateri koli argument, ki ustreza obsegu veljavnih vrednosti v tej formuli, namesto x in izvedite potrebne matematične operacije. Kaj?
Kako lahko najdete najmanjšo vrednost funkcije,z uporabo grafične funkcije?
Grafični prikaz odvisnosti funkcije od argumenta se imenuje graf funkcij. Zgrajena je na ravnini z določenim segmentom enote, kjer je vrednost spremenljivke ali argumenta izrisana vzdolž vodoravne abscisne osi, ustrezna vrednost funkcije pa vzdolž navpične ordinatne osi.
Večja kot je vrednost argumenta, bolj desno leži na grafu. In večja kot je vrednost same funkcije, višja je točka.
Kaj to pravi? Najmanjša vrednost funkcije bo točka, ki leži najnižje na grafu. Če ga želite najti na segmentu grafikona, potrebujete:
1) Poiščite in označite konce tega segmenta.
2) Vizualno določite, katera točka na tem segmentu leži najnižje.
3) V odgovor zapišite njegovo številčno vrednost, ki jo lahko določite s projiciranjem točke na os y.
Točke ekstrema na grafikonu izpeljank. Kje pogledati?
Vendar pri reševanju problemov včasih ni podan graf funkcije, temveč njenega izvoda. Da se izognete pomotoma neumne napake, je bolje, da natančno preberete pogoje, saj je odvisno od tega, kje morate iskati ekstremne točke.
Torej, izpeljanka je trenutna stopnja povečanja funkcije. Po geometrijski definiciji izpeljanka ustreza naklonu tangente, ki je neposredno narisana na dano točko.
Znano je, da je na ekstremnih točkah tangenta vzporedna z osjo Ox. To pomeni, da je njegov naklon 0.
Iz tega lahko sklepamo, da na ekstremnih točkah izpeljanka leži na osi x ali izgine. Toda poleg tega na teh točkah funkcija spremeni svojo smer. To pomeni, da se po obdobju povečanja začne zmanjševati, izpeljanka pa se v skladu s tem spremeni iz pozitivnega v negativno. Ali obratno.
Če izpeljanka iz pozitivnega postane negativna, je to največja točka. Če iz negativnega postane pozitivna - minimalna točka.
Pomembno: če morate v nalogi določiti minimalno ali največjo točko, morate v odgovor napisati ustrezno vrednost vzdolž osi abscise. Če pa morate najti vrednost funkcije, potem morate najprej nadomestiti ustrezno vrednost argumenta v funkcijo in jo izračunati.
Kako najti ekstremne točke z izpeljanko?
Obravnavani primeri se v glavnem nanašajo na nalogo številka 7 izpita, ki vključuje delo z grafom izpeljanke ali antiderivata. Toda naloga 12 USE - najti najmanjšo vrednost funkcije na segmentu (včasih največjo) - se izvede brez kakršnih koli risb in zahteva osnovne veščine matematične analize.
Če želite to izvesti, morate biti sposobni poiskati ekstremne točke s pomočjo izpeljanke. Algoritem za njihovo iskanje je naslednji:
- Poišči izpeljavo funkcije.
- Nastavi na nič.
- Poišči korenine enačbe.
- Preverite, ali so dobljene točke ekstremne ali pregibne točke.
Če želite to narediti, narišite diagram in naprejdobljeni intervali določajo predznake izpeljanke tako, da v izvod nadomestijo števila, ki pripadajo segmentom. Če ste pri reševanju enačbe dobili korenine dvojne večkratnosti, so to pregibne točke.
Z uporabo izrekov določite, katere točke so minimalne in katere največje
Izračunajte najmanjšo vrednost funkcije z izpeljanko
Vendar pa bomo po izvedbi vseh teh dejanj našli vrednosti minimalne in maksimalne točke vzdolž osi x. Toda kako najti najmanjšo vrednost funkcije na segmentu?
Kaj je treba storiti, da bi našli številko, ki ustreza funkciji na določeni točki? V to formulo morate nadomestiti vrednost argumenta.
Točke minimuma in maksimuma ustrezata najmanjši in največji vrednosti funkcije na segmentu. Torej, da bi našli vrednost funkcije, morate izračunati funkcijo z uporabo dobljenih vrednosti x.
Pomembno! Če naloga zahteva, da določite najmanjšo ali največjo točko, morate v odgovor napisati ustrezno vrednost vzdolž osi x. Če pa morate najti vrednost funkcije, morate najprej nadomestiti ustrezno vrednost argumenta v funkcijo in izvesti potrebne matematične operacije.
Kaj naj storim, če v tem segmentu ni nizkih vrednosti?
Toda kako najti najmanjšo vrednost funkcije na segmentu brez ekstremnih točk?
To pomeni, da se funkcija na njej monotono zmanjšuje ali povečuje. Nato morate v funkcijo zamenjati vrednost skrajnih točk tega segmenta. Obstajata dva načina.
1) Po izračunuizpeljanka in intervali, na katerih je pozitivna ali negativna, da ugotovimo, ali funkcija pada ali narašča na danem segmentu.
V skladu z njimi v funkcijo nadomestite večjo ali manjšo vrednost argumenta.
2) Preprosto zamenjajte obe točki v funkcijo in primerjajte nastale vrednosti funkcije.
V katerih nalogah je iskanje izpeljanke neobvezno
Praviloma je treba v nalogah USE še vedno najti izpeljanko. Obstaja le nekaj izjem.
1) Parabola.
Vrišče parabole najdemo s formulo.
Če je < 0, so veje parabole usmerjene navzdol. In njegov vrh je največja točka.
Če je > 0, so veje parabole usmerjene navzgor, vrh je minimalna točka.
Po izračunu vrha parabole morate njeno vrednost nadomestiti v funkcijo in izračunati ustrezno vrednost funkcije.
2) Funkcija y=tg x. Ali y=ctg x.
Te funkcije se monotono povečujejo. Torej, večja kot je vrednost argumenta, večja je vrednost same funkcije. Nato si bomo s primeri ogledali, kako najti največjo in najmanjšo vrednost funkcije na segmentu.
Glavne vrste nalog
Naloga: največja ali najmanjša vrednost funkcije. Primer na grafikonu.
Na sliki vidite graf odvoda funkcije f (x) na intervalu [-6; 6]. Na kateri točki segmenta [-3; 3] f(x) vzame najmanjšo vrednost?
Za začetek bi morali izbrati določen segment. Na njej funkcija enkrat vzame vrednost nič in spremeni svoj predznak - to je točka ekstrema. Ker izvod iz negativnega postane pozitiven, to pomeni, da je to minimalna točka funkcije. Ta točka ustreza vrednosti argumenta 2.
Odgovor: 2.
Nadaljujte z ogledom primerov. Naloga: poišči največjo in najmanjšo vrednost funkcije na segmentu.
Poišči najmanjšo vrednost funkcije y=(x - 8) ex-7 na intervalu [6; 8].
1. Vzemite izpeljanko kompleksne funkcije.
y' (x)=(x - 8) ex-7 =(x - 8)' (ex-7) + (x - 8) (ex-7)'=1(ex-7) + (x - 8) (e x-7)=(1 + x - 8) (ex-7)=(x - 7) (ex-7 )
2. Izenačite dobljeno izpeljanko na nič in rešite enačbo.
y' (x)=0
(x - 7) (ex-7)=0
x - 7=0 ali ex-7=0
x=7; ex-7 ≠ 0, brez korenin
3. V funkcijo nadomestimo vrednost skrajnih točk, kot tudi dobljene korene enačbe.
y (6)=(6 - 8) e6-7=-2e-1
y (7)=(7 - 8) e7-7=-1e0=-11=- 1
y (8)=(8 - 8) e8-7=0e1=0
Odgovor: -1.
Torej, v tem članku je bila obravnavana glavna teorija, kako najti najmanjšo vrednost funkcije na segmentu, ki je potrebna za uspešno reševanje nalog USE v specializirani matematiki. Tudi elementi matematikeanalize se uporabljajo pri reševanju nalog iz dela C izpita, vendar očitno predstavljajo različno stopnjo zahtevnosti, algoritme za njihove rešitve pa je težko umestiti v okvir enega gradiva.
