Pomemben koncept v matematiki je funkcija. Z njegovo pomočjo lahko vizualizirate številne procese, ki se dogajajo v naravi, odražate razmerje med določenimi količinami z uporabo formul, tabel in slik na grafu. Primer je odvisnost tlaka tekoče plasti na telo od globine potopitve, pospeška - od delovanja določene sile na predmet, povečanja temperature - od prenesene energije in mnogih drugih procesov. Študija funkcije vključuje konstrukcijo grafa, pojasnitev njegovih lastnosti, obsega in vrednosti, intervalov povečanja in zmanjšanja. Pomembna točka v tem procesu je iskanje ekstremnih točk. O tem, kako to storiti pravilno, in pogovor se bo nadaljeval.
O samem konceptu na konkretnem primeru
V medicini lahko risanje funkcijskega grafa pove o napredovanju bolezni v pacientovem telesu in vizualno odraža njegovo stanje. Predpostavimo, da je čas v dnevih izrisan vzdolž osi OX, temperatura človeškega telesa pa je narisana vzdolž osi OY. Slika jasno kaže, kako se ta kazalnik močno dvigne inpotem pade. Prav tako je enostavno opaziti singularne točke, ki odražajo trenutke, ko se funkcija, ki se je prej povečala, začne zmanjševati in obratno. To so skrajne točke, torej kritične vrednosti (najvišje in minimalne) v tem primeru bolnikove temperature, po katerih pride do sprememb v njegovem stanju.
Kot nagiba
Iz slike je enostavno ugotoviti, kako se izpeljanka funkcije spreminja. Če se ravne črte grafa sčasoma dvignejo, je pozitiven. In bolj kot so strmi, večja je vrednost izpeljanke, saj se kot naklona povečuje. V obdobjih padanja ta vrednost prevzame negativne vrednosti, ki se v točkah ekstrema spremeni v nič, graf izpeljanke pa se v zadnjem primeru nariše vzporedno z osjo OX.
Vsak drugi postopek je treba obravnavati na enak način. Toda najboljša stvar tega koncepta lahko pove gibanje različnih teles, ki je jasno prikazano na grafih.
Gibanje
Predpostavimo, da se nek predmet premika v ravni črti in enakomerno pridobiva hitrost. V tem obdobju sprememba koordinat telesa grafično predstavlja določeno krivuljo, ki bi jo matematik poimenoval veja parabole. Hkrati se funkcija nenehno povečuje, saj se koordinatni indikatorji z vsako sekundo spreminjajo hitreje in hitreje. Graf hitrosti prikazuje obnašanje izpeljanke, katere vrednost prav tako narašča. To pomeni, da gibanje nima kritičnih točk.
Nadaljevalo bi se v nedogled. Če pa se telo nenadoma odloči upočasniti, se ustavite in se začnite premikati v drugemsmer? V tem primeru se bodo koordinatni kazalci začeli zmanjševati. Funkcija bo prenesla kritično vrednost in se preklopila iz naraščajočega v padajoče.
V tem primeru lahko spet razumete, da se ekstremne točke na grafu funkcije pojavijo v trenutkih, ko preneha biti monoton.
Fizični pomen izpeljanke
Prej opisano je jasno pokazalo, da je izpeljanka v bistvu stopnja spremembe funkcije. Ta izpopolnjenost vsebuje svoj fizični pomen. Ekstremne točke so kritična področja na grafikonu. Možno jih je ugotoviti in zaznati z izračunom vrednosti izpeljanke, ki se izkaže, da je enaka nič.
Obstaja še en znak, ki je zadosten pogoj za ekstrem. Izpeljanka na takih mestih pregiba spremeni svoj predznak: iz "+" v "-" v območju maksimuma in iz "-" v "+" v območju minimuma.
Gibanje pod vplivom gravitacije
Predstavljajmo si drugo situacijo. Otroci, ki so se igrali z žogo, so jo metali tako, da se je začela premikati pod kotom proti obzorju. V začetnem trenutku je bila hitrost tega predmeta največja, vendar se je pod vplivom gravitacije začela zmanjševati in z vsako sekundo za isto vrednost, ki je enaka približno 9,8 m/s2. To je vrednost pospeška, ki nastane pod vplivom zemeljske teže pri prostem padcu. Na Luni bi bil približno šestkrat manjši.
Graf, ki opisuje gibanje telesa, je parabola z vejami,navzdol. Kako najti ekstremne točke? V tem primeru je to vrh funkcije, kjer hitrost telesa (žogice) prevzame vrednost nič. Izvod funkcije postane nič. V tem primeru se smer in s tem vrednost hitrosti spremeni v nasprotno. Telo z vsako sekundo leti vse hitreje in hitreje pospešuje za enako količino - 9,8 m/s2.
Druga izpeljanka
V prejšnjem primeru je graf modula hitrosti narisan kot ravna črta. Ta vrstica je najprej usmerjena navzdol, saj se vrednost te količine nenehno znižuje. Ko v eni od časovnih točk dosežete nič, se kazalniki te vrednosti začnejo povečevati, smer grafične predstavitve modula hitrosti pa se dramatično spremeni. Črta zdaj kaže navzgor.
Hitrost, ki je časovna izpeljanka koordinata, ima tudi kritično točko. V tej regiji se funkcija, ki se sprva zmanjšuje, začne povečevati. To je kraj skrajne točke izvoda funkcije. V tem primeru naklon tangente postane nič. In pospešek, ki je druga izpeljanka koordinate glede na čas, spremeni predznak iz "-" v "+". In gibanje iz enakomerno počasnega postane enakomerno pospešeno.
Tabela pospeševanja
Zdaj razmislite o štirih slikah. Vsak od njih prikazuje graf časovne spremembe takšne fizične količine, kot je pospešek. V primeru "A" njegova vrednost ostane pozitivna in konstantna. To pomeni, da se hitrost telesa, tako kot njegova koordinata, nenehno povečuje. ČePredstavljajte si, da se bo predmet gibal na ta način neskončno dolgo, funkcija, ki odraža odvisnost koordinate od časa, se bo izkazala za nenehno naraščajočo. Iz tega sledi, da nima kritičnih regij. Tudi na grafu izpeljanke ni ekstremnih točk, to je linearno spreminjajoče se hitrosti.
Enako velja za primer "B" s pozitivnim in nenehno naraščajočim pospeškom. Res je, risbe za koordinate in hitrost bodo tukaj nekoliko bolj zapletene.
Ko se pospešek nagiba k nič
Ob ogledu slike "B" lahko vidite popolnoma drugačno sliko, ki označuje gibanje telesa. Njegova hitrost bo grafično prikazana kot parabola z vejami, obrnjenimi navzdol. Če nadaljujemo z vrstico, ki opisuje spremembo pospeška, dokler se ne seka z osjo OX, in naprej, si lahko predstavljamo, da se bo do te kritične vrednosti, kjer se izkaže, da je pospešek enak nič, hitrost predmeta povečala vse bolj počasi. Ekstremna točka izvoda koordinatne funkcije bo tik na vrhu parabole, po kateri bo telo korenito spremenilo naravo gibanja in se začelo premikati v drugo smer.
V zadnjem primeru, "G", narave gibanja ni mogoče natančno določiti. Tukaj vemo le, da za neko obravnavano obdobje pospeška ni. To pomeni, da lahko predmet ostane na mestu ali pa se premika s konstantno hitrostjo.
Koordinacijska naloga seštevanja
Nadaljujmo z nalogami, ki jih pogosto najdemo pri študiju algebre v šoli in so na voljo zapriprava na izpit. Spodnja slika prikazuje graf funkcije. Potrebno je izračunati vsoto točk ekstrema.
Naredimo to za os y tako, da določimo koordinate kritičnih območij, kjer opazimo spremembo značilnosti funkcije. Preprosto povedano, poiščemo vrednosti vzdolž osi x za pregibne točke in nato nadaljujemo z dodajanjem dobljenih izrazov. Glede na graf je očitno, da imajo naslednje vrednosti: -8; -7; -5; -3; -2; ena; 3. To sešteje do -21, kar je odgovor.
Optimalna rešitev
Ni treba razlagati, kako pomembna je lahko izbira optimalne rešitve pri izvajanju praktičnih nalog. Navsezadnje obstaja veliko načinov za dosego cilja, najboljši izhod pa je praviloma le eden. To je na primer izjemno potrebno pri načrtovanju ladij, vesoljskih plovil in letal, arhitekturnih struktur, da bi našli optimalno obliko teh umetnih objektov.
Hitrost vozil je v veliki meri odvisna od kompetentnega zmanjšanja upora, ki ga doživljajo pri gibanju po vodi in zraku, zaradi preobremenitev, ki nastanejo pod vplivom gravitacijskih sil in številnih drugih kazalcev. Ladja na morju potrebuje takšne lastnosti, kot je stabilnost med neurjem, za rečno ladjo je pomemben minimalni ugrez. Pri izračunu optimalne zasnove lahko ekstremne točke na grafu vizualno dajo predstavo o najboljši rešitvi zapletenega problema. Tovrstne naloge so pogostose rešujejo v gospodarstvu, na gospodarskih področjih, v mnogih drugih življenjskih situacijah.
Iz starodavne zgodovine
Izjemne težave so se ukvarjale tudi s starodavnimi modreci. Grški znanstveniki so z matematičnimi izračuni uspešno razkrili skrivnost območij in volumnov. Prvi so razumeli, da ima na ravnini različnih figur z enakim obodom krog vedno največjo površino. Podobno je žogica obdarjena z največjo prostornino med drugimi predmeti v prostoru z enako površino. Takšne znane osebnosti, kot so Arhimed, Evklid, Aristotel, Apolonij, so se posvetili reševanju takšnih problemov. Heron je zelo dobro uspel najti ekstremne točke, ki je po uporabi izračunov zgradil iznajdljive naprave. Ti so vključevali avtomate, ki se premikajo s pomočjo pare, črpalke in turbine, ki delujejo po istem principu.
gradnja Kartage
Obstaja legenda, katere zaplet temelji na reševanju enega od ekstremnih problemov. Rezultat poslovnega pristopa feničanske princese, ki se je po pomoč obrnila na modrece, je bila gradnja Kartage. Zemljišče za to starodavno in slavno mesto je Didoni (tako je bilo ime vladarja) predstavil vodja enega od afriških plemen. Površina parcele se mu sprva ni zdela zelo velika, saj je morala biti po pogodbi prekrita z volovsko kožo. Toda princesa je svojim vojakom naročila, naj ga narežejo na tanke trakove in iz njih naredijo pas. Izkazalo se je, da je tako dolgo, da je zajelo spletno mesto,kjer se ujema celotno mesto.
Izvor računanja
In zdaj se pomaknimo iz starih časov v kasnejše obdobje. Zanimivo je, da je Keplerja v 17. stoletju k razumevanju temeljev matematične analize spodbudilo srečanje s prodajalcem vina. Trgovec je bil tako dobro podkovan v svojem poklicu, da je zlahka določil količino pijače v sodu, tako da je vanj preprosto spustil železno podvezo. Ob razmišljanju o takšni radovednosti je slavni znanstvenik sam uspel rešiti to dilemo. Izkazalo se je, da so se spretni sodarji tistih časov obvladali izdelovati posode tako, da bi na določeni višini in polmeru oboda pritrdilnih obročev imeli največjo zmogljivost.
To je bil Keplerjev razlog za nadaljnji razmislek. Bochar je z dolgim iskanjem, napakami in novimi poskusi prišla do optimalne rešitve ter prenašala svoje izkušnje iz roda v rod. Toda Kepler je želel pospešiti proces in se naučiti, kako narediti enako v kratkem času z matematičnimi izračuni. Ves njegov razvoj, ki so ga pobrali kolegi, se je spremenil v zdaj znana Fermatova in Newtonova izreka - Leibniz.
Problem z največjo površino
Predstavljajmo si, da imamo žico dolžine 50 cm. Kako iz nje narediti pravokotnik z največjo površino?
Pri odločanju je treba izhajati iz preprostih in znanih resnic. Jasno je, da bo obseg naše figure 50 cm Sestavljen je tudi iz dvakratnih dolžin obeh strani. To pomeni, da lahko enega od njih označimo kot "X", drugega lahko izrazimo kot (25 - X).
Od tu dobimopovršina, ki je enaka X (25 - X). Ta izraz lahko predstavimo kot funkcijo, ki prevzame številne vrednosti. Rešitev problema zahteva iskanje največjega od njih, kar pomeni, da bi morali poiskati ekstremne točke.
Za to poiščemo prvo izpeljanko in jo enačimo z nič. Rezultat je preprosta enačba: 25 - 2X=0.
Iz njega izvemo, da je ena od stranic X=12, 5.
Zato še: 25 – 12, 5=12, 5.
Izkazalo se je, da bo rešitev problema kvadrat s stranico 12,5 cm.
Kako najti največjo hitrost
Upoštevajmo še en primer. Predstavljajte si, da obstaja telo, katerega pravolinijsko gibanje je opisano z enačbo S=- t3 + 9t2 – 24t – 8, kjer je razdalja prevoženi čas je izražen v metrih, čas pa v sekundah. Potrebno je najti največjo hitrost. Kako narediti? Preneseno poiščite hitrost, torej prvo izpeljanko.
Dobimo enačbo: V=- 3t2 + 18t – 24. Zdaj, da rešimo problem, moramo spet najti točke ekstrema. To je treba narediti na enak način kot v prejšnji nalogi. Poiščite prvo izpeljanko hitrosti in jo enačite z nič.
Dobimo: - 6t + 18=0. Torej t=3 s. To je čas, ko hitrost telesa prevzame kritično vrednost. Dobljene podatke nadomestimo v enačbo hitrosti in dobimo: V=3 m/s.
Toda kako razumeti, da je to točno največja hitrost, ker so kritične točke funkcije lahko njene največje ali minimalne vrednosti? Če želite preveriti, morate najti drugegaderivat hitrosti. Izraža se kot število 6 z znakom minus. To pomeni, da je najdena točka največja. In v primeru pozitivne vrednosti druge izpeljanke bi obstajal minimum. Torej, najdena rešitev se je izkazala za pravilno.
Naloge, podane kot primer, so le del tistih, ki jih je mogoče rešiti z iskanjem ekstremnih točk funkcije. Pravzaprav jih je veliko več. In takšno znanje odpira neomejene možnosti za človeško civilizacijo.
