Za iskanje porazdelitvenih funkcij naključnih spremenljivk in njihovih spremenljivk je potrebno preučiti vse značilnosti tega področja znanja. Obstaja več različnih metod za iskanje zadevnih vrednosti, vključno s spreminjanjem spremenljivke in ustvarjanjem trenutka. Distribucija je koncept, ki temelji na elementih, kot so disperzija, variacije. Vendar označujejo le stopnjo amplitude sipanja.
Pomembnejše funkcije naključnih spremenljivk so tiste, ki so povezane in neodvisne ter enakomerno porazdeljene. Na primer, če je X1 teža naključno izbranega posameznika iz moške populacije, X2 je teža drugega, … in Xn je teža še ene osebe iz moške populacije, potem moramo vedeti, kako naključno deluje X je porazdeljen. V tem primeru velja klasični izrek, imenovan osrednji mejni izrek. Omogoča vam, da pokažete, da pri velikih n funkcija sledi standardnim distribucijam.
Funkcije ene naključne spremenljivke
Osrednji mejni izrek je za približevanje obravnavanih diskretnih vrednosti, kot sta binom in Poisson. Porazdelitvene funkcije naključnih spremenljivk se najprej obravnavajo na preprostih vrednostih ene spremenljivke. Na primer, če je X neprekinjena naključna spremenljivka z lastno verjetnostno porazdelitvijo. V tem primeru raziskujemo, kako najti funkcijo gostote Y z uporabo dveh različnih pristopov, in sicer metode porazdelitvene funkcije in spremembe spremenljivke. Najprej se upoštevajo samo vrednosti ena proti ena. Nato morate spremeniti tehniko spreminjanja spremenljivke, da najdete njeno verjetnost. Končno se moramo naučiti, kako lahko funkcija inverzne kumulativne porazdelitve pomaga modelirati naključna števila, ki sledijo določenim zaporednim vzorcem.
Način porazdelitve upoštevanih vrednosti
Za iskanje njene gostote je uporabna metoda funkcije porazdelitve verjetnosti naključne spremenljivke. Pri uporabi te metode se izračuna kumulativna vrednost. Nato lahko z razlikovanjem dobite gostoto verjetnosti. Zdaj, ko imamo metodo distribucijske funkcije, si lahko ogledamo še nekaj primerov. Naj bo X neprekinjena naključna spremenljivka z določeno gostoto verjetnosti.
Kakšna je funkcija gostote verjetnosti x2? Če pogledate ali grafično prikažete funkcijo (zgoraj in desno) y \u003d x2, lahko opazite, da je naraščajoči X in 0 <y<1. Zdaj morate uporabiti obravnavano metodo, da najdete Y. Najprej se najde kumulativna porazdelitvena funkcija, le diferencirati morate, da dobite gostoto verjetnosti. S tem dobimo: 0<y<1. Metoda porazdelitve je bila uspešno implementirana za iskanje Y, ko je Y naraščajoča funkcija od X. Mimogrede, f(y) se integrira v 1 nad y.
V zadnjem primeru je bila zelo previdna indeksacija kumulativnih funkcij in gostote verjetnosti z X ali Y, da se pokaže, kateri naključni spremenljivki pripadajo. Na primer, ko smo našli kumulativno porazdelitveno funkcijo Y, smo dobili X. Če morate najti naključno spremenljivko X in njeno gostoto, jo morate samo razlikovati.
Tehnika spremenljive spremembe
Naj je X neprekinjena naključna spremenljivka, podana s distribucijsko funkcijo s skupnim imenovalcem f (x). V tem primeru, če vstavite vrednost y v X=v (Y), potem dobite vrednost x, na primer v (y). Zdaj moramo dobiti porazdelitveno funkcijo neprekinjene naključne spremenljivke Y. Kjer sta prva in druga enakost iz definicije kumulativnega Y. Tretja enakost velja, ker je del funkcije, za katerega je u (X) ≦ y res je tudi, da je X ≦ v (Y). In zadnja je narejena za določitev verjetnosti v neprekinjeni naključni spremenljivki X. Zdaj moramo vzeti izvod FY (y), kumulativno porazdelitveno funkcijo Y, da dobimo gostoto verjetnosti Y.
Posplošitev funkcije zmanjšanja
Naj je X neprekinjena naključna spremenljivka s skupnim f (x), definiranim na c1<x<c2. In naj je Y=u (X) padajoča funkcija od X z inverzno X=v (Y). Ker je funkcija zvezna in padajoča, obstaja inverzna funkcija X=v (Y).
Za rešitev te težave lahko zbirate kvantitativne podatke in uporabite empirično kumulativno distribucijsko funkcijo. S temi informacijami in privlačnimi zanje morate združiti vzorce sredstev, standardna odstopanja, medijske podatke itd.
Podobno ima lahko celo dokaj preprost verjetnostni model veliko število rezultatov. Na primer, če vržete kovanec 332-krat. Potem je število rezultatov, pridobljenih s preobrati, večje kot pri Googlu (10100) - število, vendar ne manj kot 100 kvintilijonov krat višje od elementarnih delcev v znanem vesolju. Ne zanima me analiza, ki daje odgovore na vse možne rezultate. Potreben bi bil enostavnejši koncept, kot je število glav ali najdaljša poteza repov. Za osredotočanje na vprašanja, ki vas zanimajo, je sprejet določen rezultat. Definicija v tem primeru je naslednja: naključna spremenljivka je realna funkcija z verjetnostnim prostorom.
Obseg S naključne spremenljivke se včasih imenuje prostor stanj. Torej, če je X zadevna vrednost, potem je N=X2, exp ↵X, X2 + 1, tan2 X, bXc itd. Zadnja od teh, zaokrožitev X na najbližje celo število, se imenuje funkcija tal.
Distribucijske funkcije
Ko je določena funkcija porazdelitve, ki nas zanima za naključno spremenljivko x, se običajno postavi vprašanje: "Kakšne so možnosti, da X pade v neko podmnožico vrednosti B?". Na primer, B={neparna števila}, B={večje od 1} ali B={med 2 in 7}, da označuje tiste rezultate, ki imajo X, vrednostnaključna spremenljivka, v podmnožici A. Tako lahko v zgornjem primeru dogodke opišete na naslednji način.
{X je liho število}, {X je večji od 1}={X> 1}, {X je med 2 in 7}={2 <X <7}, da se ujema s tremi zgornjimi možnostmi za podmnožico B. Številne lastnosti naključnih veličin niso povezane z določenim X. Namesto tega so odvisne od tega, kako X dodeli svoje vrednosti. To vodi do definicije, ki zveni takole: funkcija porazdelitve naključne spremenljivke x je kumulativna in je določena s kvantitativnimi opazovanji.
Naključne spremenljivke in funkcije porazdelitve
Tako lahko izračunate verjetnost, da bo distribucijska funkcija naključne spremenljivke x prevzela vrednosti v intervalu z odštevanjem. Razmislite o vključitvi ali izključitvi končnih točk.
Naključno spremenljivko bomo imenovali diskretna, če ima končen ali štetje neskončen prostor stanj. Tako je X število glav pri treh neodvisnih premikih pristranskega kovanca, ki se poveča z verjetnostjo p. Najti moramo kumulativno porazdelitveno funkcijo diskretne naključne spremenljivke FX za X. Naj bo X število vrhov v zbirki treh kart. Potem Y=X3 prek FX. FX se začne pri 0, konča pri 1 in se ne zmanjša, ko se vrednosti x povečajo. Kumulativna funkcija porazdelitve FX diskretne naključne spremenljivke X je konstantna, razen za skoke. Pri skakanju je FX neprekinjen. Dokaži trditev o pravilniz uporabo definicije je mogoča kontinuiteta porazdelitvene funkcije iz lastnosti verjetnosti. Sliši se takole: konstantna naključna spremenljivka ima kumulativni FX, ki ga je mogoče razlikovati.
Da pokažemo, kako se to lahko zgodi, lahko navedemo primer: tarča s polmerom enote. Verjetno. puščica je enakomerno razporejena po določenem območju. Za nekaj λ> 0. Tako se porazdelitvene funkcije zveznih naključnih spremenljivk gladko povečujejo. FX ima lastnosti distribucijske funkcije.
Moški čaka na avtobusni postaji, dokler avtobus ne prispe. Ko se je sam odločil, da bo zavrnil, ko bo čakanje doseglo 20 minut. Tukaj je treba najti kumulativno porazdelitveno funkcijo za T. Čas, ko bo oseba še vedno na avtobusni postaji ali ne bo odšla. Kljub temu, da je kumulativna porazdelitvena funkcija definirana za vsako naključno spremenljivko. Kljub temu se bodo precej pogosto uporabljale druge značilnosti: masa za diskretno spremenljivko in funkcija gostote porazdelitve naključne spremenljivke. Običajno se vrednost izpiše prek ene od teh dveh vrednosti.
Movne funkcije
Te vrednosti upoštevajo naslednje lastnosti, ki imajo splošen (masovni) značaj. Prvi temelji na dejstvu, da verjetnosti niso negativne. Drugi sledi iz ugotovitve, da množica za vse x=2S, prostor stanj za X, tvori particijo verjetnostne svobode X. Primer: metanje pristranskega kovanca, katerega izidi so neodvisni. Lahko nadaljuješdoločena dejanja, dokler ne dobite zvitka glav. Naj X označuje naključno spremenljivko, ki daje število repov pred prvo glavo. In p označuje verjetnost v katerem koli danem dejanju.
Torej ima funkcija verjetnosti mase naslednje značilnosti. Ker izrazi tvorijo številčno zaporedje, se X imenuje geometrijska naključna spremenljivka. Geometrijska shema c, cr, cr2,.,,, crn ima vsoto. In zato ima sn mejo kot n 1. V tem primeru je neskončna vsota meja.
Zgornja masna funkcija tvori geometrijsko zaporedje z razmerjem. Zato sta naravni števili a in b. Razlika v vrednostih v funkciji porazdelitve je enaka vrednosti masne funkcije.
Obravnavane vrednosti gostote imajo definicijo: X je naključna spremenljivka, katere porazdelitev FX ima izpeljanko. FX, ki izpolnjuje Z xFX (x)=fX (t) dt-1, se imenuje funkcija gostote verjetnosti. In X se imenuje neprekinjena naključna spremenljivka. V temeljnem izreku računa je funkcija gostote izpeljanka porazdelitve. Verjetnosti lahko izračunate z izračunom določenih integralov.
Ker so podatki zbrani iz več opazovanj, je treba za modeliranje eksperimentalnih postopkov upoštevati več kot eno naključno spremenljivko hkrati. Zato nabor teh vrednosti in njihova skupna porazdelitev za obe spremenljivki X1 in X2 pomeni ogled dogodkov. Za diskretne naključne spremenljivke so definirane skupne verjetnostne masne funkcije. Pri neprekinjenih se upoštevajo fX1, X2, kjerskupna verjetnostna gostota je izpolnjena.
Neodvisne naključne spremenljivke
Dve naključni spremenljivki X1 in X2 sta neodvisni, če sta katera koli dva dogodka, povezana z njima, enaka. Z besedami je verjetnost, da se dva dogodka {X1 2 B1} in {X2 2 B2} zgodita hkrati, y, enaka zmnožku zgornjih spremenljivk, da se vsak od njih zgodi posebej. Za neodvisne diskretne naključne spremenljivke obstaja skupna verjetnostna masna funkcija, ki je produkt mejnega volumna ionov. Za neprekinjene naključne spremenljivke, ki so neodvisne, je skupna funkcija gostote verjetnosti produkt vrednosti mejne gostote. Na koncu upoštevamo n neodvisnih opazovanj x1, x2,.,,, xn, ki izhaja iz neznane funkcije gostote ali mase f. Na primer neznan parameter v funkcijah za eksponentno naključno spremenljivko, ki opisuje čakalni čas za vodilo.
Imitacija naključnih spremenljivk
Glavni cilj tega teoretičnega področja je zagotoviti orodja, potrebna za razvoj sklepnih postopkov, ki temeljijo na trdnih načelih statistične znanosti. Tako je zelo pomemben primer uporabe programske opreme zmožnost ustvarjanja psevdopodatkov za posnemanje dejanskih informacij. To omogoča preizkušanje in izboljšanje analiznih metod, preden jih je treba uporabiti v resničnih bazah podatkov. To je potrebno za raziskovanje lastnosti podatkovmodeliranje. Za številne pogosto uporabljene družine naključnih spremenljivk R zagotavlja ukaze za njihovo generiranje. V drugih okoliščinah bodo potrebne metode za modeliranje zaporedja neodvisnih naključnih spremenljivk, ki imajo skupno porazdelitev.
Diskretne naključne spremenljivke in ukazni vzorec. Ukaz sample se uporablja za ustvarjanje preprostih in stratificiranih naključnih vzorcev. Kot rezultat, če je vneseno zaporedje x, sample(x, 40) izbere 40 zapisov iz x, tako da imajo vse izbire velikosti 40 enako verjetnost. To uporablja privzeti ukaz R za pridobivanje brez zamenjave. Lahko se uporablja tudi za modeliranje diskretnih naključnih spremenljivk. Če želite to narediti, morate zagotoviti prostor stanja v vektorju x in masno funkcijo f. Klic zamenjave=TRUE označuje, da pride do vzorčenja z zamenjavo. Nato se za vzorec n neodvisnih naključnih spremenljivk, ki imajo skupno masno funkcijo f, uporabi vzorec (x, n, zamenjaj=TRUE, prob=f).
Določeno, da je 1 najmanjša predstavljena vrednost in 4 največja od vseh. Če je ukaz prob=f izpuščen, bo vzorec enakomerno vzorčen iz vrednosti v vektorju x. Simulacijo lahko preverite glede na masno funkcijo, ki je ustvarila podatke, tako da pogledate znak dvojne enakosti,==. In ponovni izračun opazovanj, ki vzamejo vse možne vrednosti za x. Lahko naredite mizo. To ponovite za 1000 in primerjajte simulacijo z ustrezno masno funkcijo.
Ilustracija verjetnostne transformacije
Prvasimulirati homogene porazdelitvene funkcije naključnih spremenljivk u1, u2,.,,, un na intervalu [0, 1]. Približno 10 % številk mora biti znotraj [0, 3, 0, 4]. To ustreza 10 % simulacij v intervalu [0, 28, 0, 38] za naključno spremenljivko s prikazano funkcijo porazdelitve FX. Podobno mora biti približno 10 % naključnih števil v intervalu [0, 7, 0, 8]. To ustreza 10 % simulacijam na intervalu [0, 96, 1, 51] naključne spremenljivke s funkcijo porazdelitve FX. Te vrednosti na osi x lahko dobimo tako, da vzamemo inverzno od FX. Če je X neprekinjena naključna spremenljivka z gostoto fX pozitivno povsod v svoji domeni, potem se distribucijska funkcija strogo povečuje. V tem primeru ima FX inverzno funkcijo FX-1, znano kot kvantilna funkcija. FX (x) u samo, če je x FX-1 (u). Transformacija verjetnosti sledi iz analize naključne spremenljivke U=FX (X).
FX ima razpon od 0 do 1. Ne sme biti pod 0 ali nad 1. Za vrednosti u med 0 in 1. Če je U mogoče simulirati, je treba uporabiti naključno spremenljivko z porazdelitvijo FX simulirano prek kvantilne funkcije. Iz odvoda vidimo, da se gostota u spreminja znotraj 1. Ker ima naključna spremenljivka U konstantno gostoto v intervalu možnih vrednosti, jo imenujemo enakomerna na intervalu [0, 1]. Modeliran je v R z ukazom runif. Identiteta se imenuje verjetnostna transformacija. Kako deluje, si lahko ogledate na primeru pikado deske. X med 0 in 1, funkcijaporazdelitev u=FX (x)=x2 in zato kvantilna funkcija x=FX-1 (u). Možno je modelirati neodvisna opazovanja razdalje od središča plošče puščice in tako ustvariti enotne naključne spremenljivke U1, U2,.,, Un. Funkcija porazdelitve in empirična funkcija temeljita na 100 simulacijah porazdelitve deske za pikado. Za eksponentno naključno spremenljivko je verjetno u=FX (x)=1 - exp (- x) in zato x=- 1 ln (1 - u). Včasih je logika sestavljena iz enakovrednih izjav. V tem primeru morate združiti oba dela argumenta. Identiteta presečišča je podobna za vsa 2 {S i i} S, namesto neke vrednosti. Unija Ci je enaka prostoru stanj S in vsak par se med seboj izključuje. Ker je Bi - razdeljen na tri aksiome. Vsako preverjanje temelji na ustrezni verjetnosti P. Za katero koli podmnožico. Uporaba identitete za zagotovitev, da odgovor ni odvisen od tega, ali so vključene končne točke intervala.
Eksponentna funkcija in njene spremenljivke
Za vsak izid v vseh dogodkih se na koncu uporabi druga lastnost kontinuitete verjetnosti, ki velja za aksiomatično. Zakon porazdelitve funkcije naključne spremenljivke tukaj kaže, da ima vsaka svojo rešitev in odgovor.
