Teorija verjetnosti je posebna veja matematike, ki jo preučujejo samo študenti visokošolskih zavodov. Obožujete izračune in formule? Se ne bojite možnosti spoznavanja normalne porazdelitve, entropije ansambla, matematičnega pričakovanja in variance diskretne naključne spremenljivke? Potem vas bo ta tema zelo zanimala. Seznanimo se z nekaterimi najpomembnejšimi osnovnimi koncepti tega oddelka znanosti.
Prikličite osnove
Tudi če se spomnite najpreprostejših konceptov teorije verjetnosti, ne zanemarite prvih odstavkov članka. Dejstvo je, da brez jasnega razumevanja osnov ne boste mogli delati s spodaj obravnavanimi formulami.
Torej, obstaja nekaj naključnega dogodka, nekaj eksperimenta. Kot rezultat izvedenih dejanj lahko dobimo več rezultatov - nekateri so pogostejši, drugi manj pogosti. Verjetnost dogodka je razmerje med številom dejansko prejetih izidov ene vrste in skupnim številom možnih. Šele ob poznavanju klasične definicije tega koncepta lahko začnete preučevati matematično pričakovanje in varianco neprekinjeneganaključne spremenljivke.
Aritmetična sredina
Tudi v šoli, pri pouku matematike, ste začeli delati z aritmetično sredino. Ta koncept se pogosto uporablja v teoriji verjetnosti, zato ga ni mogoče prezreti. Za nas je trenutno glavno, da ga bomo srečali v formulah za matematično pričakovanje in varianco naključne spremenljivke.
Imamo zaporedje številk in želimo najti aritmetično sredino. Vse, kar se od nas zahteva, je sešteti vse, kar je na voljo, in deliti s številom elementov v zaporedju. Naj imamo števila od 1 do 9. Vsota elementov bo 45 in to vrednost bomo delili z 9. Odgovor: - 5.
Disperzija
Znanstveno gledano, varianca je srednji kvadrat odstopanj dobljenih vrednosti lastnosti od aritmetične sredine. Ena je označena z veliko latinično črko D. Kaj je potrebno za izračun? Za vsak element zaporedja izračunamo razliko med razpoložljivim številom in aritmetično sredino ter jo kvadriramo. Vrednosti bo natanko toliko, kolikor je lahko rezultatov za dogodek, o katerem razmišljamo. Nato povzamemo vse prejeto in delimo s številom elementov v zaporedju. Če imamo pet možnih izidov, potem delimo s pet.
Disperzija ima tudi lastnosti, ki si jih morate zapomniti, da jo uporabite pri reševanju težav. Na primer, če se naključna spremenljivka poveča za X-krat, se varianca poveča za X-krat kvadrat (tj. XX). Nikoli ni manjša od nič in ni odvisna odpremikanje vrednosti za enako vrednost navzgor ali navzdol. Tudi pri neodvisnih poskusih je varianca vsote enaka vsoti varianc.
Zdaj moramo vsekakor upoštevati primere variance diskretne naključne spremenljivke in matematičnega pričakovanja.
Predpostavimo, da smo izvedli 21 poskusov in dobili 7 različnih rezultatov. Vsakega od njih smo opazovali 1, 2, 2, 3, 4, 4 in 5-krat. Kakšna bo varianca?
Najprej izračunajmo aritmetično sredino: vsota elementov je seveda 21. Delite jo s 7 in dobite 3. Zdaj odštejte 3 od vsakega števila v prvotnem zaporedju, vsako vrednost kvadrirajte in dodajte rezultate skupaj. Izkazalo se je 12. Zdaj nam ostane, da število delimo s številom elementov, in zdi se, da je to vse. Ampak obstaja ulov! Razpravljajmo o tem.
Odvisnost od števila poskusov
Izkazalo se je, da je pri izračunu variance imenovalec lahko eno od dveh številk: ali N ali N-1. Tukaj je N število izvedenih poskusov ali število elementov v zaporedju (kar je v resnici enako). Od česa je odvisno?
Če se število testov meri v stotinah, moramo v imenovalec vpisati N. Če v enotah, potem N-1. Znanstveniki so se odločili, da bodo mejo narisali precej simbolično: danes poteka vzdolž številke 30. Če smo izvedli manj kot 30 poskusov, bomo količino delili z N-1, če je več, pa z N.
Naloga
Pojdimo nazaj k našemu primeru reševanja problema variance in pričakovanj. miprejel vmesno število 12, ki ga je bilo treba deliti z N ali N-1. Ker smo izvedli 21 poskusov, kar je manj kot 30, bomo izbrali drugo možnost. Odgovor je torej: varianca je 12 / 2=2.
Pričakovanje
Pojdimo na drugi koncept, ki ga moramo upoštevati v tem članku. Matematično pričakovanje je rezultat seštevanja vseh možnih rezultatov, pomnoženih z ustreznimi verjetnostmi. Pomembno je razumeti, da se končna vrednost, kot tudi rezultat izračuna variance, pridobi samo enkrat za celotno nalogo, ne glede na to, koliko rezultatov upošteva.
Formula za pričakovanje je precej preprosta: vzamemo izid, ga pomnožimo z njegovo verjetnostjo, dodamo enako za drugi, tretji rezultat itd. Vse, kar je povezano s tem konceptom, je enostavno izračunati. Na primer, vsota matematičnih pričakovanj je enaka matematičnemu pričakovanju vsote. Enako velja za delo. Vsaka količina v teoriji verjetnosti ne omogoča izvajanja tako preprostih operacij. Vzemimo nalogo in izračunajmo vrednost dveh konceptov, ki smo jih preučevali hkrati. Poleg tega nas je zmotila teorija – čas je za prakso.
Še en primer
Izvedli smo 50 poskusov in dobili 10 vrst rezultatov – številke od 0 do 9 –, ki se pojavljajo v različnih odstotkih. To so: 2 %, 10 %, 4 %, 14 %, 2 %, 18 %, 6 %, 16 %, 10 %, 18 %. Spomnimo se, da morate za pridobitev verjetnosti odstotne vrednosti deliti s 100. Tako dobimo 0,02; 0, 1 itd. Predstavljajmo za varianco naključnegaPrimer vrednosti in matematičnega pričakovanja reševanja problema.
Izračunajte aritmetično sredino s formulo, ki se je spomnimo iz osnovne šole: 50/10=5.
Zdaj prevedemo verjetnosti v število izidov "v kosih", da bo lažje štetje. Dobimo 1, 5, 2, 7, 1, 9, 3, 8, 5 in 9. Od vsake dobljene vrednosti odštejemo aritmetično sredino, nakar vsakega od dobljenih rezultatov kvadriramo. Oglejte si, kako to storite na primeru prvega elementa: 1 - 5=(-4). Nadalje: (-4)(-4)=16. Za druge vrednosti opravite te operacije sami. Če ste naredili vse pravilno, boste po dodajanju vseh vmesnih rezultatov dobili 90.
Nadaljujte z izračunom variance in povprečja tako, da 90 delite z N. Zakaj izberemo N in ne N-1? Tako je, saj število izvedenih poskusov presega 30. Torej: 90/10=9. Dobili smo disperzijo. Če dobite drugo številko, ne obupajte. Najverjetneje ste naredili banalno napako pri izračunih. Še enkrat preveri, kaj si napisal, pa bo zagotovo vse na svoje mesto.
Na koncu se spomnimo formule pričakovanj. Ne bomo dali vseh izračunov, napisali bomo le odgovor, s katerim lahko preverite po zaključku vseh zahtevanih postopkov. Pričakovanje bo enako 5, 48. Spomnimo se le, kako izvajati operacije na primeru prvih elementov: 00, 02 + 10, 1… in tako naprej. Kot lahko vidite, preprosto pomnožimo vrednost izida z njegovo verjetnostjo.
Odstopanje
Drug koncept, ki je tesno povezan z varianco in pričakovano vrednostjo, jestandardni odklon. Označena je z latinskimi črkami sd ali z grškimi malimi črkami "sigma". Ta koncept kaže, kako v povprečju vrednosti odstopajo od osrednje značilnosti. Če želite najti njegovo vrednost, morate izračunati kvadratni koren variance.
Če zgradite graf normalne porazdelitve in želite neposredno na njem videti vrednost standardnega odklona, je to mogoče storiti v več fazah. Vzemite polovico slike levo ali desno od načina (srednja vrednost), narišite pravokotno na vodoravno os, tako da so površine nastalih številk enake. Vrednost segmenta med sredino porazdelitve in nastalo projekcijo na vodoravno os bo standardni odklon.
Programska oprema
Kot lahko vidite iz opisov formul in predstavljenih primerov, izračun variance in matematičnega pričakovanja z aritmetičnega vidika ni najlažji postopek. Da ne bi izgubljali časa, je smiselno uporabiti program, ki se uporablja v visokem šolstvu - imenuje se "R". Ima funkcije, ki vam omogočajo izračun vrednosti za številne koncepte iz statistike in teorije verjetnosti.
Na primer, definirate vektor vrednosti. To se naredi na naslednji način: vektor <-c(1, 5, 2…). Zdaj, ko morate izračunati nekaj vrednosti za ta vektor, napišete funkcijo in jo podate kot argument. Če želite najti varianco, boste morali uporabiti var. Njen primeruporaba: var(vektor). Nato samo pritisnete "enter" in dobite rezultat.
Za zaključek
Variance in matematično pričakovanje sta osnovna koncepta teorije verjetnosti, brez katerih je težko kaj izračunati v prihodnosti. V glavnem tečaju predavanj na univerzah se upoštevajo že v prvih mesecih študija predmeta. Prav zaradi nerazumevanja teh preprostih konceptov in nezmožnosti njihovega izračuna, mnogi študenti takoj začnejo zaostajati v programu in kasneje ob koncu predavanja dobijo slabe ocene, kar jim prikrajša štipendijo.
Vsaj en teden vadite pol ure na dan in rešujete težave, podobne tistim, predstavljenim v tem članku. Potem se boste pri katerem koli testu teorije verjetnosti spopadli s primeri brez odvečnih nasvetov in goljufij.
