Mehanski sistem, ki je sestavljen iz materialne točke (telesa), ki visi na neraztegljivi breztežni niti (njegova masa je zanemarljiva v primerjavi s težo telesa) v enotnem gravitacijskem polju, se imenuje matematično nihalo (drugo ime je oscilator). Obstajajo tudi druge vrste te naprave. Namesto niti se lahko uporabi breztežna palica. Matematično nihalo lahko jasno razkrije bistvo številnih zanimivih pojavov. Z majhno amplitudo nihanja se njegovo gibanje imenuje harmonično.
Pregled mehanskega sistema
Formulo za obdobje nihanja tega nihala je izpeljal nizozemski znanstvenik Huygens (1629-1695). Temu sodobniku I. Newtona je bil ta mehanski sistem zelo všeč. Leta 1656 je ustvaril prvo uro z nihalom. Merili so čas z izjemnoza tiste čase natančnost. Ta izum je postal pomemben mejnik v razvoju fizičnih eksperimentov in praktičnih dejavnosti.
Če je nihalo v ravnotežju (visi navpično), bo sila gravitacije uravnotežena s silo napetosti niti. Ravno nihalo na neraztegljivi niti je sistem z dvema stopnjama svobode s povezavo. Ko spremenite samo eno komponento, se spremenijo lastnosti vseh njenih delov. Torej, če se nit nadomesti s palico, bo imel ta mehanski sistem samo 1 stopnjo svobode. Kakšne so lastnosti matematičnega nihala? V tem najpreprostejšem sistemu kaos nastane pod vplivom periodične motnje. V primeru, ko se točka obešanja ne premika, ampak niha, ima nihalo nov ravnotežni položaj. S hitrimi nihanji navzgor in navzdol ta mehanski sistem pridobi stabilen obrnjen položaj. Ima tudi svoje ime. Imenuje se Kapicino nihalo.
Lastnosti nihala
Matematično nihalo ima zelo zanimive lastnosti. Vse to potrjujejo znani fizikalni zakoni. Obdobje nihanja katerega koli drugega nihala je odvisno od različnih okoliščin, kot so velikost in oblika telesa, razdalja med točko obešanja in težiščem, porazdelitev mase glede na to točko. Zato je določitev obdobja visečega telesa precej težka naloga. Veliko lažje je izračunati obdobje matematičnega nihala, katerega formula bo podana spodaj. Kot rezultat opazovanj podobnihmehanski sistemi lahko vzpostavijo naslednje vzorce:
• Če ob ohranjanju enake dolžine nihala obesimo različne uteži, bo obdobje njihovih nihanj enaka, čeprav se bodo njihove mase močno razlikovale. Zato obdobje takega nihala ni odvisno od mase tovora.
• Ob zagonu sistema, če se nihalo odkloni za ne prevelike, a različne kote, bo začelo nihati z isto obdobje, vendar z različnimi amplitudami. Dokler odstopanja od ravnotežnega središča niso prevelika, bodo nihanja po svoji obliki precej blizu harmoničnim. Perioda takšnega nihala nikakor ni odvisna od amplitude nihanja. Ta lastnost tega mehanskega sistema se imenuje izokronizem (v prevodu iz grščine "chronos" - čas, "isos" - enak).
Obdobje matematičnega nihala
Ta indikator predstavlja obdobje naravnih nihanj. Kljub zapletenemu besedilu je sam postopek zelo preprost. Če je dolžina niti matematičnega nihala L in je pospešek prostega pada g, potem je ta vrednost:
T=2π√L/g
Obdobje majhnih naravnih nihanj nikakor ni odvisno od mase nihala in amplitude nihanja. V tem primeru se nihalo premika kot matematično nihalo z zmanjšano dolžino.
Zamahi matematičnega nihala
Matematično nihalo niha, kar lahko opišemo s preprosto diferencialno enačbo:
x + ω2 sin x=0, kjer je x (t) neznana funkcija (to je kot odstopanja od spodnjegaravnotežni položaj v času t, izražen v radianih); ω je pozitivna konstanta, ki se določi iz parametrov nihala (ω=√g/L, kjer je g pospešek prostega padca in L dolžina matematičnega nihala (vzmetenja).
Enčba majhnih nihanj blizu ravnotežnega položaja (harmonična enačba) izgleda takole:
x + ω2 sin x=0
Nihajna gibanja nihala
Matematično nihalo, ki povzroča majhna nihanja, se premika po sinusoidi. Diferencialna enačba drugega reda izpolnjuje vse zahteve in parametre takšnega gibanja. Za določitev trajektorije morate določiti hitrost in koordinate, iz katerih se nato določijo neodvisne konstante:
x=greh (θ0 + ωt), kjer je θ0 začetna faza, A je amplituda nihanja, ω je ciklična frekvenca, določena iz enačbe gibanja.
Matematično nihalo (formule za velike amplitude)
Ta mehanski sistem, ki svoje nihanje izvaja s pomembno amplitudo, je podrejen bolj zapletenim zakonom gibanja. Za takšno nihalo se izračunajo po formuli:
sin x/2=usn(ωt/u), kjer je sn Jakobijev sinus, ki je za u < 1 periodična funkcija, pri majhnem u pa sovpada s preprostim trigonometričnim sinusom. Vrednost u je določena z naslednjim izrazom:
u=(ε + ω2)/2ω2, kjer je ε=E/mL2 (mL2 je energija nihala).
Določanje obdobja nihanja nelinearnega nihalaizvede se po formuli:
T=2π/Ω, kjer je Ω=π/2ω/2K(u), K je eliptični integral, π - 3, 14.
Premikanje nihala vzdolž ločnice
Separatrika je trajektorija dinamičnega sistema z dvodimenzionalnim faznim prostorom. Po njem se matematično nihalo giblje neperiodično. V neskončno oddaljenem trenutku pade iz skrajnega zgornjega položaja na stran z ničelno hitrostjo, nato pa ga postopoma dvigne. Sčasoma se ustavi in se vrne v prvotni položaj.
Če se amplituda nihanja nihala približa številki π, to pomeni, da se gibanje na fazni ravnini približuje separatriki. V tem primeru pod delovanjem majhne pogonske periodične sile mehanski sistem kaže kaotično obnašanje.
Ko matematično nihalo odstopi od ravnotežnega položaja za določen kot φ, nastane tangencialna sila teže Fτ=–mg sin φ. Znak minus pomeni, da je ta tangencialna komponenta usmerjena v nasprotni smeri od upogiba nihala. Ko označimo premik nihala vzdolž loka kroga s polmerom L z x, je njegov kotni premik enak φ=x/L. Drugi zakon Isaaca Newtona, zasnovan za projekcije vektorja pospeška in sile, bo dal želeno vrednost:
mg τ=Fτ=–mg sin x/L
Na podlagi tega razmerja je jasno, da je to nihalo nelinearen sistem, saj je sila, ki se želi vrnitito na ravnotežni položaj, vedno ni sorazmerno s premikom x, ampak s sin x/L.
Šele ko matematično nihalo naredi majhna nihanja, je to harmonični oscilator. Z drugimi besedami, postane mehanski sistem, ki je sposoben izvajati harmonične vibracije. Ta približek praktično velja za kote 15–20°. Nihanja nihala z velikimi amplitudami niso harmonična.
Newtonov zakon za majhna nihanja nihala
Če ta mehanski sistem izvaja majhne vibracije, bo Newtonov 2. zakon videti takole:
mg τ=Fτ=–m g/L x.
Na podlagi tega lahko sklepamo, da je tangencialni pospešek matematičnega nihala sorazmeren z njegovim premikom s predznakom minus. To je pogoj, zaradi katerega sistem postane harmonični oscilator. Modul sorazmernega dobička med premikom in pospeškom je enak kvadratu krožne frekvence:
ω02=g/L; ω0=√ g/L.
Ta formula odraža naravno frekvenco majhnih nihanj te vrste nihala. Na podlagi tega
T=2π/ ω0=2π√ g/L.
Izračuni na podlagi zakona ohranjanja energije
Lastnosti nihajnih gibov nihala lahko opišemo tudi z uporabo zakona o ohranjanju energije. V tem primeru je treba upoštevati, da je potencialna energija nihala v gravitacijskem polju:
E=mg∆h=mgL(1 – cos α)=mgL2sin2 α/2
Popolna mehanska energijaje enak kinetičnemu ali največjemu potencialu: Epmax=Ekmsx=E
Ko je zakon o ohranjanju energije napisan, vzemite izvod desne in leve strani enačbe:
Ep + Ek=const
Ker je izpeljanka konstantnih vrednosti 0, potem je (Ep + Ek)'=0. Izpeljanka vsote je enaka vsoti izpeljank:
Ep'=(mg/Lx2/2)'=mg/2L2xx'=mg/Lv + Ek'=(mv2/2)=m/2(v2)'=m/22vv'=mv α, torej:
Mg/Lxv + mva=v (mg/Lx + m α)=0.
Na podlagi zadnje formule najdemo: α=- g/Lx.
Praktična uporaba matematičnega nihala
Pospešek prostega padca se razlikuje glede na geografsko širino, saj gostota zemeljske skorje po vsem planetu ni enaka. Kjer se pojavljajo kamnine z večjo gostoto, bo ta nekoliko višja. Pospešek matematičnega nihala se pogosto uporablja za geološka raziskovanja. Uporablja se za iskanje različnih mineralov. Preprosto s štetjem zamaha nihala lahko najdete premog ali rudo v črevesju Zemlje. To je posledica dejstva, da imajo takšni fosili večjo gostoto in maso od ohlapnih kamnin, ki ležijo pod njimi.
Matematično nihalo so uporabljali tako ugledni znanstveniki, kot so Sokrat, Aristotel, Platon, Plutarh, Arhimed. Mnogi od njih so verjeli, da lahko ta mehanski sistem vpliva na usodo in življenje osebe. Arhimed je pri svojih izračunih uporabil matematično nihalo. Dandanes je veliko okultistov in jasnovidcevuporabite ta mehanski sistem za izpolnitev njihovih prerokb ali iskanje pogrešanih ljudi.
Sloviti francoski astronom in naravoslovec K. Flammarion je za svoje raziskave uporabil tudi matematično nihalo. Trdil je, da je z njegovo pomočjo lahko napovedal odkritje novega planeta, pojav tunguškega meteorita in druge pomembne dogodke. Med drugo svetovno vojno je v Nemčiji (Berlin) deloval specializiran Inštitut za nihala. Danes se s podobnimi raziskavami ukvarja münchenski inštitut za parapsihologijo. Zaposleni v tej ustanovi svoje delo z nihalom imenujejo "radiestezija".
