Premikanje telesa pod kotom proti obzorju: formule, izračun dosega leta in največje vzletne višine

2024 Avtor: Angel Austin | [email protected]. Nazadnje spremenjeno: 2023-12-17 05:41

Pri preučevanju mehanskega gibanja v fiziki, potem ko se seznanijo z enakomernim in enakomerno pospešenim gibanjem predmetov, nadaljujejo z obravnavanjem gibanja telesa pod kotom na obzorje. V tem članku bomo to vprašanje podrobneje preučili.

Kakšno je gibanje telesa pod kotom na obzorje?

Ta vrsta premikanja predmeta se zgodi, ko oseba vrže kamen v zrak, top izstreli topovsko žogo ali vratar iz vrat udari nogometno žogo. Vse takšne primere obravnava balistična znanost.

Opomena vrsta gibanja predmetov v zraku se pojavi vzdolž parabolični poti. V splošnem primeru izvedba ustreznih izračunov ni lahka naloga, saj je treba upoštevati zračni upor, vrtenje telesa med letom, vrtenje Zemlje okoli svoje osi in nekatere druge dejavnike.

V tem članku ne bomo upoštevali vseh teh dejavnikov, ampak obravnavamo vprašanje s čisto teoretičnega vidika. Vendar so nastale formule precej dobreopišite poti teles, ki se premikajo na kratke razdalje.

Pridobivanje formul za obravnavano vrsto gibanja

Izpeljimo formule za gibanje telesa proti obzorju pod kotom. V tem primeru bomo upoštevali samo eno silo, ki deluje na leteči predmet - gravitacijo. Ker deluje navpično navzdol (vzporedno z osjo y in proti njej), potem lahko glede na vodoravno in navpično komponento gibanja rečemo, da bo imela prva značaj enakomernega pravokotnega gibanja. In drugo - enako počasno (enakomerno pospešeno) pravolinijsko gibanje s pospeškom g. To pomeni, da bodo komponente hitrosti skozi vrednost v₀ (začetna hitrost) in θ (kot smeri gibanja telesa) zapisane na naslednji način:

v_x=v₀cos(θ)

v_y=v₀sin(θ)-gt

Prva formula (za v_x) je vedno veljavna. Pri drugem pa velja opozoriti na en odtenek: pred zmnožkom gt je predznak minus postavljen le, če je navpična komponenta v₀sin(θ) usmerjena navzgor. V večini primerov se to zgodi, če telo vržete z višine in ga usmerite navzdol, potem morate v izrazu za v_y postaviti znak "+" pred g t.

Z integracijo formul za komponente hitrosti skozi čas in ob upoštevanju začetne višine h leta telesa dobimo enačbe za koordinate:

x=v₀cos(θ)t

y=h+v₀sin(θ)t-gt²/2

Izračunaj doseg leta

Če v fiziki upoštevamo gibanje telesa proti obzorju pod kotom, ki je uporaben za praktično uporabo, se izkaže, da izračunamo doseg letenja. Definirajmo ga.

Ker je to gibanje enakomerno gibanje brez pospeška, je dovolj, da vanj nadomestimo čas letenja in dobimo želeni rezultat. Domet letenja je določen izključno s gibanjem vzdolž osi x (vzporedno z obzorjem).

Čas, ko je telo v zraku, lahko izračunamo tako, da koordinato y enačimo z nič. Imamo:

0=h+v₀sin(θ)t-gt²/2

Ta kvadratna enačba je rešena z diskriminanto, dobimo:

D=b²- 4ac=v₀²sin ²(θ) - 4(-g/2)h=v₀² sin²(θ) + 2gh, t=(-b±√D)/(2a)=(-v₀sin(θ)±√(v₀ ²sin²(θ) + 2gh))/(-2g/2)=

=(v₀sin(θ)+√(v₀² sin²(θ) + 2gh))/g.

V zadnjem izrazu je en koren z znakom minus zavržen zaradi njegove nepomembne fizične vrednosti. Če zamenjamo čas letenja t v izraz za x, dobimo razpon leta l:

l=x=v₀cos(θ)(v₀sin(θ)+√(v ₀²sin²(θ) + 2gh))/g.

Najlažji način za analizo tega izraza je, če je začetna višinaje enak nič (h=0), potem dobimo preprosto formulo:

l=v ₀²sin(2θ)/g

Ta izraz označuje, da je največji doseg leta mogoče doseči, če je telo vrženo pod kotom 45^o(sin(245^o )=m1).

Največja telesna višina

Poleg dosega leta je koristno najti tudi višino nad tlemi, na katero se telo lahko dvigne. Ker je to gibanje opisano s parabolo, katere veje so usmerjene navzdol, je največja višina dviga njen ekstrem. Slednje se izračuna z reševanjem enačbe za izpeljanko glede na t za y:

dy/dt=d(h+v₀sin(θ)t-gt²/2)/dt=v₀sin(θ)-gt=0=>

=>t=v₀sin(θ)/g.

Zamenjaj ta čas v enačbo za y, dobimo:

y=h+v₀sin(θ)v₀sin(θ)/g-g(v ₀sin(θ)/g)²/2=h + v₀ ²sin²(θ)/(2g).

Ta izraz označuje, da se bo telo dvignilo na največjo višino, če ga vržete navpično navzgor (sin²(90^o)=1).