Telo, vrženo pod kotom proti obzorju: vrste poti, formule

2024 Avtor: Angel Austin | [email protected]. Nazadnje spremenjeno: 2023-12-17 05:41

Vsak od nas je metal kamenje v nebo in opazoval pot njihovega padca. To je najpogostejši primer gibanja togega telesa v polju gravitacijskih sil našega planeta. V tem članku bomo obravnavali formule, ki so lahko uporabne za reševanje problemov o prostem gibanju telesa, vrženega na obzorje pod kotom.

Koncept premikanja proti obzorju pod kotom

Ko nekemu trdnemu predmetu damo začetno hitrost in začne pridobivati višino, nato pa spet pade na tla, je splošno sprejeto, da se telo giblje po parabolični poti. Dejansko rešitev enačb za to vrsto gibanja kaže, da je črta, ki jo opisuje telo v zraku, del elipse. Vendar pa se za praktično uporabo parabolični približek izkaže za zelo priročen in vodi do natančnih rezultatov.

Primeri gibanja telesa, vrženega pod kotom proti obzorju, so izstrelitev izstrelka iz topovskega naboda, brcanje žoge in celo skakanje kamenčkov po gladini vode (»krastače«), ki so potekalomednarodna tekmovanja.

Vrsto gibanja pod kotom preučuje balistika.

Lastnosti obravnavane vrste gibanja

Če upoštevamo trajektorijo telesa v polju zemeljskih gravitacijskih sil, veljajo naslednje trditve:

• poznavanje začetne višine, hitrosti in kota proti obzorju vam omogoča, da izračunate celotno pot;
• odhodni kot je enak vpadnemu kotu telesa, pod pogojem, da je začetna višina nič;
• navpični premik se lahko obravnava neodvisno od vodoravnega gibanja;

Upoštevajte, da te lastnosti veljajo, če je sila trenja med letom telesa zanemarljiva. V balistiki se pri preučevanju letenja izstrelkov upošteva veliko različnih dejavnikov, vključno s trenjem.

Vrste paraboličnega gibanja

Odvisno od višine, s katere se gibanje začne, na kateri višini se konča in kako je usmerjena začetna hitrost, ločimo naslednje vrste paraboličnega gibanja:

• Popolna parabola. V tem primeru se telo vrže s površine zemlje in pade na to površino, kar opisuje popolno parabolo.
• Polovica parabole. Tak graf gibanja telesa opazimo, če ga vržemo z določene višine h, pri čemer hitrost v usmerja vzporedno z obzorjem, to je pod kotom θ=0^o.
• Del parabole. Takšne poti nastanejo, ko je telo vrženo pod nekim kotom θ≠0^o in razlikazačetna in končna višina prav tako nista nič (h-h₀≠0). Večina poti gibanja objektov je te vrste. Na primer, strel iz topa, ki stoji na hribu, ali košarkar, ki vrže žogo v koš.

Graf gibanja telesa, ki ustreza polni paraboli, je prikazan zgoraj.

Obvezne formule za izračun

Dajmo formule za opis gibanja telesa, vrženega pod kotom na obzorje. Če zanemarimo silo trenja in upoštevamo samo silo gravitacije, lahko zapišemo dve enačbi za hitrost predmeta:

v_x=v₀cos(θ)

v_y=v₀sin(θ) - gt

Ker je gravitacija usmerjena navpično navzdol, ne spremeni vodoravne komponente hitrosti v_x, zato v prvi enakosti ni časovne odvisnosti. Na komponento v_y pa vpliva gravitacija, ki daje g pospešek telesu, usmerjenemu proti tlom (od tod znak minus v formuli).

Sedaj napišemo formule za spreminjanje koordinat telesa, vrženega pod kotom proti obzorju:

x=x₀+v₀cos(θ)t

y=y₀+ v₀sin(θ)t - gt² /2

Začetna koordinata x₀pogosto se domneva, da je nič. Koordinata y₀ ni nič drugega kot višina h, s katere je telo vrženo (y₀=h).

Zdaj izrazimo čas t iz prvega izraza in ga nadomestimo z drugim, dobimo:

y=h + tg(θ)x - g /(2v₀²cos ²(θ))x²

Ta izraz v geometriji ustreza paraboli, katere veje so usmerjene navzdol.

Zgornje enačbe zadostujejo za določitev kakršnih koli značilnosti te vrste gibanja. Njihova rešitev torej vodi v dejstvo, da je največji doseg letenja dosežen, če je θ=45^o, medtem ko je največja višina, na katero se vrže telo dvigne, dosežena pri θ=90o.