Kaj so spremenljivke? Spremenljivka v matematiki

2024 Avtor: Angel Austin | [email protected]. Nazadnje spremenjeno: 2024-01-02 17:55

Pomen spremenljivk v matematiki je velik, saj so znanstveniki v času njenega obstoja uspeli narediti številna odkritja na tem področju, in da bi na kratko in jasno izrazili ta ali oni izrek, uporabljamo spremenljivke za pisanje ustreznih formul. Na primer, Pitagorejev izrek o pravokotnem trikotniku: a² =b² + c^{2. Kako pisati vsakič pri reševanju problema: po Pitagorejevem izreku je kvadrat hipotenuze enak vsoti kvadratov katete - to zapišemo s formulo in vse takoj postane jasno.}

V tem članku bomo razpravljali o tem, kaj so spremenljivke, njihove vrste in lastnosti. Upoštevani bodo tudi različni matematični izrazi: neenakosti, formule, sistemi in algoritmi za njihovo reševanje.

Spremenljiv koncept

Najprej, kaj je spremenljivka? To je številčna vrednost, ki lahko prevzame več vrednosti. Ne more biti konstanten, saj v različnih problemih in enačbah za udobje vzamemo rešitve kotspremenljivka različna števila, to je, na primer, z je splošna oznaka za vsako od količin, za katere se vzame. Običajno so označene s črkami latinske ali grške abecede (x, y, a, b itd.).

Obstajajo različne vrste spremenljivk. Določijo tako nekatere fizične količine - pot (S), čas (t) kot preprosto neznane vrednosti v enačbah, funkcijah in drugih izrazih.

Na primer, obstaja formula: S=Vt. Tukaj spremenljivke označujejo določene količine, povezane z resničnim svetom – pot, hitrost in čas.

In obstaja enačba v obliki: 3x - 16=12x. Tukaj je x že vzet kot abstraktno število, ki je v tem zapisu smiselno.

Vrste količin

Količina pomeni nekaj, kar izraža lastnosti določenega predmeta, snovi ali pojava. Na primer temperatura zraka, teža živali, odstotek vitaminov v tableti - vse to so količine, katerih številčne vrednosti je mogoče izračunati.

Vsaka količina ima svoje merske enote, ki skupaj tvorijo sistem. Imenuje se številski sistem (SI).

Kaj so spremenljivke in konstante? Razmislite jih s konkretnimi primeri.

Vzemimo pravolinijsko enakomerno gibanje. Točka v prostoru se vsakič premika z enako hitrostjo. To pomeni, da se čas in razdalja spreminjata, hitrost pa ostaja enaka. V tem primeru sta čas in razdalja spremenljivki, hitrost pa konstantna.

Ali na primer »pi«. To je iracionalno število, ki se nadaljuje brez ponavljanjazaporedje števk in ga ni mogoče zapisati v celoti, zato je v matematiki izražen s splošno sprejetim simbolom, ki vzame samo vrednost danega neskončnega ulomka. To pomeni, da je "pi" konstantna vrednost.

Zgodovina

Zgodovina zapisa spremenljivk se začne v sedemnajstem stoletju z znanstvenikom Renéjem Descartesom.

Poznane vrednosti je označil s prvimi črkami abecede: a, b in tako naprej, za neznane pa je predlagal uporabo zadnjih črk: x, y, z. Omeniti velja, da je Descartes takšne spremenljivke smatral za nenegativna števila in je ob negativnih parametrih pred spremenljivko postavil znak minus ali, če ni bilo znano, kakšen predznak je številka, elipso. Toda sčasoma so imena spremenljivk začela označevati številke katerega koli predznaka in to se je začelo z matematikom Johannom Huddejem.

S spremenljivkami je matematične izračune lažje rešiti, kajti, na primer, kako zdaj rešujemo bikvadratne enačbe? Vnesemo spremenljivko. Na primer:

x⁴ + 15x^{2 + 7=0}

Za x2 vzamemo nekaj k in enačba postane jasna:

x2=k, za k ≧ 0

k2 + 15k + 7=0

To je tisto, kar prinese uvedba spremenljivk v matematiko.

Neenakosti, primeri rešitev

Neenakost je zapis, v katerem sta dva matematična izraza ali dve številki povezani s primerjalnimi znaki:, ≦, ≧. So strogi in označeni z znaki ali nestrogi z znaki ≦, ≧.

Prvič uvedeni ti znakiThomas Harriot. Po Thomasovi smrti je bila objavljena njegova knjiga s temi zapisi, matematikom so bili všeč in sčasoma so postali široko uporabljeni v matematičnih izračunih.

Pri reševanju neenakosti ene spremenljivke je treba upoštevati več pravil:

Pri prenosu števila iz enega dela neenakosti v drugega spremenite njegov predznak v nasprotni.
Pri množenju ali deljenju delov neenakosti z negativnim številom se njihovi predznaki obrnejo.
Če obe strani neenakosti pomnožite ali delite s pozitivnim številom, dobite neenakost, ki je enaka prvotni.

Rešitev neenakosti pomeni iskanje vseh veljavnih vrednosti za spremenljivko.

Primer ene spremenljivke:

10x - 50 > 150

Rešimo jo kot običajno linearno enačbo - člene s spremenljivko premaknemo v levo, brez spremenljivke - v desno in podamo podobne izraze:

10x > 200

Obe strani neenakosti delimo z 10 in dobimo:

x > 20

Za jasnost v primeru reševanja neenakosti z eno spremenljivko narišite številsko premico, na njej označite prebodeno točko 20, saj je neenakost stroga in to število ni vključeno v nabor njenih rešitev.

Rešitev te neenakosti je interval (20; +∞).

Rešitev nestroge neenakosti se izvede na enak način kot stroga:

6x - 12 ≧ 18

6x ≧ 30

x ≧ 5

Vendar obstaja ena izjema. Zapis v obliki x ≧ 5 je treba razumeti takole: x je večji ali enak pet, kar pomeništevilo pet je vključeno v množico vseh rešitev neenakosti, torej pri zapisovanju odgovora pred številko pet postavimo oglati oklepaj.

x ∈ [5; +∞)

Kvadratne neenakosti

Če vzamemo kvadratno enačbo v obliki ax2 + bx +c=0 in v njej spremenimo predznak enakosti v znak neenakosti, dobimo ustrezno kvadratna neenakost.

Če želite rešiti kvadratno neenakost, morate biti sposobni reševati kvadratne enačbe.

y=ax2 + bx + c je kvadratna funkcija. Rešimo ga lahko z diskriminanto ali z uporabo Vietinega izreka. Spomnimo se, kako so rešene te enačbe:

1) y=x2 + 12x + 11 - funkcija je parabola. Njegove veje so usmerjene navzgor, saj je predznak koeficienta "a" pozitiven.

2) x2 + 12x + 11=0 - enak nič in reši z diskriminanto.

a=1, b=12, c=11

D=b2 - 4ac=144 - 44=100 > 0, 2 korena

Po formuli korenin kvadratne enačbe dobimo:

x₁ =-1, x_2=-11

Ali pa bi to enačbo lahko rešili z uporabo Vietinega izreka:

x₁ + x₂ =-b/a, x₁ + x _2=-12

x₁x₂ =c/a, x₁x₂₌₁₁

Z izbirno metodo dobimo enake korene enačbe.

Parabola

Torej, prvi način reševanja kvadratne neenakosti je parabola. Algoritem za rešitev je naslednji:

1. Ugotovite, kam so usmerjene veje parabole.

2. Funkcijo izenačite z nič in poiščite korenine enačbe.

3. Zgradimo številsko premico, na njej označimo korenine, narišemo parabolo in poiščemo vrzel, ki jo potrebujemo, odvisno od predznaka neenakosti.

Rešite neenakost x2 + x - 12 > 0

Zapiši kot funkcijo:

1) y=x2 + x - 12 - parabola, veje navzgor.

Nastavljeno na nič.

2) x2 + x -12=0

Naprej rešimo kot kvadratno enačbo in poiščemo ničle funkcije:

x₁ =3, x_2=-4

3) Nariši številsko premico s točkama 3 in -4 na njej. Parabola bo šla skozi njih, se razvejala in odgovor na neenakost bo niz pozitivnih vrednosti, to je (-∞; -4), (3; +∞).

Intervalna metoda

Drugi način je metoda razmikov. Algoritem za rešitev:

1. Poiščite korenine enačbe, pri kateri je neenakost enaka nič.

2. Označimo jih na številski premici. Tako je razdeljen na več intervalov.

3. Določite predznak katerega koli intervala.

4. V preostalih intervalih postavimo znake in jih po enem zamenjamo.

Rešite neenakost (x - 4)(x - 5)(x + 7) ≦ 0

1) Ničele neenakosti: 4, 5 in -7.

2) Nariši jih na številski premici.

3) Določite znake intervalov.

Odgovor: (-∞; -7]; [4; 5].

Reši še eno neenakost: x2(3x - 6)(x + 2)(x - 1) > 0

1. Ničele neenakosti: 0, 2, -2 in 1.

2. Označite jih na številski premici.

3. Določite intervalne znake.

Vrtica je razdeljena na intervale - od -2 do 0, od 0 do 1, od 1 do 2.

Vzemite vrednost na prvem intervalu - (-1). Nadomestek v neenakosti. S to vrednostjo postane neenakost pozitivna, kar pomeni, da bo predznak na tem intervalu +.

Naprej, začenši od prve vrzeli, razporedimo znake in jih zamenjamo za enim.

Neenakost je večja od nič, to pomeni, da morate na vrstici najti niz pozitivnih vrednosti.

Odgovor: (-2; 0), (1; 2).

Sistemi enačb

Sistem enačb z dvema spremenljivkama sta dve enačbi, združeni z zavitim oklepajem, za katere je treba najti skupno rešitev.

Sistemi so lahko enakovredni, če je splošna rešitev enega od njih rešitev drugega ali pa oba nimata rešitev.

Preučili bomo rešitve sistemov enačb z dvema spremenljivkama. Obstajata dva načina za njihovo reševanje - substitucijska metoda ali algebraična metoda.

Algebraična metoda

Če želite s to metodo rešiti sistem, prikazan na sliki, morate najprej enega od njegovih delov pomnožiti s takšnim številom, da boste kasneje lahko vzajemno preklicali eno spremenljivko iz obeh delov enačbe. Tukaj pomnožimo s tri, narišemo črto pod sistemom in seštejemo njegove dele. Posledično postanejo x po modulu enaki, vendar nasprotni po predznaku, in jih zmanjšamo. Nato dobimo linearno enačbo z eno spremenljivko in jo rešimo.

Našli smo Y, vendar se tu ne moremo ustaviti, ker X še nismo našli. NadomestekY na del, iz katerega bo primerno umakniti X, na primer:

-x + 5y=8, z y=1

-x + 5=8

Rešite dobljeno enačbo in poiščite x.

-x=-5 + 8

-x=3

x=-3

Glavna stvar pri rešitvi sistema je pravilno zapisati odgovor. Mnogi študenti naredijo napako pri pisanju:

Odgovor: -3, 1.

Toda to je napačen vnos. Konec koncev, kot že omenjeno, pri reševanju sistema enačb iščemo splošno rešitev za njegove dele. Pravilen odgovor bi bil:

(-3; 1)