Matrike in determinante so bile odkrite v osemnajstem in devetnajstem stoletju. Sprva se je njihov razvoj nanašal na preoblikovanje geometrijskih objektov in reševanje sistemov linearnih enačb. Zgodovinsko gledano je bil zgodnji poudarek na determinanti. Pri sodobnih metodah obdelave linearne algebre se najprej upoštevajo matrike. O tem vprašanju je vredno razmisliti nekaj časa.
Odgovori s tega področja znanja
Matrike zagotavljajo teoretično in praktično uporaben način za reševanje številnih problemov, kot so:
- sistemi linearnih enačb;
- ravnovesje trdnih snovi (v fiziki);
- teorija grafov;
- Leontiefov ekonomski model;
- gozdarstvo;
- računalniška grafika in tomografija;
- genetika;
- kriptografija;
- električna omrežja;
- fraktal.
Pravzaprav ima matrična algebra za "lubake" poenostavljeno definicijo. Izraža se takole: to je znanstveno področje znanja, na kateremzadevne vrednote se preučujejo, analizirajo in v celoti raziščejo. V tem delu algebre se preučujejo različne operacije na preučevanih matrikah.
Kako delati z matricami
Te vrednosti se štejejo za enake, če imajo enake dimenzije in je vsak element enega enak ustreznemu elementu drugega. Matriko je mogoče pomnožiti s katero koli konstanto. To dano se imenuje skalarno množenje. Primer: 2=[1234]=[2⋅12⋅32⋅22⋅4]=[2468].
Matrike enake velikosti lahko dodajate in odštevate z vhodi, vrednosti združljivih velikosti pa je mogoče pomnožiti. Primer: dodajte dve A in B: A=[21−10]B=[1423]. To je mogoče, ker sta A in B obe matriki z dvema vrsticama in enakim številom stolpcev. Vsak element v A je treba dodati ustreznemu elementu v B: A+B=[2+11+2−1+40+3]=[3333]. Matrice se v algebri odštejejo na enak način.
Množenje matrik deluje nekoliko drugače. Poleg tega je lahko veliko primerov in možnosti, pa tudi rešitev. Če pomnožimo matriko Apq in Bmn, potem je produkt Ap×q+Bm×n=[AB]p×n. Vnos v g-ti vrstici in h-em stolpcu AB je vsota zmnožka ustreznih vnosov v g A in h B. Dve matriki je mogoče pomnožiti le, če je število stolpcev v prvi in vrstic v drugi so enaki. Primer: izpolnite pogoj za obravnavana A in B: A=[1−130]B=[2−11214]. To je mogoče, ker prva matrika vsebuje 2 stolpca, druga pa 2 vrstici. AB=[1⋅2+3⋅−1−1⋅2+0⋅−11⋅1+3⋅2−1⋅1+0⋅21⋅1+3⋅4−1⋅1+0⋅4]=[−1−27−113−1].
Osnovne informacije o matricah
Zadevne vrednosti organizirajo informacije, kot so spremenljivke in konstante, ter jih shranijo v vrstice in stolpce, ki se običajno imenujejo C. Vsaka pozicija v matriki se imenuje element. Primer: C=[1234]. Sestavljen je iz dveh vrstic in dveh stolpcev. Element 4 je v vrstici 2 in stolpcu 2. Običajno lahko matriko poimenujete po njenih dimenzijah, tista z imenom Cmk ima m vrstic in k stolpcev.
razširjene matrice
Premisleki so neverjetno uporabne stvari, ki se pojavljajo na številnih različnih področjih uporabe. Matrice so prvotno temeljile na sistemih linearnih enačb. Glede na naslednjo strukturo neenakosti je treba upoštevati naslednjo dopolnjeno matriko:
2x + 3y – z=6
–x – y – z=9
x + y + 6z=0.
Zapišite koeficiente in vrednosti odgovorov, vključno z vsemi znaki minus. Če je element z negativno številko, bo enak "1". To pomeni, da je glede na sistem (linearnih) enačb z njim mogoče povezati matriko (mrežo številk v oklepajih). Je tista, ki vsebuje samo koeficiente linearnega sistema. To se imenuje "razširjena matrika". Mreža, ki vsebuje koeficiente z leve strani vsake enačbe, je bila "obložena" z odgovori z desne strani vsake enačbe.
Zapisi, to jevrednosti B matrike ustrezajo vrednostim x-, y- in z v izvirnem sistemu. Če je pravilno urejen, ga najprej preverite. Včasih morate preurediti izraze ali vstaviti ničle kot nadomestne oznake v matriki, ki se preučuje ali preučuje.
Ob upoštevanju naslednjega sistema enačb lahko takoj zapišemo povezano povečano matriko:
x + y=0
y + z=3
z – x=2.
Najprej ne pozabite preurediti sistem kot:
x + y=0
y + z=3
–x + z=2.
Potem je možno zapisati povezano matriko kot: [11000113-1012]. Pri oblikovanju razširjenega je vredno uporabiti nič za kateri koli zapis, kjer je ustrezno mesto v sistemu linearnih enačb prazno.
Matrična algebra: Lastnosti operacij
Če je potrebno oblikovati elemente samo iz vrednosti koeficientov, bo obravnavana vrednost videti takole: [110011-101]. To se imenuje "matrika koeficientov".
Ob upoštevanju naslednje razširjene matrične algebre jo je potrebno izboljšati in dodati pripadajoči linearni sistem. Ob tem si je treba zapomniti, da zahtevajo, da so spremenljivke dobro urejene in urejene. In običajno, če obstajajo tri spremenljivke, uporabite x, y in z v tem vrstnem redu. Zato bi moral biti povezan linearni sistem:
x + 3y=4
2y - z=5
3x + z=-2.
Velikost matrice
Zadevni predmeti se pogosto omenjajo glede na njihovo delovanje. Velikost matrike v algebri je podana kotmeritve, saj se prostor lahko imenuje drugače. Izmerjene mere vrednosti so vrstice in stolpci, ne širina in dolžina. Na primer, matrika A:
[1234]
[2345]
[3456].
Ker ima A tri vrstice in štiri stolpce, je velikost A 3 × 4.
→
↓
Črte gredo vstran. Stolpci gredo gor in dol. "Vrstica" in "stolpec" sta specifikaciji in nista zamenljivi. Velikosti matrik so vedno določene s številom vrstic in nato s številom stolpcev. Po tej konvenciji naslednje B:
[123]
[234] je 2 × 3. Če ima matrika enako število vrstic kot stolpcev, se imenuje "kvadrat". Na primer vrednosti koeficienta od zgoraj:
[110]
[011]
[-101] je kvadratna matrika 3×3.
Matrični zapis in oblikovanje
Opomba o oblikovanju: na primer, ko morate napisati matriko, je pomembno, da uporabite oklepaje . Vrstice absolutne vrednosti || se ne uporabljajo, ker imajo v tem kontekstu drugačno smer. Oklepaji ali kodrasti oklepaji {} se nikoli ne uporabljajo. Ali kakšen drug simbol za združevanje, ali pa ga sploh ni, saj te predstavitve nimajo pomena. V algebri je matrica vedno v oglatih oklepajih. Uporabiti je treba samo pravilen zapis, sicer se lahko odgovori štejejo za popačene.
Kot že omenjeno, se vrednosti, ki jih vsebuje matrika, imenujejo zapisi. Iz kakršnega koli razloga so zadevni elementi običajno napisanivelike črke, kot sta A ali B, in vnosi so navedeni z ustreznimi malimi črkami, vendar s podnapisi. V matriki A se vrednosti običajno imenujejo "ai, j", kjer je i vrstica A in j stolpec A. Na primer, a3, 2=8. Vnos za a1, 3 je 3.
Za manjše matrike, tiste z manj kot desetimi vrsticami in stolpci, je podnapisna vejica včasih izpuščena. Na primer, "a1, 3=3" bi lahko zapisali kot "a13=3". Očitno to ne bo delovalo za velike matrice, saj bo a213 nejasen.
Vrste matrik
Včasih razvrščeni glede na konfiguracijo zapisa. Na primer, takšna matrika, ki ima vse ničelne vnose pod diagonalo zgoraj levo-spodaj-desno "diagonalo", se imenuje zgornja trikotna. Med drugim lahko obstajajo tudi druge vrste in vrste, vendar niso zelo uporabne. Na splošno se večinoma dojema kot zgornji trikotnik. Vrednosti z neničelnimi eksponenti samo vodoravno se imenujejo diagonalne vrednosti. Podobni tipi imajo vnose, ki niso nič, v katerih so vsi 1, takšni odgovori se imenujejo identični (iz razlogov, ki bodo postali jasni, ko se naučimo in razumemo, kako pomnožiti zadevne vrednosti). Podobnih raziskovalnih kazalnikov je veliko. Identiteta 3 × 3 je označena z I3. Podobno je identiteta 4 × 4 I4.
Matrična algebra in linearni prostori
Upoštevajte, da so trikotne matrike kvadratne. Toda diagonale so trikotne. Glede na to sokvadratni. In identitete se štejejo za diagonale in zato trikotne in kvadratne. Ko je treba opisati matriko, običajno preprosto navedemo svojo najbolj specifično klasifikacijo, saj to pomeni vse ostale. Razvrstite naslednje možnosti raziskovanja:kot 3 × 4. V tem primeru niso kvadratne. Zato vrednosti ne morejo biti nič drugega. Naslednja razvrstitev:je možna kot 3 × 3. Vendar se šteje za kvadrat in v njem ni nič posebnega. Razvrstitev naslednjih podatkov:kot 3 × 3 zgornji trikotnik, vendar ni diagonalno. Res je, da so v obravnavanih vrednostih lahko dodatne ničle na ali nad lociranim in označenim prostorom. Razvrstitev, ki jo preučujemo, je nadalje: [0 0 1] [1 0 0] [0 1 0], kjer je predstavljena kot diagonala in poleg tega so vsi vnosi 1. Potem je to identiteta 3 × 3, I3.
Ker so analogne matrike po definiciji kvadratne, morate za iskanje njihovih dimenzij uporabiti samo en indeks. Da sta dve matriki enaki, morata imeti enak parameter in enake vnose na istih mestih. Recimo, da sta obravnavana dva elementa: A=[1 3 0] [-2 0 0] in B=[1 3] [-2 0]. Te vrednosti ne morejo biti enake, saj se razlikujejo po velikosti.
Tudi če sta A in B: A=[3 6] [2 5] [1 4] in B=[1 2 3] [4 5 6] - še vedno nista enaka ista stvar. A in B imata vsakšest vnosov in imajo tudi enake številke, vendar to ni dovolj za matrike. A je 3 × 2. In B je matrika 2 × 3. A za 3 × 2 ni 2 × 3. Ni pomembno, ali imata A in B enako količino podatkov ali celo enaka števila kot zapisi. Če A in B nista enake velikosti in oblike, vendar imata enake vrednosti na podobnih mestih, nista enaka.
Podobne operacije na obravnavanem območju
To lastnost matrične enakosti je mogoče spremeniti v naloge za neodvisno raziskovanje. Podani sta na primer dve matriki in označeno je, da sta enaki. V tem primeru boste morali uporabiti to enakost, da raziščete in dobite odgovore za vrednosti spremenljivk.
Primeri in rešitve matrik v algebri so lahko raznoliki, zlasti ko gre za enakosti. Glede na to, da upoštevamo naslednje matrike, je treba najti vrednosti x in y. Da sta A in B enaka, morata biti enake velikosti in oblike. Pravzaprav so takšne, ker je vsaka od njih 2 × 2 matrike. In na istih mestih bi morali imeti enake vrednosti. Potem mora biti a1, 1 enak b1, 1, a1, 2 mora biti enak b1, 2 itd. njih). Toda a1, 1=1 očitno ni enako b1, 1=x. Da je A identičen B, mora vnos imeti a1, 1=b1, 1, zato je lahko 1=x. Podobno so indeksi a2, 2=b2, 2, torej 4=y. Potem je rešitev: x=1, y=4. Glede na to, da je naslednjematrike so enake, morate najti vrednosti x, y in z. Da je A=B, morajo imeti koeficienti vse vnose enake. Se pravi, a1, 1=b1, 1, a1, 2=b1, 2, a2, 1=b2, 1 in tako naprej. Zlasti morate:
4=x
-2=y + 4
3=z / 3.
Kot lahko vidite iz izbranih matrik: z 1, 1-, 2, 2- in 3, 1-elementi. Če rešimo te tri enačbe, dobimo odgovor: x=4, y=-6 in z=9. Matrična algebra in matrične operacije se razlikujejo od tistih, ki so jih vsi vajeni, vendar jih ni mogoče ponoviti.
Dodatne informacije na tem področju
Linearna matrična algebra je študij podobnih nizov enačb in njihovih transformacijskih lastnosti. To področje znanja vam omogoča analiziranje rotacije v prostoru, približevanje najmanjših kvadratov, reševanje povezanih diferencialnih enačb, določanje kroga, ki poteka skozi tri dane točke, in reševanje številnih drugih problemov v matematiki, fiziki in tehnologiji. Linearna algebra matrike pravzaprav ni tehnični pomen uporabljene besede, to je vektorski prostor v nad poljem f itd.
Matrika in determinanta sta izjemno uporabni orodji linearne algebre. Ena od osrednjih nalog je rešitev matrične enačbe Ax=b, za x. Čeprav bi to teoretično lahko rešili z inverznim x=A-1 b. Druge metode, kot je Gaussova eliminacija, so številčno bolj zanesljive.
Poleg tega, da se uporablja za opis študija linearnih nizov enačb, je določenozgornji izraz se uporablja tudi za opis določene vrste algebre. Zlasti ima L nad poljem F strukturo obroča z vsemi običajnimi aksiomi za notranje seštevanje in množenje, skupaj z distribucijskimi zakoni. Zato mu daje več strukture kot obroč. Linearna matrična algebra dopušča tudi zunanjo operacijo množenja s skalarji, ki so elementi osnovnega polja F. Na primer, množica vseh obravnavanih transformacij iz vektorskega prostora V v samega sebe nad poljem F se oblikuje nad F. Drug primer linearne algebra je množica vseh realnih kvadratnih matrik nad poljem R realnih števil.
