V današnjem svetu vse pogosteje uporabljamo različne avtomobile in pripomočke. In ne samo takrat, ko je treba uporabiti dobesedno nečloveško moč: premakniti breme, ga dvigniti na višino, izkopati dolg in globok jarek itd. Avtomobile danes sestavljajo roboti, hrano pripravljajo multicookers, osnovni aritmetični izračuni pa so izvajajo kalkulatorji. Vse pogosteje slišimo izraz "Boolean algebra". Morda je čas, da razumemo vlogo človeka pri ustvarjanju robotov in sposobnost strojev, da rešujejo ne le matematične, ampak tudi logične probleme.
Logic
V prevodu iz grščine je logika urejen sistem razmišljanja, ki ustvarja odnose med danimi pogoji in vam omogoča sklepanje na podlagi premis in predpostavk. Precej pogosto se sprašujemo: "Je logično?" Prejeti odgovor potrjuje naše domneve ali kritizira tok misli. Toda proces se ne ustavi: še naprej razmišljamo.
Včasih je število pogojev (uvodnih) tako veliko, razmerja med njimi pa tako zapletena in zapletena, da človeški možgani niso sposobni »prebaviti« vsega naenkrat. Morda bo trajalo več kot en mesec (teden, leto), da razumete, kaj se dogaja. Ampaksodobno življenje nam ne daje takih časovnih intervalov za sprejemanje odločitev. In zatekamo k pomoči računalnikov. In tu se pojavi algebra logike s svojimi zakoni in lastnostmi. S prenosom vseh začetnih podatkov omogočimo računalniku, da prepozna vsa razmerja, odpravi protislovja in najde zadovoljivo rešitev.
Matematika in logika
Slavni Gottfried Wilhelm Leibniz je oblikoval koncept "matematične logike", katere probleme je razumel le ozek krog znanstvenikov. Ta smer ni vzbudila posebnega zanimanja in vse do sredine 19. stoletja je malo ljudi vedelo za matematično logiko.
Veliko zanimanje znanstvene skupnosti je povzročilo spor, v katerem je Anglež George Boole napovedal svojo namero, da ustvari vejo matematike, ki nima popolnoma nobene praktične uporabe. Kot se spominjamo iz zgodovine, se je takrat aktivno razvijala industrijska proizvodnja, razvijale so se vse vrste pomožnih strojev in strojnih orodij, torej so bila vsa znanstvena odkritja osredotočena na praktično.
Če pogledamo naprej, recimo, da je Boolova algebra najbolj uporabljen del matematike v sodobnem svetu. Tako je Bull izgubil argument.
George Buhl
Samo osebnost avtorja si zasluži posebno pozornost. Tudi glede na to, da so v preteklosti ljudje odraščali pred nami, je še vedno nemogoče ne omeniti, da je J. Buhl pri 16 letih poučeval v vaški šoli, pri 20 letih pa je odprl svojo šolo v Lincolnu. Matematik je tekoče govoril pet tujih jezikov, v prostem času pa je bral delaNewton in Lagrange. In vse to je o sinu preprostega delavca!
Leta 1839 je Boole prvič predložil svoje znanstvene prispevke v Cambridge Mathematical Journal. Znanstvenik je star 24 let. Booleovo delo je tako zanimalo člane Kraljeve družbe, da je leta 1844 prejel medaljo za svoj prispevek k razvoju matematične analize. Več objavljenih del, ki so opisovale elemente matematične logike, je mlademu matematiku omogočilo, da je prevzel mesto profesorja na Cork County College. Spomnimo se, da sam Buhl ni imel izobrazbe.
Ideja
Načeloma je Boolova algebra zelo preprosta. Obstajajo trditve (logični izrazi), ki jih je z vidika matematike mogoče opredeliti le z dvema besedama: »resnično« ali »napačno«. Na primer, spomladi drevesa cvetijo - res, poleti sneži - laž. Lepota te matematike je, da ni stroge potrebe po uporabi samo številk. Vse izjave z nedvoumnim pomenom so povsem primerne za algebro sodb.
Tako se lahko algebra logike uporablja dobesedno povsod: pri načrtovanju in pisanju navodil, analiziranju nasprotujočih si informacij o dogodkih in določanju zaporedja dejanj. Najpomembneje je razumeti, da je popolnoma nepomembno, kako ugotovimo resničnost ali napačnost izjave. Te "kako" in "zakaj" je treba abstrahirati. Pomembna je samo izjava o dejstvih: res-napačno.
Seveda so za programiranje pomembne funkcije algebre logike, ki jih zapišejo ustrezniznaki in simboli. In naučiti se jih pomeni obvladati nov tuji jezik. Nič ni nemogoče.
Osnovni koncepti in definicije
Ne da bi se poglobili, se ukvarjajmo s terminologijo. Torej Boolova algebra predpostavlja:
- izjave;
- logične operacije;
- funkcije in zakoni.
Izjave so vsi pritrdilni izrazi, ki jih ni mogoče razlagati dvoumno. Zapisane so kot številke (5 > 3) ali oblikovane z znanimi besedami (slon je največji sesalec). Hkrati ima besedna zveza "žirafa nima vratu" tudi pravico do obstoja, le Boolova algebra jo bo opredelila kot "lažno."
Vse izjave morajo biti nedvoumne, lahko pa so elementarne in sestavljene. Slednji uporabljajo logične veznike. To pomeni, da so v algebri sodb sestavljeni stavki sestavljeni z dodajanjem osnovnih stavkov s pomočjo logičnih operacij.
Operacije logične algebre
Se že spomnimo, da so operacije v algebri sodb logične. Tako kot algebra števil uporablja aritmetiko za seštevanje, odštevanje ali primerjavo števil, vam elementi matematične logike omogočajo, da naredite zapletene izjave, negirate ali izračunate končni rezultat.
Logične operacije za formalizacijo in preprostost so zapisane s formulami, ki so nam znane v aritmetici. Lastnosti Booleove algebre omogočajo pisanje enačb in izračunavanje neznank. Logične operacije so običajno zapisane z uporabo tabele resnic. Njegovi stolpcidefinirajo elemente izračuna in operacijo, ki se na njih izvede, vrstice pa prikazujejo rezultat izračuna.
Osnovna logična dejanja
Najpogostejše operacije v Booleovi algebri so negacija (NE) ter logično IN in ALI. Na ta način je mogoče opisati skoraj vsa dejanja v algebri sodb. Preučimo vsako od treh operacij podrobneje.
Negacija (ne) velja samo za en element (operand). Zato se operacija negacije imenuje unarna. Za pisanje koncepta "ne A" uporabite naslednje simbole: ¬A, A¯¯¯ ali !A. V tabeli izgleda takole:
Za funkcijo negacije je značilna naslednja izjava: če je A resničen, potem je B napačen. Na primer, Luna se vrti okoli Zemlje – res je; Zemlja se vrti okoli lune - napačno.
Logično množenje in seštevanje
Logični IN se imenuje konjunkcijska operacija. Kaj to pomeni? Prvič, da ga je mogoče uporabiti za dva operanda, t.j. In je binarna operacija. Drugič, samo v primeru resnice obeh operandov (tako A kot B) je sam izraz resničen. Pregovor "Potrpežljivost in delo bosta zmlela vse" namiguje, da bosta le oba dejavnika pomagala človeku pri soočanju s težavami.
Simboli, ki se uporabljajo za pisanje: A∧B, A⋅B ali A&&B.
Konjunkcija je podobna množenju v aritmetiki. Včasih pravijo, da - logično množenje. Če elemente tabele pomnožimo vrstico za vrstico, dobimo rezultat, podoben logičnemu sklepanju.
Disjunkcija je logična operacija ALI. Jemlje vrednost resniceko je vsaj ena od trditev resnična (ali A ali B). Zapiše se takole: A∨B, A+B ali A||B. Tabele resnice za te operacije so:
Disjunkcija je kot aritmetično seštevanje. Operacija logičnega seštevanja ima samo eno omejitev: 1+1=1. Vendar se spomnimo, da je v digitalni obliki matematična logika omejena na 0 in 1 (kjer je 1 res, 0 je napačno). Na primer, izjava »v muzeju si lahko ogledate mojstrovino ali srečate zanimivega sogovornika« pomeni, da lahko vidite umetniška dela ali pa srečate zanimivo osebo. Hkrati pa ni izključena možnost, da se oba dogodka zgodita hkrati.
Funkcije in zakoni
Torej, že vemo, katere logične operacije uporablja Boolean algebra. Funkcije opisujejo vse lastnosti elementov matematične logike in vam omogočajo poenostavitev kompleksnih sestavljenih pogojev problemov. Zdi se, da je najbolj razumljiva in preprosta lastnost zavračanje izpeljanih operacij. Izvedeni finančni instrumenti so izključno ALI, implikacija in enakovrednost. Ker smo preučili le osnovne operacije, bomo upoštevali tudi lastnosti le teh.
Asociativnost pomeni, da v izjavah, kot so "in A, in B, in C", vrstni red operandov ni pomemben. Formula je zapisana takole:
(A∧B)∧V=A∧(B∧V)=A∧B∧V, (A∨B)∨C=A∨(B∨C)=A∨B∨C.
Kot vidite, to ni značilno samo za konjunkcijo, ampak tudi za disjuncijo.
Komutativnost navaja, da je rezultatkonjunkcija ali disjunkcija ni odvisna od tega, kateri element je bil prvi upoštevan:
A∧B=B∧A; A∨B=B∨A.
Distributivnost omogoča razširitev oklepajev v zapletenih logičnih izrazih. Pravila so podobna odpiranju oklepajev pri množenju in seštevanju v algebri:
A∧(B∨C)=A∧B∨A∧B; A∨B∧B=(A∨B)∧(A∨B).
Lastnosti ena in nič, ki sta lahko eden od operandov, sta prav tako podobni algebrskemu množenju z ničlo ali eno in seštevanju z eno:
A∧0=0, A∧1=A; A∨0=A, A∨1=1.
Idempotenca nam pove, da če se glede na dva enaka operanda izkaže, da je rezultat operacije podoben, potem lahko "odvržemo" dodatne operande, ki otežujejo potek sklepanja. Tako konjunkcija kot disjunkcija sta idempotentni operaciji.
B∧B=B; B∨B=B.
Absorpcija nam omogoča tudi poenostavitev enačb. Absorpcija navaja, da ko se druga operacija z istim elementom uporabi za izraz z enim operandom, je rezultat operand iz absorpcijske operacije.
A∧B∨B=B; (A∨B)∧B=B.
Zaporedje operacij
Zaporedje operacij je zelo pomembno. Pravzaprav, kar zadeva algebro, obstaja prednost funkcij, ki jih uporablja Boolean algebra. Formule je mogoče poenostaviti le, če upoštevamo pomen operacij. Če razvrstimo od najpomembnejšega do najmanjšega, dobimo naslednje zaporedje:
1. Zanikanje.
2. Konjunkcija.
3. Disjunkcija, ekskluzivnostALI
4. Implikacija, enakovrednost.
Kot vidite, samo negacija in konjunkcija nimata enake prednosti. Prednosti disjunkcije in XOR so enake, pa tudi prioritete implikacije in enakovrednosti.
Implikacijske in ekvivalentne funkcije
Kot smo že povedali, matematična logika in teorija algoritmov poleg osnovnih logičnih operacij uporabljata izpeljanke. Najpogosteje uporabljeni sta implikacija in enakovrednost.
Implikacija ali logična posledica je izjava, v kateri je eno dejanje pogoj, drugo pa posledica njegove izvedbe. Z drugimi besedami, to je stavek s predlogi "če … potem". "Če se rad voziš, radi nosiš sani." To pomeni, da morate za smučanje zategniti sani na hrib. Če ni želje po premikanju po gori, vam ni treba nositi sani. Zapisano je takole: A→B ali A⇒B.
Ekvivalentnost predpostavlja, da se posledično dejanje zgodi le, če sta oba operanda resnična. Na primer, noč se spremeni v dan, ko (in samo takrat) sonce vzide nad obzorjem. V jeziku matematične logike je ta stavek zapisan takole: A≡B, A⇔B, A==B.
Drugi zakoni Boolove algebre
Algebra sodb se razvija in številni zainteresirani znanstveniki so oblikovali nove zakone. Za najbolj znane veljajo postulati škotskega matematika O. de Morgana. Opazil je in opredelil lastnosti, kot so tesna negacija, dopolnitev in dvojna negacija.
Zapri negacijo pomeni, da pred oklepajem ni negacije:ne (A ali B)=ne A ali NE B.
Ko je operand negiran, ne glede na njegovo vrednost, govorimo o komplementu:
B∧¬B=0; B∨¬B=1.
In končno, dvojna negacija kompenzira samo sebe. tiste. bodisi negacija izgine pred operandom, bodisi ostane samo ena.
Kako rešiti teste
Matematična logika implicira poenostavitev danih enačb. Tako kot v algebri morate najprej čim bolj olajšati pogoj (znebiti se zapletenih vnosov in operacij z njimi), nato pa začeti iskati pravi odgovor.
Kaj je mogoče storiti za poenostavitev? Pretvorite vse izpeljane operacije v preproste. Nato odprite vse oklepaje (ali obratno, ga odstranite iz oklepajev, da skrajšate ta element). Naslednji korak bi moral biti uporaba lastnosti Booleove algebre v praksi (absorpcija, lastnosti nič in ena itd.).
Na koncu bi morala enačba vsebovati najmanjše število neznank, združenih s preprostimi operacijami. Najlažji način za iskanje rešitve je doseganje velikega števila blizu negativov. Potem se bo odgovor pojavil kot sam od sebe.
