Algebraične neenakosti ali njihovi sistemi z racionalnimi koeficienti, katerih rešitve iščemo v integralnih ali celih številih. Praviloma je število neznank v Diofantovih enačbah večje. Tako so znane tudi kot nedoločene neenakosti. V sodobni matematiki se zgornji koncept uporablja za algebraične enačbe, katerih rešitve iščemo v algebraičnih celih številih neke razširitve polja Q-racionalnih spremenljivk, polja p-adičnih spremenljivk itd.
Izvor teh neenakosti
Študija Diofantovih enačb je na meji med teorijo števil in algebraično geometrijo. Iskanje rešitev v celih spremenljivkah je eden najstarejših matematičnih problemov. Že v začetku drugega tisočletja pr. stari Babilonci so uspeli rešiti sistema enačb z dvema neznankama. Ta veja matematike je najbolj cvetela v stari Grčiji. Diofantova aritmetika (okrog 3. stoletje n.št.) je pomemben in glavni vir, ki vsebuje različne vrste in sisteme enačb.
V tej knjigi je Diofant predvidel številne metode za preučevanje neenakosti drugega in tretjegastopnje, ki so se popolnoma razvile v 19. stoletju. Ustvarjanje teorije racionalnih števil s strani tega raziskovalca antične Grčije je pripeljalo do analize logičnih rešitev nedoločenih sistemov, ki jih sistematično sledi v njegovi knjigi. Čeprav njegovo delo vsebuje rešitve posebnih Diofantovih enačb, obstaja razlog za domnevo, da je poznal tudi več splošnih metod.
Proučevanje teh neenakosti je običajno povezano z resnimi težavami. Zaradi dejstva, da vsebujejo polinome s celimi koeficienti F (x, y1, …, y). Na podlagi tega so bili narejeni zaključki, da ne obstaja en sam algoritem, s katerim bi lahko za kateri koli dani x določili, ali je enačba F (x, y1, …., y ). Situacija je rešljiva za y1, …, y . Primere takšnih polinomov je mogoče zapisati.
Najenostavnejša neenakost
ax + by=1, kjer sta a in b relativno celi in praštevili, ima ogromno izvedb (če je x0, y0 se oblikuje rezultat, nato pa se oblikuje par spremenljivk x=x0 + b in y=y0 -an, kjer je n poljuben, se bo prav tako štelo za neenakost). Drug primer Diofantovih enačb je x2 + y2 =z2. Pozitivne integralne rešitve te neenakosti so dolžine majhnih stranic x, y in pravokotnih trikotnikov ter hipotenuza z s celimi stranicami. Te številke so znane kot pitagorejska števila. Navedeni so vsi trojčki glede na praštevilozgornje spremenljivke so podane z x=m2 – n2, y=2mn, z=m2+ n2, kjer sta m in n celi in praštevili (m>n>0).
Diofant v svoji Aritmetiki išče racionalne (ne nujno integralne) rešitve posebnih vrst svojih neenakosti. Splošno teorijo za reševanje diofantovih enačb prve stopnje je razvil C. G. Baschet v 17. stoletju. Drugi znanstveniki so na začetku 19. stoletja v glavnem preučevali podobne neenakosti, kot so ax2 +bxy + cy2 + dx +ey +f=0, kjer so a, b, c, d, e in f splošne, heterogene, z dvema neznankama druge stopnje. Lagrange je v svoji študiji uporabil kontinuirane ulomke. Gauss za kvadratne oblike je razvil splošno teorijo, na kateri temeljijo nekatere vrste rešitev.
Pri preučevanju teh neenakosti druge stopnje je bil pomemben napredek dosežen šele v 20. stoletju. A. Thue je ugotovil, da je Diofantova enačba a0x + a1xn- 1 y +…+a y =c, kjer je n≧3, a0, …, a , c so cela števila in a0tn + …+ a ne more imeti neskončnega števila celoštevilskih rešitev. Vendar Thuejeva metoda ni bila ustrezno razvita. A. Baker je ustvaril učinkovite izreke, ki dajejo ocene učinkovitosti nekaterih tovrstnih enačb. BN Delaunay je predlagal drugo metodo raziskovanja, uporabno za ožji razred teh neenakosti. Zlasti je oblika ax3 + y3 =1 popolnoma rešljiva na ta način.
Diofantove enačbe: metode rešitve
Diofantova teorija ima veliko smeri. Tako je dobro znana težava v tem sistemu hipoteza, da ni netrivialne rešitve Diofantovih enačb xn + y =z n če je n ≧ 3 (Fermatovo vprašanje). Študija celih izpolnitev neenakosti je naravna posplošitev problema pitagorejskih trojčkov. Euler je dobil pozitivno rešitev Fermatovega problema za n=4. Na podlagi tega rezultata se nanaša na dokaz manjkajočega celega števila, neničelnih študij enačbe, če je n liho praštevilo.
Študija o odločitvi ni bila zaključena. Težave pri izvajanju so povezane z dejstvom, da preprosta faktorizacija v obroču algebraičnih celih števil ni edinstvena. Teorija deliteljev v tem sistemu za številne razrede osnovnih eksponentov n omogoča potrditev veljavnosti Fermatovega izreka. Tako se linearna diofantova enačba z dvema neznankama izpolni z obstoječimi metodami in načini.
Vrste in vrste opisanih nalog
Aritmetika obročev algebraičnih celih števil se uporablja tudi v mnogih drugih problemih in rešitvah Diofantovih enačb. Takšne metode so bile na primer uporabljene pri izpolnjevanju neenakosti v obliki N(a1 x1 +…+ a x)=m, kjer je N(a) norma a in x1, …, xn Najdene so integralne racionalne spremenljivke. Ta razred vključuje Pellovo enačbo x2–dy2=1.
Vrednosti a1, …, a , ki se prikažejo, so te enačbe razdeljene na dve vrsti. Prva vrsta - tako imenovane popolne oblike - vključujejo enačbe, v katerih je med a m linearno neodvisnih števil nad poljem racionalnih spremenljivk Q, kjer je m=[Q(a1, …, a):Q], v katerem je stopnja algebrskih eksponentov Q (a1, …, a ) nad Q. Nepopolne vrste so tiste v pri katerem je največje število a i manjše od m.
Popolni obrazci so enostavnejši, njihovo preučevanje je končano in vse rešitve je mogoče opisati. Druga vrsta, nepopolna vrsta, je bolj zapletena in razvoj takšne teorije še ni končan. Takšne enačbe proučujemo z diofantovimi približki, ki vključujejo neenakost F(x, y)=C, kjer je F (x, y) nereducibilen, homogen polinom stopnje n≧3. Tako lahko domnevamo, da je yi→∞. V skladu s tem, če je yi dovolj velik, bo neenakost v nasprotju z izrekom Thueja, Siegla in Rotha, iz katerega sledi, da je F(x, y)=C, kjer je F oblika tretje stopnje ali višje, nezvodljivo ne more imeti neskončnega števila rešitev.
Kako rešiti diofantovo enačbo?
Ta primer je med vsemi precej ozek razred. Na primer, kljub svoji preprostosti, x3 + y3 + z3=N in x2 +y 2 +z2 +u2 =N niso vključeni v ta razred. Preučevanje rešitev je precej natančno preučena veja Diofantovih enačb, kjer je osnova predstavitev s kvadratnimi oblikami števil. Lagrangeustvaril izrek, ki pravi, da izpolnitev obstaja za vse naravne N. Vsako naravno število je mogoče predstaviti kot vsoto treh kvadratov (Gaussov izrek), vendar ne sme biti v obliki 4a (8K- 1), kjer sta a in k nenegativna celoštevilska eksponenta.
Racionalne ali integralne rešitve sistema Diofantove enačbe tipa F (x1, …, x)=a, kjer je F (x 1, …, x) je kvadratna oblika s celimi koeficienti. Tako je v skladu z izrekom Minkowski-Hasse neenakost ∑aijxixj=b ijin b je racionalen, ima integralno rešitev v realnih in p-adičnih številih za vsako praštevilo p samo, če je rešljivo v tej strukturi.
Zaradi prirojenih težav je bilo preučevanje števil s poljubnimi oblikami tretje stopnje in višje v manjšem obsegu. Glavna metoda izvedbe je metoda trigonometričnih vsot. V tem primeru je število rešitev enačbe eksplicitno zapisano v smislu Fourierjevega integrala. Nato se uporabi metoda okolja za izražanje števila izpolnjevanja neenakosti ustreznih kongruenc. Metoda trigonometričnih vsot je odvisna od algebraičnih značilnosti neenakosti. Obstaja veliko število osnovnih metod za reševanje linearnih diofantovih enačb.
diofantinska analiza
Oddelek za matematiko, katerega predmet je študij integralnih in racionalnih rešitev sistemov enačb algebre z metodami geometrije, iz istekrogle. V drugi polovici 19. stoletja je nastanek te teorije števil pripeljal do preučevanja Diofantovih enačb iz poljubnega polja s koeficienti, rešitve pa so bile obravnavane bodisi v njej bodisi v njenih obročkih. Sistem algebraičnih funkcij se je razvijal vzporedno s številkami. Osnovna analogija med obema, ki sta jo poudarila D. Hilbert in zlasti L. Kronecker, je privedla do enotne konstrukcije različnih aritmetičnih konceptov, ki jih običajno imenujemo globalni.
To je še posebej opazno, če so algebraične funkcije, ki jih preučujemo nad končnim poljem konstant, ena spremenljivka. Koncepti, kot so teorija polja razredov, delilec, razvejanje in rezultati, so dobra ilustracija zgornjega. To stališče je bilo v sistemu Diofantovih neenakosti sprejeto šele pozneje, sistematično raziskovanje ne le številčnih koeficientov, ampak tudi koeficientov, ki so funkcije, pa se je začelo šele v 50. letih prejšnjega stoletja. Eden od odločilnih dejavnikov tega pristopa je bil razvoj algebraične geometrije. Hkratno preučevanje področij števil in funkcij, ki se pojavljata kot dva enako pomembna vidika istega predmeta, ni dalo le elegantnih in prepričljivih rezultatov, temveč je vodilo do medsebojne obogatitve obeh tem.
V algebraični geometriji je pojem sorte zamenjan z neinvariantno množico neenakosti nad danim poljem K, njihove rešitve pa so zamenjane z racionalnimi točkami z vrednostmi v K ali v njegovi končni razširitvi. V skladu s tem lahko rečemo, da je temeljni problem diofantske geometrije preučevanje racionalnih točkalgebraične množice X(K), medtem ko so X določena števila v polju K. Celoštevilska izvedba ima geometrijski pomen v linearnih diofantovih enačbah.
Študije neenakosti in možnosti izvedbe
Pri preučevanju racionalnih (ali integralnih) točk na algebraičnih sortah se pojavi prvi problem, to je njihov obstoj. Hilbertov deseti problem je formuliran kot problem iskanja splošne metode za rešitev tega problema. V procesu izdelave natančne definicije algoritma in potem, ko je bilo dokazano, da za veliko število problemov ni takšnih izvedb, je problem dobil očitno negativen rezultat, najbolj zanimivo vprašanje pa je definicija razredov diofantovih enačb. za katere obstaja zgornji sistem. Najbolj naraven pristop z algebraičnega vidika je tako imenovani Hassejev princip: začetno polje K se preučuje skupaj z njegovimi dopolnitvami Kv po vseh možnih ocenah. Ker je X(K)=X(Kv) nujen pogoj za obstoj, in točka K upošteva, da je množica X(Kv) ni prazen za vse v.
Pomen je v tem, da združuje dva problema. Drugi je veliko preprostejši, rešljiv je z znanim algoritmom. V posebnem primeru, ko je sorta X projektivna, Hanselova lema in njene posplošitve omogočajo nadaljnjo redukcijo: problem je mogoče reducirati na preučevanje racionalnih točk nad končnim poljem. Nato se odloči, da bo zgradil koncept z doslednimi raziskavami ali z učinkovitejšimi metodami.
Zadnjepomemben premislek je, da množice X(Kv) niso prazne za vse razen za končno število v, zato je število pogojev vedno končno in jih je mogoče učinkovito preizkusiti. Vendar Hassejevo načelo ne velja za stopinjske krivulje. Na primer, 3x3 + 4y3=5 ima točke v vseh poljih p-adičnih številk in v sistemu realnih števil, vendar nima racionalnih točk.
Ta metoda je služila kot izhodišče za izgradnjo koncepta, ki opisuje razrede glavnih homogenih prostorov abelovih sort, da se izvede "odklon" od Hassejevega principa. Opisana je v smislu posebne strukture, ki jo je mogoče povezati z vsakim mnogoterjem (skupina Tate-Shafarevich). Glavna težava teorije je v tem, da je metode za izračun skupin težko pridobiti. Ta koncept je bil razširjen tudi na druge razrede algebrskih sort.
Išči algoritem za izpolnjevanje neenakosti
Druga hevristična ideja, uporabljena pri preučevanju Diofantovih enačb, je, da če je število spremenljivk, vključenih v niz neenakosti, veliko, potem ima sistem običajno rešitev. Vendar je to v vsakem posameznem primeru zelo težko dokazati. Splošni pristop k tovrstnim problemom uporablja analitično teorijo števil in temelji na ocenah za trigonometrične vsote. Ta metoda je bila prvotno uporabljena za posebne vrste enačb.
Vendar se je kasneje z njegovo pomočjo izkazalo, da če je oblika lihe stopnje F, v din n spremenljivk ter z racionalnimi koeficienti, potem je n dovolj veliko v primerjavi z d, zato ima projektivna hiperpovršina F=0 racionalno točko. Po Artinovi domnevi je ta rezultat resničen, tudi če je n > d2. To je bilo dokazano samo za kvadratne oblike. Podobne težave je mogoče zastaviti tudi za druga področja. Osrednji problem diofantske geometrije je struktura množice celih ali racionalnih točk in njihovo preučevanje, prvo vprašanje, ki ga je treba razjasniti, pa je, ali je ta množica končna. V tem problemu ima situacija običajno končno število izvedb, če je stopnja sistema veliko večja od števila spremenljivk. To je osnovna predpostavka.
Neenakosti na črtah in krivuljah
Skupino X(K) lahko predstavimo kot neposredno vsoto proste strukture ranga r in končne skupine reda n. Od tridesetih let prejšnjega stoletja se preučuje vprašanje, ali so te številke omejene na množico vseh eliptičnih krivulj nad danim poljem K. Omejenost torzije n je bila dokazana v sedemdesetih letih. V funkcionalnem primeru obstajajo krivulje poljubnega visokega ranga. V številčnem primeru še vedno ni odgovora na to vprašanje.
Nazadnje Mordellova domneva pravi, da je število integralnih točk končno za krivuljo rodu g>1. V funkcionalnem primeru je ta koncept pokazal Yu. I. Manin leta 1963. Glavno orodje, ki se uporablja pri dokazovanju izrekov končnosti v Diofantovi geometriji, je višina. Od algebraičnih sort so dimenzije nad eno abelovemnogoterje, ki so večdimenzionalni analogi eliptičnih krivulj, so bili najbolj temeljito raziskani.
A. Weil je izrek o končnosti števila generatorjev skupine racionalnih točk posplošil na abelove sorte katere koli dimenzije (koncept Mordell-Weil) in ga razširil. V 60. letih prejšnjega stoletja se je pojavila domneva Birch in Swinnerton-Dyer, ki je izboljšala to ter skupino in zeta funkcije mnogoterja. Številčni dokazi podpirajo to hipotezo.
Problem z rešljivostjo
Problem iskanja algoritma, s katerim je mogoče ugotoviti, ali ima katera koli Diofantova enačba rešitev. Bistvena značilnost zastavljenega problema je iskanje univerzalne metode, ki bi bila primerna za vsako neenakost. Taka metoda bi omogočila tudi reševanje zgornjih sistemov, saj je enakovredna P21+⋯+P2k=0.p1=0, …, PK=0p=0, …, pK=0 ali p21+ ⋯ + P2K=0. n12+⋯+pK2=0. Problem iskanja tako univerzalnega načina iskanja rešitev za linearne neenakosti v celih številih je postavil D. Gilbert.
V zgodnjih petdesetih letih prejšnjega stoletja so se pojavile prve študije, katerih cilj je bil dokazati neobstoj algoritma za reševanje Diofantovih enačb. V tem času se je pojavila Davisova domneva, ki pravi, da vsak našteti niz pripada tudi grškemu znanstveniku. Ker so primeri algoritemsko nerazločljivih množic znani, vendar so rekurzivno našteti. Iz tega sledi, da je Davisova domneva resnična in problem rešljivosti teh enačbima negativno izvedbo.
Po tem je za Davisovo domnevo še dokazati, da obstaja metoda za preoblikovanje neenakosti, ki ima (ali ni) hkrati rešitev. Pokazalo se je, da je taka sprememba Diofantove enačbe možna, če ima zgornji dve lastnosti: 1) v kateri koli rešitvi te vrste v ≦ uu; 2) za kateri koli k obstaja izvedba z eksponentno rastjo.
Primer linearne diofantske enačbe tega razreda je zaključil dokaz. Problem obstoja algoritma za rešljivost in prepoznavanje teh neenakosti v racionalnih številih še vedno velja za pomembno in odprto vprašanje, ki ni dovolj raziskano.
