Logaritmi: primeri in rešitve

2024 Avtor: Angel Austin | [email protected]. Nazadnje spremenjeno: 2024-01-02 17:55

Kot veste, se pri množenju izrazov s potenci njihovi eksponenti vedno seštejejo (a^ba^c=a^{b+ c). Ta matematični zakon je izpeljal Arhimed, kasneje, v 8. stoletju, pa je matematik Virasen ustvaril tabelo celih kazalnikov. Prav oni so služili za nadaljnje odkrivanje logaritmov. Primere uporabe te funkcije je mogoče najti skoraj povsod, kjer je potrebno poenostaviti okorno množenje na preprosto seštevanje. Če porabite 10 minut za branje tega članka, vam bomo razložili, kaj so logaritmi in kako z njimi delati. Preprost in dostopen jezik.}

Definicija v matematiki

Logaritem je izraz naslednje oblike: log_ab=c c", v katerega morate dvigniti osnovo "a", da končno dobite vrednost " b". Analizirajmo logaritem s primeri, recimo, da obstaja izraz log_{28. Kako najti odgovor? Zelo preprosto je, najti morate takšno stopnjo, da od 2 do zahtevane stopnje dobite 8. Ko v mislih naredite nekaj izračunov, dobimo številko 3! In res je, ker2, dvignjen na potenco 3, daje odgovor 8.}

Vrte logaritmov

Za mnoge učence in študente se ta tema zdi zapletena in nerazumljiva, v resnici pa logaritmi niso tako strašljivi, glavna stvar je razumeti njihov splošni pomen in si zapomniti njihove lastnosti in nekatera pravila. Obstajajo tri ločene vrste logaritmičnih izrazov:

1. Naravni logaritem ln a, kjer je osnova Eulerjevo število (e=2, 7).
2. Decimalni logaritem lg a, kjer je osnova številka 10.
3. Logaritem poljubnega števila b na osnovo a>1.

Vsak od njih je rešen na standarden način, vključno s poenostavitvijo, redukcijo in naknadno redukcijo na en logaritem z uporabo logaritemskih izrekov. Za pridobitev pravilnih vrednosti logaritmov si je treba zapomniti njihove lastnosti in vrstni red dejanj pri njihovem reševanju.

Pravila in nekatere omejitve

V matematiki obstaja več pravil-omejitev, ki so sprejete kot aksiom, se pravi, da se o njih ni mogoče pogajati in so resnične. Na primer, nemogoče je deliti števila z nič, prav tako pa ni mogoče vzeti sode korenine iz negativnih števil. Logaritmi imajo tudi svoja pravila, po katerih se lahko zlahka naučite delati tudi z dolgimi in obsežnimi logaritemskimi izrazi:

• osnova "a" mora biti vedno večja od nič, hkrati pa ne sme biti enaka 1, sicer bo izraz izgubil pomen, ker sta "1" in "0" do katere koli stopnje vedno enaka njihovim vrednostim;
• če je > 0, potem ab>0,izkaže se, da mora biti tudi "c" večji od nič.

Kako rešiti logaritme?

Na primer, če dobimo nalogo, da poiščemo odgovor na enačbo 10^x=100. Zelo enostavno je, izbrati morate takšno moč, dvignite številko deset, dobite 100. To seveda No, kvadratna moč! 10^2=100.

Zdaj pa ta izraz predstavimo kot logaritem. Dobimo log_{10100=2. Pri reševanju logaritmov se vsa dejanja praktično konvergirajo k iskanju potenca, v katerega je treba vnesti bazo logaritma, da dobimo dano število.}

Če želite natančno določiti vrednost neznane stopnje, se morate naučiti delati s tabelo stopinj. Izgleda takole:

Kot vidite, lahko nekatere eksponente uganete intuitivno, če imate tehnično miselnost in poznavanje tabele množenja. Vendar pa bodo večje vrednosti zahtevale tabelo moči. Uporabljajo ga lahko tudi tisti, ki v zapletenih matematičnih temah sploh ne razumejo ničesar. Levi stolpec vsebuje številke (osnova a), zgornja vrstica števil je vrednost moči c, na katero se dvigne število a. Na presečišču celice določajo vrednosti številk, ki so odgovor (ac=b). Vzemimo na primer čisto prvo celico s številko 10 in jo kvadriramo, dobimo vrednost 100, ki je navedena na presečišču naših dveh celic. Vse je tako preprosto in enostavno, da bo razumel tudi najbolj pravi humanist!

enačbe in neenakosti

Izkazalo se je, da kdajPod določenimi pogoji je eksponent logaritem. Zato lahko vse matematične številčne izraze zapišemo kot logaritemsko enačbo. Na primer, 3⁴=81 lahko zapišemo kot logaritem od 81 do osnove 3, kar je štiri (log₃81=4). Za negativne stopnje so pravila enaka: 2^-5=1/32 zapisano kot logaritem, dobimo log_{2 (1/32)=-5. Eden najbolj fascinantnih odsekov matematike je tema "logaritmov". Primere in rešitve enačb bomo obravnavali nekoliko nižje, takoj po preučevanju njihovih lastnosti. Za zdaj si poglejmo, kako izgledajo neenakosti in kako jih ločiti od enačb.}

Podan je naslednji izraz: log_{2(x-1) > 3 - gre za logaritemsko neenakost, saj je neznana vrednost "x" pod predznakom logaritem. Izraz primerja tudi dve vrednosti: logaritem osnovne dve želenega števila je večji od števila tri.}

Najpomembnejša razlika med logaritemskimi enačbami in neenakostmi je, da enačbe z logaritmi (primer - logaritem₂x=√9) _{pomenijo v odgovoru ena ali več določenih številskih vrednosti, medtem ko se pri reševanju neenakosti določi tako obseg sprejemljivih vrednosti kot prelomne točke te funkcije. Posledično odgovor ni preprost niz posameznih številk, kot v odgovoru enačbe, temveč neprekinjena serija ali niz številk.}

Osnovni izreki o logaritmih

Pri reševanju primitivnih nalog za iskanje vrednosti logaritma morda ne poznate njegovih lastnosti. Ko pa gre za logaritemske enačbe ali neenakosti, je treba najprej jasno razumeti in v praksi uporabiti vse osnovne lastnosti logaritmov. S primeri enačb se bomo seznanili kasneje, najprej podrobneje analizirajmo vsako lastnost.

1. Osnovna identiteta izgleda takole: alogaB=B. Velja samo, če je a večje od 0, ni enako eni in je B večje od nič.
2. Logaritem izdelka je mogoče predstaviti z naslednjo formulo: log_d(s₁s_2)=logd_s1 _{+ log}d_s2. _{V tem primeru je obvezen pogoj: d, s}1 _{in s}2 _{> 0; a≠1. Za to formulo logaritmov lahko podate dokaz s primeri in rešitvijo. Naj log}a_s1 _=f1 _{in log}a_s 2_=f2_{, nato a}f1^=s1_{, a} f2^=s2. _{Dobili smo to s}1_s2 _=af1^a f2^=af1+f2 ^{(lastnosti stopinj) in nadalje po definiciji: log}a_(s1 _s2_)=f1_{+ f}2_=log a_{s1 + log}a_s2, _{, kar je bilo treba dokazati.}
3. Logaritem količnika izgleda takole: log_a(s_1/s₂)=log _as₁- log_as_2.
4. Izrek v obliki formule ima naslednjo obliko: log_a^qbⁿ =n/q log_ab.

Ta formula se imenuje "lastnost stopnje logaritma". Podobno je lastnostim navadnih stopinj in to ni presenetljivo, saj vsa matematika temelji na pravilnih postulatih. Poglejmo si dokaz.

Naj log_ab=t, dobimo a^t=b. Če dvignete obe strani na moč m: a^tn=b^;

ampak zato, ker a^tn=(a^q)^nt/q=b ^{, zato log}aq _bn=(nt)/t, nato log^a_q b_n=n/q log^ab. Izrek dokazan.

Primeri problemov in neenakosti

Najpogostejše vrste logaritmskih problemov so primeri enačb in neenakosti. Najdemo jih skoraj v vseh problemskih knjigah, vključeni pa so tudi v obvezni del izpitov iz matematike. Če želite vstopiti na univerzo ali opraviti sprejemne izpite iz matematike, morate vedeti, kako pravilno reševati takšne probleme.

Na žalost ni enotnega načrta ali sheme za reševanje in določanje neznane vrednosti logaritma, vendar je za vsako matematično neenakost ali logaritemsko enačbo mogoče uporabiti določena pravila. Najprej morate ugotoviti, ali je izraz mogoče poenostaviti ali zmanjšati na splošno obliko. Dolge logaritemske izraze lahko poenostavite, če pravilno uporabite njihove lastnosti. Kmalu jih spoznamo.

Pri reševanju logaritemskih enačb,treba je ugotoviti, kakšen logaritem imamo pred seboj: primer izraza lahko vsebuje naravni ali decimalni logaritem.

Tu so primeri decimalnih logaritmov: ln100, ln1026. Njihova rešitev se spušča v dejstvo, da morate določiti stopnjo, do katere bo osnova 10 enaka 100 oziroma 1026. Za rešitve naravnih logaritmov je treba uporabiti logaritemske identitete ali njihove lastnosti. Oglejmo si primere reševanja logaritemskih problemov različnih vrst.

Kako uporabljati logaritemske formule: s primeri in rešitvami

Torej, poglejmo primere uporabe glavnih izrekov o logaritmih.

1. Lastnost logaritma produkta lahko uporabimo pri nalogah, kjer je treba veliko vrednost števila b razstaviti na enostavnejše faktorje. Na primer, log₂4 + log₂128=log₂(4128)=log_{2512. Odgovor je 9.}
2. log₄8=log_2² 2³ =3/2 log_{22=1, 5 - kot vidite, nam je z uporabo četrte lastnosti stopnje logaritma uspelo rešiti na prvi pogled zapleten in nerešljiv izraz. Vse, kar morate storiti, je faktor osnove in nato odvzeti moč predznaka logaritma.}

Naloge z izpita

Logaritme se pogosto pojavljajo pri sprejemnih izpitih, še posebej veliko logaritemskih težav na enotnem državnem izpitu (državni izpit za vse maturante). Običajno so te naloge prisotne ne le v delu A (najboljenostavni testni del izpita), pa tudi v delu C (najtežje in obsežne naloge). Izpit zahteva natančno in popolno poznavanje teme "Naravni logaritmi".

Primeri in rešitve problemov so vzeti iz uradnih različic izpita. Poglejmo, kako se takšne naloge rešujejo.

Dani log₂(2x-1)=4. Rešitev:

prepišite izraz in ga nekoliko poenostavite log_2(2x-1)=22^{, po definiciji logaritma dobimo, da je 2x-1=2}4^{, torej 2x=17; x=8, 5.}

Upoštevajte nekaj smernic, po katerih lahko enostavno rešite vse enačbe, ki vsebujejo izraze, ki so pod znakom logaritma.

• Najbolje je vse logaritme zmanjšati na isto bazo, da rešitev ne bo okorna in zmedena.
• Vsi izrazi pod znakom logaritma so označeni kot pozitivni, zato mora biti pri množenju eksponenta izraza, ki je pod predznakom logaritma in kot njegova osnova, izraz, ki ostane pod logaritmom, pozitiven.