Trikotnik je najpreprostejša figura, zaprta na ravnini, sestavljena iz samo treh medsebojno povezanih segmentov. Pri geometrijskih težavah je pogosto treba določiti površino te figure. Kaj morate vedeti za to? V članku bomo odgovorili na vprašanje, kako najti površino trikotnika na treh straneh.
Splošna formula
Vsak učenec ve, da se površina trikotnika izračuna kot zmnožek dolžine katere koli njegove stranice - a za polovico višine - h, spuščene na izbrano stran. Spodaj je ustrezna formula: S=ah/2.
Ta izraz lahko uporabimo, če sta znani vsaj dve strani in vrednost kota med njima. V tem primeru je višino h enostavno izračunati s trigonometričnimi funkcijami, kot je sinus. Toda vsi ne vedo, kako najti območje na treh straneh trikotnika.
Heron's Formula
Ta formula je odgovor na vprašanje, kakotri strani najdejo površino trikotnika. Preden ga zapišemo, označimo dolžine segmentov poljubne figure z a, b in c. Heronova formula je zapisana na naslednji način: S=√(p(p-a)(p-b)(p-c)).
Kjer je p polovični obseg figure, to je: p=(a+b+c)/2.
Kljub navidezni okornosti si je zgornji izraz za območje S enostavno zapomniti. Če želite to narediti, morate najprej izračunati polobod trikotnika, nato od njega odšteti eno dolžino stranice figure, pomnožiti vse dobljene razlike in sam polobod. Na koncu vzemite kvadratni koren produkta.
Ta formula je dobila ime po Heronu iz Aleksandrije, ki je živel na začetku naše dobe. Sodobna zgodovina verjame, da je bil ta filozof tisti, ki je prvi uporabil ta izraz za izvedbo ustreznih izračunov. Ta formula je objavljena v njegovi metriki, ki sega v leto 60 AD. Upoštevajte, da nekatera Arhimedova dela, ki je živel dve stoletji prej kot Heron, vsebujejo znake, da je grški filozof že poznal formulo. Poleg tega so stari Kitajci znali najti tudi površino trikotnika, saj so poznali tri stranice.
Pomembno je omeniti, da je problem mogoče rešiti brez poznavanja obstoja Heronove formule. Če želite to narediti, narišite nekaj višin v trikotniku in uporabite splošno formulo iz prejšnjega odstavka, tako da sestavite ustrezen sistem enačb.
Heronov izraz lahko uporabite za izračun površin poljubnih mnogokotnikov, potem ko jih razdelite natrikotnike in izračunavanje dolžin dobljenih diagonal.
Primer reševanja problemov
Ko vemo, kako najti površino trikotnika na treh straneh, utrdimo svoje znanje z rešitvijo naslednjega problema. Naj bodo stranice figure 5 cm, 4 cm in 3 cm. Poiščite površino.
Poznane so tri stranice trikotnika, zato lahko uporabite Heronovo formulo. Izračunamo polobod in potrebne razlike, imamo:
- p=(a+b+c)/2=6 cm;
- p-a=1cm;
- p-b=2 cm;
- p-c=3 cm.
Potem dobimo površino: S=√(p(p-a)(p-b)(p-c))=√(6123)=6 cm2.
Trikotnik, ki je podan v pogoju problema, je pravokoten, kar je enostavno preveriti, če uporabljate Pitagorov izrek. Ker je površina takšnega trikotnika polovica produkta krakov, dobimo: S=43/2=6 cm2.
Dobljena vrednost je enaka kot pri Heronovi formuli, kar potrjuje veljavnost slednje.
