Kako najti zmnožek matrik. Matrično množenje. Skalarni produkt matrik. Produkt treh matrik

2024 Avtor: Angel Austin | [email protected]. Nazadnje spremenjeno: 2023-12-17 05:41

Matrike (tabele s številskimi elementi) se lahko uporabljajo za različne izračune. Nekateri od njih so množenje s številom, vektor, druga matrika, več matrik. Izdelek je včasih napačen. Napačen rezultat je posledica nepoznavanja pravil za izvajanje računskih dejanj. Ugotovimo, kako narediti množenje.

Matrika in številka

Začnimo z najpreprostejšo stvarjo – množenjem tabele s številkami z določeno vrednostjo. Na primer, imamo matriko A z elementi a_ij (i so številke vrstic, j pa številke stolpcev) in število e. Zmnožek matrike s številko e bo matrika B z elementi b_ij, ki jih najdemo po formuli:

b_ij=e × a_ij.

T. e. da bi dobili element b₁₁, morate vzeti element a₁₁ in ga pomnožiti z želeno številko, da dobite b₁₂ je potrebno najti zmnožek elementa a₁₂ in številko e itd.

Rešimo problem številka 1, predstavljen na sliki. Če želite dobiti matriko B, preprosto pomnožite elemente iz A s 3:

1. a₁₁ × 3=18. To vrednost zapišemo v matriko B na mestu, kjer se stolpec št. 1 in vrstica št. 1 sekata.
2. a₂₁ × 3=15. Dobili smo element b₂₁.
3. a₁₂ × 3=-6. Prejeli smo element b₁₂. Zapišemo ga v matriko B na mestu, kjer se stolpec 2 in vrstica 1 sekata.
4. a₂₂ × 3=9. Ta rezultat je element b₂₂.
5. a₁₃ × 3=12. Vnesite to številko v matriko namesto elementa b₁₃.
6. a₂₃ × 3=-3. Zadnja prejeta številka je element b₂₃.

Tako smo dobili pravokotno matriko s številskimi elementi.

18	–6	12
15	9	–3

Vektorji in pogoj za obstoj produkta matrik

V matematičnih disciplinah obstaja taka stvar kot "vektor". Ta izraz se nanaša na urejen niz vrednosti od a₁ do a . Imenujejo se vektorske prostorske koordinate in so zapisane kot stolpec. Obstaja tudi izraz "transponirani vektor". Njegove komponente so razporejene kot niz.

Vektorje lahko imenujemo matrike:

• vektor stolpca je matrika, zgrajena iz enega stolpca;
• vektor vrstice je matrika, ki vključuje samo eno vrstico.

Ko končatenad matrikami operacij množenja se je treba spomniti, da obstaja pogoj za obstoj produkta. Računsko dejanje A × B se lahko izvede le, če je število stolpcev v tabeli A enako številu vrstic v tabeli B. Nastala matrika, ki je rezultat izračuna, ima vedno število vrstic v tabeli A in število stolpcev v tabeli B.

Pri množenju ni priporočljivo preurejati matrik (množiteljev). Njihov produkt običajno ne ustreza komutativnemu (premik) zakonu množenja, to pomeni, da rezultat operacije A × B ni enak rezultatu operacije B × A. Ta lastnost se imenuje nekomutativnost produkta matrice. V nekaterih primerih je rezultat množenja A × B enak rezultatu množenja B × A, to pomeni, da je produkt komutativen. Matrice, za katere velja enakost A × B=B × A, se imenujejo permutacijske matrike. Primere takšnih tabel si oglejte spodaj.

Množenje z vektorjem stolpca

Pri množenju matrike s stolpčnim vektorjem moramo upoštevati pogoj za obstoj produkta. Število stolpcev (n) v tabeli se mora ujemati s številom koordinat, ki sestavljajo vektor. Rezultat izračuna je transformirani vektor. Njegovo število koordinat je enako številu vrstic (m) iz tabele.

Kako se izračunajo koordinate vektorja y, če obstajata matrika A in vektor x? Za izračune ustvarjene formule:

y₁=a₁₁x₁ + a_{12 x}2 _{+ … + a}1 _x , y₂=a₂₁x₁ + a₂₂x₂ + … + a 2n_x ,

……………………………………………, y_m=a_m1x₁ + a_{m2 x}2 _{+ … + a}mn_x ,

kjer so x₁, …, x koordinate iz x-vektorja, m je število vrstic v matriki in število koordinat v novem vektorju y, n je število stolpcev v matriki in število koordinat v x-vektorju, a₁₁, a_{12, …, a}mn– elementi matrike A.

Tako se za pridobitev i-te komponente novega vektorja izvede skalarni produkt. Vektor i-te vrstice je vzet iz matrike A in se pomnoži z razpoložljivim vektorjem x.

Rešimo problem 2. Najdete lahko produkt matrike in vektorja, ker ima A 3 stolpce, x pa je sestavljen iz 3 koordinat. Kot rezultat bi morali dobiti vektor stolpca s 4 koordinatami. Uporabimo zgornje formule:

1. Izračunaj y₁. 1 × 4 + (–1) × 2 + 0 × (–4). Končna vrednost je 2.
2. Izračunaj y₂. 0 × 4 + 2 × 2 + 1 × (–4). Pri izračunu dobimo 0.
3. Izračunaj y₃. 1 × 4 + 1 × 2 + 0 × (–4). Vsota zmnožkov navedenih faktorjev je 6.
4. Izračunaj y₄. (–1) × 4 + 0 × 2 + 1 × (–4). Koordinata je -8.

Vektorsko-matrično množenje vrstic

Matrike z več stolpci ne morete pomnožiti z vektorjem vrstice. V takih primerih pogoj za obstoj dela ni izpolnjen. Toda množenje vektorja vrstice z matriko je možno. toleračunska operacija se izvede, ko se ujema število koordinat v vektorju in število vrstic v tabeli. Rezultat produkta vektorja in matrike je nov vektor vrstice. Njegovo število koordinat mora biti enako številu stolpcev v matriki.

Izračunavanje prve koordinate novega vektorja vključuje množenje vektorja vrstice in vektorja prvega stolpca iz tabele. Druga koordinata se izračuna na podoben način, vendar se namesto prvega stolpčnega vektorja vzame drugi vektor stolpca. Tukaj je splošna formula za izračun koordinat:

y_k=a_1kx₁+ a_2kx₂ + … + a_mkx _m, kjer je y_k koordinata iz y-vektorja, (k je med 1 in n), m je število vrstic v matriki in število koordinat v x-vektorju je n število stolpcev v matriki in število koordinat v y-vektorju, a z alfanumeričnimi indeksi so elementi matrike A.

Izdelek pravokotnih matrik

Ta izračun se morda zdi zapleten. Vendar pa je množenje enostavno. Začnimo z definicijo. Produkt matrike A z m vrsticami in n stolpci ter matrike B z n vrsticami in p stolpci je matrika C z m vrsticami in p stolpci, v kateri je element c_ij vsota produktov elementov i-te vrstice iz tabele A in j-tega stolpca iz tabele B. Preprosteje rečeno, element c_ij je skalarni produkt i-te vrstice vektor iz tabele A in vektor j-tega stolpca iz tabele B.

Sedaj pa poglejmo v praksi, kako najti produkt pravokotnih matrik. Za to rešimo nalogo št. 3. Pogoj za obstoj produkta je izpolnjen. Začnimo računati elemente c_ij:

1. Matrika C bo imela 2 vrstici in 3 stolpce.
2. Izračunaj element c₁₁. Za to izvedemo skalarni produkt vrstice št. 1 iz matrike A in stolpca št. 1 iz matrike B. c₁₁=0 × 7 + 5 × 3 + 1 × 1=16. Nato nadaljujemo na podoben način, spreminjamo samo vrstice, stolpce (odvisno od indeksa elementa).
3. c₁₂=12.
4. c₁₃=9.
5. c₂₁=31.
6. c₂₂=18.
7. c₂₃=36.

Elementi so izračunani. Zdaj je ostalo le še narediti pravokoten blok prejetih številk.

16	12	9
31	18	36

Množenje treh matrik: teoretični del

Ali najdete zmnožek treh matrik? Ta računska operacija je izvedljiva. Rezultat je mogoče doseči na več načinov. Na primer, obstajajo 3 kvadratne tabele (istega vrstnega reda) - A, B in C. Za izračun produkta lahko:

1. Najprej pomnožite A in B. Nato rezultat pomnožite s C.
2. Najprej poiščite zmnožek B in C. Nato pomnožite matriko A z rezultatom.

Če morate pomnožiti pravokotne matrike, se morate najprej prepričati, da je ta računska operacija mogoča. Moral biizdelki A × B in B × C obstajajo.

Inkrementalno množenje ni napaka. Obstaja taka stvar kot "asociativnost množenja matrik". Ta izraz se nanaša na enakost (A × B) × C=A × (B × C).

Praksa množenja treh matrik

kvadratne matrice

Začnite z množenjem majhnih kvadratnih matrik. Spodnja slika prikazuje problem številka 4, ki ga moramo rešiti.

Uporabili bomo lastnost asociativnosti. Najprej pomnožimo bodisi A in B ali B in C. Zapomnimo si samo eno stvar: ne morete zamenjati faktorjev, torej ne morete pomnožiti B × A ali C × B. S tem množenjem bomo dobili napačen rezultat.

Napredek odločitve.

prvi korak. Da bi našli skupni produkt, najprej pomnožimo A z B. Pri množenju dveh matrik se bomo ravnali po zgoraj opisanih pravilih. Torej bo rezultat množenja A in B matrika D z 2 vrsticama in 2 stolpcema, to pomeni, da bo pravokotna matrika vključevala 4 elemente. Najdemo jih tako, da naredimo izračun:

• d₁₁=0 × 1 + 5 × 6=30;
• d₁₂=0 × 4 + 5 × 2=10;
• d₂₁=3 × 1 + 2 × 6=15;
• d₂₂=3 × 4 + 2 × 2=16.

Vmesni rezultat pripravljen.

30	10
15	16

Drugi korak. Zdaj pomnožimo matriko D z matriko C. Rezultat bi morala biti kvadratna matrika G z 2 vrsticama in 2 stolpcema. Izračunaj elemente:

• g₁₁=30 × 8 + 10 × 1=250;
• g₁₂=30 × 5 + 10 × 3=180;
• g₂₁=15 × 8 + 16 × 1=136;
• g₂₂=15 × 5 + 16 × 3=123.

Tako je rezultat produkta kvadratnih matrik tabela G z izračunanimi elementi.

250	180
136	123

Pravokotne matrice

Spodnja slika prikazuje problem številka 5. Potrebno je pomnožiti pravokotne matrike in poiskati rešitev.

Preverimo, ali je izpolnjen pogoj za obstoj produktov A × B in B × C. Vrstni red navedenih matrik nam omogoča množenje. Začnimo reševati problem.

Napredek odločitve.

prvi korak. Pomnožite B s C, da dobite D. Matrika B ima 3 vrstice in 4 stolpce, matrika C pa 4 vrstice in 2 stolpca. To pomeni, da bomo dobili matriko D s 3 vrsticami in 2 stolpci. Izračunajmo elemente. Tukaj sta 2 primera izračuna:

• d₁₁=3 × 0 + 0 × 0 + 1 × 0 + 0 × 1=0;
• d₁₂=3 × 2 + 0 × 3 + 1 × 1 + 0 × 6=7.

Težavo še naprej rešujemo. Kot rezultat nadaljnjih izračunov najdemo vrednosti d₂₁, d₂ 2, d₃₁ in d₃₂. Ti elementi so 0, 19, 1 oziroma 11. Najdene vrednosti zapišemo v pravokotno matriko.

0	7
0	19
1	11

Drugi korak. Pomnožite A z D, da dobite končno matriko F. Imela bo 2 vrstici in 2 stolpca. Izračunaj elemente:

• f₁₁=2 × 0 + 6 × 0 + 1 × 1=1;
• f₁₂=2 × 7 + 6 × 19 + 1 × 11=139;
• f₂₁=0 × 0 + 1 × 0 + 3 × 1=3;
• f₂₂=0 × 7 + 1 × 19 + 3 × 11=52.

Sestavite pravokotno matriko, ki je končni rezultat množenja treh matrik.

1	139
3	52

Uvod v neposredno delo

Precej težko razumljiv material je Kroneckerjev produkt matrik. Ima tudi dodatno ime - neposredno delo. Kaj pomeni ta izraz? Recimo, da imamo tabelo A reda m × n in tabelo B reda p × q. Neposredni produkt matrike A in matrike B je matrika reda mp × nq.

Imamo 2 kvadratni matrici A, B, ki sta prikazani na sliki. Prvi ima 2 stolpca in 2 vrstici, drugi pa 3 stolpce in 3 vrstice. Vidimo, da je matrika, ki izhaja iz neposrednega produkta, sestavljena iz 6 vrstic in natanko enakega števila stolpcev.

Kako se elementi nove matrike izračunajo v neposrednem produktu? Iskanje odgovora na to vprašanje je zelo enostavno, če analizirate sliko. Najprej izpolnite prvo vrstico. Vzemite prvi element iz zgornje vrstice tabele A in zaporedno pomnožite z elementi prve vrsticeiz tabele B. Nato vzemite drugi element prve vrstice tabele A in zaporedno pomnožite z elementi prve vrstice tabele B. Če želite zapolniti drugo vrstico, znova vzemite prvi element iz prve vrstice tabele A in pomnožite ga z elementi druge vrstice tabele B.

Končna matrika, pridobljena z neposrednim produktom, se imenuje blok matrika. Če ponovno analiziramo sliko, lahko vidimo, da je naš rezultat sestavljen iz 4 blokov. Vsi vključujejo elemente matrike B. Poleg tega se element vsakega bloka pomnoži s posebnim elementom matrike A. V prvem bloku se vsi elementi pomnožijo z a₁₁, v drugi - z _{12, v tretji - na} 21_{, v četrtem - na} 22.

determinanta izdelka

Ko obravnavamo temo množenja matrik, je vredno razmisliti o izrazu, kot je "determinanta produkta matrik". Kaj je determinanta? To je pomembna značilnost kvadratne matrike, določena vrednost, ki je tej matriki dodeljena. Dobesedna oznaka determinante je det.

Za matriko A, sestavljeno iz dveh stolpcev in dveh vrstic, je determinanto enostavno najti. Obstaja majhna formula, ki je razlika med izdelki določenih elementov:

det A=a₁₁ × a₂₂ – a₁₂ × a₂₁.

Oglejmo si primer izračunavanja determinante za tabelo drugega reda. Obstaja matrika A, v kateri je a₁₁=2, a₁₂=3, a₂₁=5 in a22_{=1. Za izračun determinante uporabite formulo:}

det A=2 × 1 – 3 × 5=2 – 15=–13.

Za matrike 3 × 3 se determinanta izračuna z bolj zapleteno formulo. Spodaj je predstavljen za matriko A:

det A=a₁₁a₂₂a₃₃ + a_{12 a}23_a31 _{+ a}13_a21_{a 32} – a₁₃a₂₂a₃₁ – a₁₁ a₂₃a₃₂ – a₁₂a₂₁ a₃₃.

Da bi si zapomnili formulo, smo pripravili pravilo trikotnika, ki je prikazano na sliki. Najprej se pomnožijo elementi glavne diagonale. Dobljeni vrednosti se dodajo produkti tistih elementov, ki jih označujejo koti trikotnikov z rdečimi stranicami. Nato se odšteje produkt elementov sekundarne diagonale in odšteti se produkti elementov, označenih z vogali trikotnikov z modrimi stranicami.

Zdaj se pogovorimo o determinanti produkta matrik. Obstaja izrek, ki pravi, da je ta kazalnik enak zmnožku determinant tabele množitelja. To preverimo s primerom. Imamo matriko A z vnosi a₁₁=2, a₁₂=3, a₂₁=1 in a22_{=1 in matrika B z vnosi b}11_{=4, b}12_{=5, b} 21 _{=1 in b}22_{=2. Poiščite determinante za matriki A in B, produkt A × B in determinanto tega produkta.}

Napredek odločitve.

prvi korak. Izračunaj determinanto za A: det A=2 × 1 – 3 × 1=–1. Nato izračunajte determinanto za B: det B=4 × 2 – 5 × 1=3.

Drugi korak. Najdimoprodukt A × B. Novo matriko označite s črko C. Izračunajte njene elemente:

• c₁₁=2 × 4 + 3 × 1=11;
• c₁₂=2 × 5 + 3 × 2=16;
• c₂₁=1 × 4 + 1 × 1=5;
• c₂₂=1 × 5 + 1 × 2=7.

tretji korak. Izračunaj determinanto za C: det C=11 × 7 – 16 × 5=–3. Primerjajte z vrednostjo, ki bi jo lahko dobili z množenjem determinant prvotnih matrik. Številke so enake. Zgornji izrek je resničen.

Uvrstitev izdelka

Razred matrike je značilnost, ki odraža največje število linearno neodvisnih vrstic ali stolpcev. Za izračun ranga se izvedejo osnovne transformacije matrike:

• preureditev dveh vzporednih vrstic;
• množenje vseh elementov določene vrstice iz tabele s številom, ki ni nič;
• dodajanje elementom ene vrstice elementov iz druge vrstice, pomnoženo z določeno številko.

Po osnovnih transformacijah si oglejte število nizov, ki niso nič. Njihovo število je rang matrike. Razmislite o prejšnjem primeru. Predstavil je 2 matriki: A z elementi a₁₁=2, a₁₂=3, a₂₁=1 in a₂₂ =1 in B z elementi b₁₁=4, b₁₂=5, b21_{=1 in b}22_{=2. Uporabili bomo tudi matriko C, ki jo dobimo kot rezultat množenja. Če izvedemo elementarne transformacije, potem v poenostavljenih matrikah ne bo nič vrstic. To pomeni, da sta tako rang tabele A, kot rang tabele B in rangtabela C je 2.}

Posvetimo se zdaj razvrstitvi produkta matrik. Obstaja izrek, ki pravi, da rang produkta tabel, ki vsebujejo številske elemente, ne presega ranga nobenega od faktorjev. To je mogoče dokazati. Naj bo A k × s matrika in B je s × m matrika. Zmnožek A in B je enak C.

Preučimo zgornjo sliko. Prikazuje prvi stolpec matrike C in njen poenostavljen zapis. Ta stolpec je linearna kombinacija stolpcev, vključenih v matriko A. Podobno lahko rečemo o katerem koli drugem stolpcu iz pravokotnega niza C. Tako je podprostor, ki ga tvorijo vektorji stolpcev tabele C, v podprostoru, ki ga tvori vektorji stolpcev tabele A. S tem torej dimenzija podprostora št. 1 ne presega dimenzije podprostora št. 2. To pomeni, da rang v stolpcih tabele C ne presega ranga v stolpcih tabele A, t.j. r(C) ≦ r(A). Če argumentiramo na podoben način, se lahko prepričamo, da so vrstice matrike C linearne kombinacije vrstic matrike B. To pomeni neenakost r(C) ≦ r(B).

Kako najti zmnožek matrik je precej zapletena tema. Z lahkoto ga je mogoče obvladati, a da bi dosegli tak rezultat, boste morali porabiti veliko časa za zapomnitev vseh obstoječih pravil in izrekov.